精品解析：天津市南开大学附属中学2025-2026学年高二下学期学业水平考试数学模拟试卷

数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间90分钟. 参考公式： ·锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，h表示锥体的高. ·如果事件A，B互斥，那么. 第Ⅰ卷 一、选择题：（本大题共15个小题，每小题3分，共计45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合交集和补集的知识即可求解. 【详解】已知集合，，则， 又因为全集，所以，故B正确. 2. 某社区有老年人240人，中年人360人，青年人400人.为了解居民的健康意识，计划采用按比例分层抽样的方法从全体居民中抽取一个容量为50的样本，则应从中年人中抽取的人数为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【详解】社区总人数为人，抽样比. 因此中年人应抽取的人数为人. 3. 已知，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】解：因为或，所以由不能推出且，即充分性不满足； 但由且可得，即由且可推出，所以必要性满足； 所以是且的必要不充分条件. 故选：B. 4. 在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，91，88，这组数据的第80百分位数为（ ） A. 88 B. 89 C. 90 D. 91 【答案】C 【解析】 【详解】将数据按照从小到大的顺序排列为80，82，84，85，87，88，88，89，91，93， 因为，则第80百分位数是第8个数字和第9个数字的平均数， 所以这组数据的第80百分位数为. 5. 已知的内角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理计算易得. 【详解】由正弦定理可得. 故选：A. 6. 已知（其中是虚数单位），则的共轭复数为（ ） A. 2 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简复数，再求共轭复数. 【详解】，则. 7. 下列函数是偶函数且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用偶函数的定义，结合单调性判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为R，而，函数不是偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为，不是偶函数，B不是； 对于C，函数在上不单调，C不是； 对于D，函数的定义域为，，是偶函数 当时，在上单调递增，D是. 故选：D 8. 设则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数和指数函数的单调性,选取中间值和即可比较. 【详解】因为指数函数在上为减函数, 所以, 因为指数函数在上为增函数, 所以, 因为对数函数在上为减函数, 所以, 所以. 故选: D 9. 已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用与互为对立求出，再由互斥事件的概率加法公式即可求得答案. 【详解】由与互为对立，则， 又与互斥，则. 故选：B. 10. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断函数的单调性，计算区间端点处函数值，由局零点存在定理即可判断答案. 【详解】函数,是单调递增函数， 当 时，， ， 故 故函数的零点所在的区间为， 故选：B 11. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增 【答案】A 【解析】 【详解】令，得，. 当时可得的一个单调递减区间为. 令，得，. 当时可得的一个单调递增区间为. ， 在区间上单调递减. 12. 在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：B 13. 将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数图像的平移法则，结合诱导公式进行求解. 【详解】将函数的图像向右平移个单位，得到图像， 所以函数， 故选：A. 14. 在直角中，斜边，直角边.若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体.则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，得该几何体为以1为底面半径，高为的圆锥，即可求解． 【详解】在直角中，斜边，直角边， 得， 若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体为以1为底面半径，高为的圆锥， 则该几何体的体积为：， 故选：A 15. 在正三棱柱中，，设和所成的角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将正三棱柱补成直四棱柱，平移到即可解. 【详解】将正三棱柱补成直四棱柱， 使正三棱柱与正三棱柱全等， 则由直棱柱性质可知，与所成角为（或其补角）； 因为，， 所以， 所以. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将答案填在题中横线上. 16. 已知幂函数的图象过点，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值. 【详解】设，由于图象过点, 得， ， ，故答案为3. 【点睛】本题考查幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 17. 的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简即可得到结果. 【详解】. 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则b等于________． 【答案】3 【解析】 【详解】，由余弦定理得， 整理得，解得或（舍）. 19. 若实数满足，则的最大值为________． 【答案】##0.25 【解析】 【详解】已知实数a，b满足，显然不能全为负数，也不能是一个负数和一个为0； 当是一正一负时，，则不可能取到最大值； 当是一个正数和一个为0时，，也不可能是最大值； 当均为正数时，由基本不等式得，当且仅当时取等号， 综上，可得的最大值为. 20. 已知是虚数单位，是关于的方程（其中）的一个根，则=__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，列出方程组，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由是关于的方程的一个根， 可得，整理得， 所以，解得，所以， 则. 故答案为：. 三、解答题：（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 已知，． （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件求出的值，再利用二倍角公式计算. （2）利用两角差的余弦公式进行计算. 【小问1详解】 因为，， 所以． 所以． 【小问2详解】 . 22. 已知向量，，，且． （1）求； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对已知的等式两边平方得，代入向量坐标计算可解得，从而求得； （2）结合已知条件构造方程求出，从而求解的值． 【小问1详解】 因为，两边平方后化简得． 因为，， 所以，解得，所以， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以， ，解得， 所以． 23. 如图，在三棱锥中，平面，，分别为的中点．求证： （1）平面； （2）平面平面 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据条件知，，利用线面平行的判定定理即可证明； （2）首先证明平面利用面面垂直的判定定理即可证明. 【小问1详解】 在中，分别为的中点， 则,又平面,平面, 则平面. 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以又，且平面, 所以平面又平面， 所以平面平面 24. 已知函数，若在区间上有最大值5，最小值2. （1）求的值 （2）若，在上单调，求的取值范围. 【答案】（1）或；（2）. 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，根据单调性的不同分别代入求值即可； （2）易知也为二次函数，若要在区间上单调，则对称轴在区间外即可. 【详解】（1）由可得二次函数的对称轴为， ①当时，在上为增函数， 可得，所以， 当时，在上为减函数， 可得，解得； （2） 即， 在上单调， 或即或， 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间90分钟. 参考公式： ·锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，h表示锥体的高. ·如果事件A，B互斥，那么. 第Ⅰ卷 一、选择题：（本大题共15个小题，每小题3分，共计45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 某社区有老年人240人，中年人360人，青年人400人.为了解居民的健康意识，计划采用按比例分层抽样的方法从全体居民中抽取一个容量为50的样本，则应从中年人中抽取的人数为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 3. 已知，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，91，88，这组数据的第80百分位数为（ ） A. 88 B. 89 C. 90 D. 91 5. 已知的内角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知（其中是虚数单位），则的共轭复数为（ ） A. 2 B. 2 C. D. 7. 下列函数是偶函数且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 8. 设则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增 12. 在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 13. 将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 14. 在直角中，斜边，直角边.若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体.则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 15. 在正三棱柱中，，设和所成的角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将答案填在题中横线上. 16. 已知幂函数的图象过点，则______． 17. 的值为________． 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则b等于________． 19. 若实数满足，则的最大值为________． 20. 已知是虚数单位，是关于的方程（其中）的一个根，则=__________. 三、解答题：（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 已知，． （1）求的值； （2）求的值. 22. 已知向量，，，且． （1）求； （2）若，求的值． 23. 如图，在三棱锥中，平面，，分别为的中点．求证： （1）平面； （2）平面平面 24. 已知函数，若在区间上有最大值5，最小值2. （1）求的值 （2）若，在上单调，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $