精品解析：山东省威海市威海临港经济技术开发区2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题

2025-2026学年第二学期期终质量检测 初二数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．下列各题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分．） 1. 若，则下列不等式中，不能成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，发生的可能性最大的是（ ） A. 千山鸟飞绝 B. 黄河入海流 C. 鱼戏莲叶间 D. 白发三千丈 3. 下列不等式中，解不包括的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在与中，点A，M，N，C在同一条直线上，已知，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若的周长为，，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 一个小球在如图所示的地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则小球停留在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三角形纸片中，将纸片的一角沿折叠，使点C落在内，记为点．若，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 小明试图利用两个三角尺验证直线，则下列验证方式中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 某品牌汽水生产商提出可以用3个空瓶再换回1瓶汽水的优惠活动，某人买了12瓶汽水，他最多可以喝到多少瓶汽水？（可以跟人借空瓶，但借多少个就要还多少个）．（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．只要求填出最后结果．） 11. 若 是关于x的一元一次不等式，则n的值为_______． 12. 用反证法证明“若，则”时，应假设_____． 13. 如图，直线与的交点坐标为，若，则x的取值范围是________． 14. 如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针落在区域的概率是________． 15. 七巧板具有深厚的中华文化底蕴，它是由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成的．小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点C作直线．若，则的度数是________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解决下列问题： （1）解不等式：，并将其解集表示在数轴上． （2）关于的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，求a的取值范围． 17. 解方程组及解不等式组 （1）解方程组：． （2）解不等式组：． 18. 如图，有两个长度相同的滑梯（即），左边滑梯的高与右边滑梯水平方向的长度相等．若，求长度． 19. “五一”期间，某商店决定“让利酬宾”，推出抽奖活动：凡在店内消费满100元即可获得一次抽奖机会，抽奖方案如下：抽奖箱里有20个除颜色外完全相同的小球，其中红球4个、黄球6个、蓝球10个．顾客从抽奖箱中任意摸出一个小球，若摸得红球，则奖励20元购物券，若摸得黄球，则奖励10元购物券，若摸得蓝球，则奖励5元购物券． （1）某顾客购物消费150元，获得一次抽奖的机会．求他获得20元购物券的概率是多少？ （2）为了吸引顾客，该商店准备将获得10元购物券的概率提高到，在保持小球总数不变的情况下，需要将几个蓝球改为黄球？ 20. 如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交于点． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长； （3）求证：． 21. 某网店为了备货“618”电商节，积极进行网络直播销售．根据以下提供的信息，该网店购进了甲、乙两种产品． 产品信息： ①3箱甲种产品和4箱乙种产品共需460元； ②甲种产品每箱价格比乙种产品每箱的价格多60元； ③2箱甲种产品和5箱乙种产品的进价相同． （1）从以上①②③中任选2个作为已知条件，求甲、乙两种产品每箱的价格； （2）在（1）的条件下，该店购进甲、乙两种产品共600箱，且甲种产品的数量不低于乙种产品数量的2倍，现将甲、乙两种产品分别以130元/每箱，80元/每箱的价格进行销售，若购进的这批产品全部售完，当甲种产品数量为多少时，该店获总利润最大，并求出最大利润． 22. 数学课上，老师给出一个新图形“整数四边形”的定义：若一个凸四边形的边长和面积均为整数，则称这样的凸四边形为整数四边形．例如，边长为整数的正方形和边长为整数的长方形都是整数四边形．一般四边形中也存在大量的整数四边形，围绕整数四边形的定义，同学们展开数学探究．如图，四边形ABCD中，，，，，．博学小组认为这个四边形是一个整数四边形，请你判断这个结论是否正确，并说明理由． 23. 探究解题 （1）如图①，在中，的垂直平分线交于点，垂足为，连接．若，则； （2）在一座城市规划项目中，设计师正在设计一个三角形公园．为了方便市民通行，设计师决定将公园的一条边向外延长至点，使得．即是的中点．同时，从点出发，修建一条与公园主入口方向平行的步道供市民散步．已知点是射线上的一个可移动观景台，市民可以在点欣赏公园景色．连接和，形成观景视线． (i)如图②，当观景台移动到某个位置，使得视线与中心线恰好垂直时，设计师发现此时公园中心线恰好平分，请解释这样的原因； (ii)为了优化观景体验，设计师在和两点分别设置垂直于观景视线的照明地灯和即，．已知公园是等腰三角形，且顶角．当两串照明地灯长度差最大时，求此时观景视线与中心线所成的角度的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期终质量检测 初二数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．下列各题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分．） 1. 若，则下列不等式中，不能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项，∵不等式两边同时加同一个常数，不等号方向不变，∴，A成立，不符合题意； B选项，∵，不等式两边同时乘以，不等号方向改变，得，不等式两边同时加，不等号方向不变，得，∴不成立，B符合题意； C选项，∵，不等式两边同时乘以，不等号方向改变，得，C成立，不符合题意； D选项，∵，不等式两边同时乘以，不等号方向不变，得，再两边同时减，不等号方向不变，得，D成立，不符合题意． 2. 下列事件中，发生的可能性最大的是（ ） A. 千山鸟飞绝 B. 黄河入海流 C. 鱼戏莲叶间 D. 白发三千丈 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案． 【详解】解：D是不可能事件，B是必然事件，A、C是随机事件， ∴B发生可能性最大． 【点睛】一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间． 3. 下列不等式中，解不包括的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：不成立，则不包含，故A符合题意； 成立，则包含，故B不符合题意； 成立，则包含，故C不符合题意； 成立，则包含，故D不符合题意． 4. 如图，在与中，点A，M，N，C在同一条直线上，已知，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由得出，结合已知，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：， ，即． ∵， 对于A，添加，根据可判定，故该选项不符合题意； 对于B，添加，可得，根据可判定，故该选项不符合题意； 对于C，添加，根据可判定，故该选项不符合题意； 对于D，添加，此时为“边边角”，不能判定，故该选项符合题意． 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：不包含2，在数轴上点2为空心；小于2，划线方向是左侧； ，包含，点为实心，向右侧； 故选A． 6. 如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若的周长为，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由作图可知垂直平分线段，利用线段垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：由作图可知：是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵由作图可知， ∴， ∴． 7. 一个小球在如图所示的地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则小球停留在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设每个小正方形的边长为，则大正方形的边长为，求出大正方形的面积和阴影面积，利用概率公式求出小球停留在阴影区域的概率． 【详解】解：设每个小正方形的边长为，则大正方形的边长为， 大正方形的面积为，空白图形的面积为， 阴影的面积为， 小球停留在阴影区域的概率为． 8. 如图，在三角形纸片中，将纸片的一角沿折叠，使点C落在内，记为点．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠的性质，三角形的内角和定理以及平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：由折叠的性质，得，． ，， ， ． 9. 小明试图利用两个三角尺验证直线，则下列验证方式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，观察图形判定即可． 【详解】解：观察选项，A选项中，因为内错角(两直角)相等，所以，，，选项不能得到． 10. 某品牌汽水生产商提出可以用3个空瓶再换回1瓶汽水的优惠活动，某人买了12瓶汽水，他最多可以喝到多少瓶汽水？（可以跟人借空瓶，但借多少个就要还多少个）．（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了逻辑推论和论证． 先用12个空瓶换4瓶汽水，再用其中的3个空瓶换1瓶汽水，再借1个空瓶换1瓶汽水，最后把空瓶还回去，即可求解． 【详解】解：∵某人买了12瓶汽水， ∴可以换（瓶）汽水． 再用其中的3个空瓶换1瓶汽水， 此时有2个空瓶，可以借1瓶，凑成3个空瓶，再换1瓶汽水，再把空瓶还回去即可． ∴他最多可以喝：（瓶）． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．只要求填出最后结果．） 11. 若 是关于x的一元一次不等式，则n的值为_______． 【答案】0或 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的定义，一元一次不等式中未知数的最高次数为，且未知数的系数不为，据此列出方程和不等式求解即可． 【详解】解：不等式 是关于的一元一次不等式． 解 得： 或 ． 解得或． 由得 ． ∵和都满足． ∴的值为或． 12. 用反证法证明“若，则”时，应假设_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据反证法的步骤，首先假设原命题的结论不成立，找出原结论的否定即可得到答案. 【详解】解：本题中待证命题的结论是，因此应假设结论不成立，即.． 13. 如图，直线与的交点坐标为，若，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由函数图象可知，若，则x的取值范围是． 14. 如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针落在区域的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出区域对应的圆心角，用区域所在扇形圆心角度数除以周角度数即可． 【详解】解：区域对应的圆心角为：， ∴指针落在区域的概率是． 15. 七巧板具有深厚的中华文化底蕴，它是由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成的．小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点C作直线．若，则的度数是________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的特点，平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵七巧板是由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成的，， ∴， ∴ ． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解决下列问题： （1）解不等式：，并将其解集表示在数轴上． （2）关于的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，求a的取值范围． 【答案】（1） ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的性质去括号，移项，合并同类项，系数化为1，把解集表示在数轴上即可； （2）根据不等式的性质分别求解，再根据数轴上不等式组的解集即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 将解集表示在数轴上：略； 【小问2详解】 解：解不等式组， 得， 由数轴可知，原不等式组的解集为， ∴， 解得， ∴a的取值范围为． 17. 解方程组及解不等式组 （1）解方程组：． （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：， 由得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 18. 如图，有两个长度相同的滑梯（即），左边滑梯的高与右边滑梯水平方向的长度相等．若，求长度． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，证明，即可求解． 【详解】证明：在与中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， 答：长度为． 19. “五一”期间，某商店决定“让利酬宾”，推出抽奖活动：凡在店内消费满100元即可获得一次抽奖机会，抽奖方案如下：抽奖箱里有20个除颜色外完全相同的小球，其中红球4个、黄球6个、蓝球10个．顾客从抽奖箱中任意摸出一个小球，若摸得红球，则奖励20元购物券，若摸得黄球，则奖励10元购物券，若摸得蓝球，则奖励5元购物券． （1）某顾客购物消费150元，获得一次抽奖的机会．求他获得20元购物券的概率是多少？ （2）为了吸引顾客，该商店准备将获得10元购物券的概率提高到，在保持小球总数不变的情况下，需要将几个蓝球改为黄球？ 【答案】（1） （2）2个蓝球改为黄球 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可； （2）先求出概率提高后黄球的个数，再减去黄球的原个数即可． 【小问1详解】 解：从抽奖箱中任意摸一个小球，共有20种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中摸到红球的结果有4种， P（获得20元购物券）； 【小问2详解】 解：当获得10元购物券的概率为时， 黄球的个数为（个）， （个） 所以在保持小球总数不变的情况下，需要将2个蓝球改为黄球 20. 如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交于点． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长； （3）求证：． 【答案】（1）证明：∵，， ， ， ， ， 是等边三角形． （2）4 （3）证明：是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论； （2）由等边三角形三线合一可得，，再结合已知即可求解； （3）由是等边三角形，得出，，证出，由证明，得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ， ， ， 又， ． 【小问3详解】 略 21. 某网店为了备货“618”电商节，积极进行网络直播销售．根据以下提供的信息，该网店购进了甲、乙两种产品． 产品信息： ①3箱甲种产品和4箱乙种产品共需460元； ②甲种产品每箱价格比乙种产品每箱的价格多60元； ③2箱甲种产品和5箱乙种产品的进价相同． （1）从以上①②③中任选2个作为已知条件，求甲、乙两种产品每箱的价格； （2）在（1）的条件下，该店购进甲、乙两种产品共600箱，且甲种产品的数量不低于乙种产品数量的2倍，现将甲、乙两种产品分别以130元/每箱，80元/每箱的价格进行销售，若购进的这批产品全部售完，当甲种产品数量为多少时，该店获总利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）甲种产品每箱的价格是100元，乙种产品每箱的价格是40元． （2）当甲种产品数量为400箱时，该店获总利润最大，最大利润为20000元． 【解析】 【分析】（1）从三个条件中任选两个，根据等量关系列出二元一次方程组，求解即可得到甲、乙两种产品每箱的价格，任意选两个条件所得结果一致； （2） 根据甲种产品数量的限制条件列出一元一次不等式，得到甲种产品数量的取值范围，再根据利润关系得到总利润关于甲种产品数量的一次函数，利用一次函数的性质即可求出最大利润． 【小问1详解】 解：设甲种产品每箱的价格是元，乙种产品每箱的价格是元． 若选择条件①②，根据题意得   解得  若选择条件①③，根据题意得   解得  若选择条件②③，根据题意得   解得  答：甲种产品每箱的价格是元，乙种产品每箱的价格是元． 【小问2详解】 设购进箱甲种产品，则购进 箱乙种产品，总利润为元． 根据题意得：   解得：  结合实际可知， 因此 ． 每箱甲种产品的利润为（元）， 每箱乙种产品的利润为（元） 因此总利润   随的增大而减小  当时，取得最大值，最大值为 （元） 答：当甲种产品数量为箱时，该店获总利润最大，最大利润为元． 22. 数学课上，老师给出一个新图形“整数四边形”的定义：若一个凸四边形的边长和面积均为整数，则称这样的凸四边形为整数四边形．例如，边长为整数的正方形和边长为整数的长方形都是整数四边形．一般四边形中也存在大量的整数四边形，围绕整数四边形的定义，同学们展开数学探究．如图，四边形ABCD中，，，，，．博学小组认为这个四边形是一个整数四边形，请你判断这个结论是否正确，并说明理由． 【答案】结论正确，见解析 【解析】 【分析】连接，过点作于点，根据勾股定理可知的长度，进而可知三角形为等腰三角形，再根据勾股定理可知长度，由面积公式即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点 在中 ∵ ∴三角形为等腰三角形． 又∵ ∴ ∴在中 ， ， ， ， ∴四边形四边为整数，面积为整数，是整数四边形． 23. 探究解题 （1）如图①，在中，的垂直平分线交于点，垂足为，连接．若，则； （2）在一座城市规划项目中，设计师正在设计一个三角形公园．为了方便市民通行，设计师决定将公园的一条边向外延长至点，使得．即是的中点．同时，从点出发，修建一条与公园主入口方向平行的步道供市民散步．已知点是射线上的一个可移动观景台，市民可以在点欣赏公园景色．连接和，形成观景视线． (i)如图②，当观景台移动到某个位置，使得视线与中心线恰好垂直时，设计师发现此时公园中心线恰好平分，请解释这样的原因； (ii)为了优化观景体验，设计师在和两点分别设置垂直于观景视线的照明地灯和即，．已知公园是等腰三角形，且顶角．当两串照明地灯长度差最大时，求此时观景视线与中心线所成的角度的大小． 【答案】（1） （2）（i）理由如下：如图，延长交的延长线于点， ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴即恰好平分； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角，即可求解． （2）（i）延长交的延长线于点，证明得出，进而可得，根据三线合一的性质得出恰好平分； （ii）如图，过点作直线于点．证明，推出与共线时，的值最大，此时，画出相应的图形，根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果． 【小问1详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴ 【小问2详解】 解：（i）略 （ii）如图，过点作直线于点． 直线，直线， ， ，， ， ， ， 与共线时，的值最大， 当与重合，与共线时，的值最大，此时， ， ， ， ， ， 又， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $