精品解析：天津市南开大学附属中学2025-2026学年高二下学期第一次阶段检测数学学科试卷

南开大学附中25—26学年下学期第一次阶段检测 高二数学学科试卷 一、单选题 1. 计算的值是（    ） A. 41 B. 61 C. 62 D. 82 【答案】B 【解析】 【分析】利用排列数和组合数公式计算即可． 【详解】， ，, 因此. 故选：B. 2. 从A，B，C，D，E这5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案有（ ）种. A. 24 B. 48 C. 72 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理和排列组合的应用，对特殊元素分类讨论，分别计算不同的情况种类数目，求出结果. 【详解】解法1（特殊元素优先）：若A参加竞赛，则参赛方案有种； 若A不参加竞赛，则参赛方案有种，因此不同的参赛方案有72种. 解法2（特殊位置优先）：先从除了A以外的4名学生中选择2名参加物理、化学竞赛，有种； 再从余下的3名学生中选择2名参加数学、外语竞赛，有种；因此共有种不同的参赛方案. 故选：C. 3. 的展开式中的第4项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式代值计算即得. 【详解】的展开式中的第4项为. 故选：A. 4. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 【答案】D 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】. 5. 若随机变量服从两点分布，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点分布的定义明确变量的分布，从而求出，再根据定义计算结果 【详解】因随机变量服从两点分布，且，所以； 所以； 所以. 6. 抛掷一枚质地均匀的硬币8次，若正面朝上次的概率最大，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由二项分布的概率公式计算的概率，再结合组合数性质即可得解. 【详解】设抛掷一枚质地均匀的硬币8次，正面朝上次，则， 则正面朝上次的概率为， 所以 . 故选：A. 7. 某市高三年级男生身高近似服从正态分布，若，则（ ） A. 0.65 B. 0.85 C. 0.15 D. 0.3 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的性质求解即可. 【详解】由题可得 8. 某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表： 广告费用x/万元 1.8 2.2 3 5 销售额y/万元 t 7 14 16 根据上表数据得到y与x的回归直线方程为，则t的值（ ） A. 3 B. 5.5 C. 4 D. 6.5 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，得，， 所以，解得. 9. 春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然兴起，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表： 性别 “光盘”行动 合计 做不到“光盘” 能做到“光盘” 男 45 10 55 女 30 15 45 合计 75 25 100 附： 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.024 参照附表，得到的正确结论是（ ） A. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” B. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” C. 有以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” D. 有以上的把握认为”该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” 【答案】C 【解析】 【分析】根据统计表格中的数据，求得，结合附表，即可得到答案. 【详解】由统计表格中的数据，可得， 所以有以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”． 故选：C. 10. 苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（ ）种分配方案 A. 90 B. 120 C. 360 D. 540 【答案】D 【解析】 【分析】先分组再分配，利用分步乘法计数原理进行计算. 【详解】先将6本不同诗集分成3组，可分三种情况： 情况一：按分组：则有种； 情况二：按 分组：则有种； 情况三：按分组：则有种； 所以6本不同诗集全部奖励给3名同学共有种分配方案， 故选：D 二、填空题 11. 比2000小且没有重复数字的四位偶数有________个．（用数字表示） 【答案】280 【解析】 【分析】分析可得千位为1，个位数字有5种选择，百位数字有8种选择，十位数字有7种选择，列式计算，即可得答案. 【详解】当千位数字为1时，个位数字可以为0，2，4，6，8，有5种选择， 百位数字从剩下8个数字中选择，十位数字从剩下7个数字中选择， 共有个． 故答案为：280 12. 若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则n＝______ 【答案】10 【解析】 【分析】根据题意得到，再求出n即可. 【详解】因为的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等， 所以，解得． 故答案为：10. 13. 一个盒子里装有质地、大小、形状都相同的7个球，其中白球2个，黑球2个，红球3个，现从盒子里依次取出2个球，已知取出的球有红球，则第二次取出的球是红球的概率_________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】先求得从盒子里依次取出2个球，且有红球的概率，再求得取出的球有红球，第二次取出的球是红球的概率，然后利用条件概率求解. 【详解】从7个球中依次取出2个球，共有种， 取出的球没有红球，即取的是白球或黑球，则有种， 所以从盒子里依次取出2个球，取出的球有红球的概率为：， 取出的球有红球，则第二次取出的球是红球，分两种情况， 第一次取非红球，第二次取红球有种， 第一次取红球，第二次取红球有种， 第二次取红球有种， 所以取出的球有红球，则第二次取出的球是红球的概率为， 所以， 故答案为： 14. 口袋里有大小相同的2个红球和3个黄球，现从中任取两个球，记取出的红球数为，则____；_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据超几何分布，求出的可能取值及对应的概率，求期望、方差即可. 【详解】取得红球数为可能为0,1,2， 则， , , 所以， . 故答案为：； 15. 为了筛查出人群中感染某种病毒的个体，需要检测每个人的某种生物样本，检测结果若为阴性，说明人体未被感染，若为阳性，则需进一步做出医学判断．为提高检测效率，降低检测成本，可采用10人一组的混采检测方法：将10人的该种生物样本合入同一管中进行检测，若该管结果为阴性，则判断这10人均未被感染，若结果为阳性，则对该管中的每个人的样本分别进行单管检测．若按此方法进行检测，设待检人数为，其中感染该病毒的人数为．当时，检测的次数为______；当时，检测次数的估计值为______（结果取整数）． 【答案】 ①. ## ②. 25 【解析】 【分析】根据给定信息，求出检测次数；求出检测次数为随机变量的可能取值及对应的概率，再求出期望即得. 【详解】（1）待检人数为，需要先检测次，再检测结果为阳性的小组，10人检测10次，共需要检测次数为； （2）设检测次数为，则，23，33． ，， ， ． 故答案为：；25 三、解答题 16. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且为钝角． （1）求； （2）若，，求的面积； （3）求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，可求得角的正弦，由同角关系结合条件可得答案. （2）由（1），由余弦定理，求出边的长，进一步求得面积． （3）由正余弦的二倍角公式及两角差的正弦公式可得答案. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因为，所以． 因为角C为钝角，所以角A为锐角，所以. 【小问2详解】 由（1），由余弦定理 ，，， 得，所以， 解得或 ， 而，得，这与为钝角矛盾，不合题意舍去， ∴， 故的面积为. 【小问3详解】 因为，， 所以 . 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，分别为的中点，平面平面． （1）求证：； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）若截面与交于点，且，求的值． 【答案】（1） 为中点，. 又平面平面，且交线为平面 ， 平面，而平面，平面， ； 为中点，则有； ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形三线合一，得到，根据面面垂直的性质得到 平面，从而，又易证得，故证出； （2）建立空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，由两平面的法向量夹角的余弦值的绝对值即为两平面夹角的余弦值； （3）根据共线求出E的坐标，求出的坐标，然后与法向量垂直，得到数量积为0即可算出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图以为坐标原点，过作直线与平行，以分别为 轴建立空间直角坐标系， ， 则，. . 设平面的一个法向量为， 则有，令，可得. ，设平面的一个法向量为， 则有，可取， ， 平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 【小问3详解】 ， . ． . 18. 甲乙两队参加某知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错或不答得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人回答正确与否相互之间没有影响.用X，Y分别表示甲，乙两队的总得分. （1）求随机变量的分布列和数学期望； （2）求乙队得分恰好为1分的概率； 【答案】（1）分布列见解析，数学期望为2； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知有X所有可能取值为0、1、2、3，并求出对应概率值，写出分布列，进而求期望； （2）应用独立事件乘法公式及互斥事件加法求概率. 【小问1详解】 X的所有可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 0 1 2 3 数学期望； 【小问2详解】 19. 已知的展开式中所有项的二项式系数和为，各项系数和为． （1）求和的值及展开式中项的系数； （2）求的展开式中的常数项． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）二项式系数和为即可求出，再令可得各项系数和，即可求出，写出展开式的通项，利用通项求出项的系数； （2）由，利用（1）中的通项计算可得. 【小问1详解】 因为的展开式中所有项的二项式系数和为，所以，解得； 所以，令可得，解得； 所以展开式的通项为：， 令，解得， 所以项的系数为； 【小问2详解】 ， ①当即 时，； ②当即时，； 所求的常数项为． 20. 现有8张大小质地完全相同的卡片，其中4张是红色，4张是蓝色.从中随机摸出3张卡片放入一个不透明的袋子中，记袋子中红色卡片的张数为，然后进行如下操作：从袋子中随机摸出一张卡片（每张卡片被摸到的概率相等），观察其颜色后，将该卡片放在袋外，再从袋外取一张另一种颜色的卡片放入袋中（即若摸出红色卡片，则放回蓝色卡片；若摸出蓝色卡片，则放回红色卡片），袋子中始终保持3张卡片．记经过次这样的操作后，袋子中红色卡片的张数为． （1）求； （2）当 时，求随机变量的分布列和数学期望； （3）求随机变量的数学期望． 【答案】（1） （2） 1 3 （3） 【解析】 【分析】（1）应用组合数及古典概型概率求法求概率即可； （2）确定对应的可能值并求出对应概率，写出分布列，进而求期望； （3）首先求出各可能值对应的概率，再求对应可能值的概率，即可求期望. 【小问1详解】 依题意，. 【小问2详解】 当 时，若摸出红色卡片，则的值为1，若摸出蓝色卡片，则的值为3， 所以，， 所以的分布列为 1 3 数学期望为. 【小问3详解】 的取值为0，1，2，3． ，， ，． 的取值为0，1，2，3． ， ， ， ， 所以随机变量的数学期望为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南开大学附中25—26学年下学期第一次阶段检测 高二数学学科试卷 一、单选题 1. 计算的值是（    ） A. 41 B. 61 C. 62 D. 82 2. 从A，B，C，D，E这5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案有（ ）种. A. 24 B. 48 C. 72 D. 120 3. 的展开式中的第4项为（ ） A. B. C. D. 4. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 5. 若随机变量服从两点分布，其中，则（ ） A. B. C. D. 6. 抛掷一枚质地均匀的硬币8次，若正面朝上 次的概率最大，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 某市高三年级男生身高近似服从正态分布，若，则（ ） A. 0.65 B. 0.85 C. 0.15 D. 0.3 8. 某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表： 广告费用x/万元 1.8 2.2 3 5 销售额y/万元 t 7 14 16 根据上表数据得到y与x的回归直线方程为，则t的值（ ） A. 3 B. 5.5 C. 4 D. 6.5 9. 春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然兴起，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表： 性别 “光盘”行动 合计 做不到“光盘” 能做到“光盘” 男 45 10 55 女 30 15 45 合计 75 25 100 附： 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.024 参照附表，得到的正确结论是（ ） A. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” B. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” C. 有以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” D. 有以上的把握认为”该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” 10. 苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（ ）种分配方案 A. 90 B. 120 C. 360 D. 540 二、填空题 11. 比2000小且没有重复数字的四位偶数有________个．（用数字表示） 12. 若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则n＝______ 13. 一个盒子里装有质地、大小、形状都相同的7个球，其中白球2个，黑球2个，红球3个，现从盒子里依次取出2个球，已知取出的球有红球，则第二次取出的球是红球的概率_________． 14. 口袋里有大小相同的2个红球和3个黄球，现从中任取两个球，记取出的红球数为，则____；_______. 15. 为了筛查出人群中感染某种病毒的个体，需要检测每个人的某种生物样本，检测结果若为阴性，说明人体未被感染，若为阳性，则需进一步做出医学判断．为提高检测效率，降低检测成本，可采用10人一组的混采检测方法：将10人的该种生物样本合入同一管中进行检测，若该管结果为阴性，则判断这10人均未被感染，若结果为阳性，则对该管中的每个人的样本分别进行单管检测．若按此方法进行检测，设待检人数为，其中感染该病毒的人数为．当时，检测的次数为______；当时，检测次数的估计值为______（结果取整数）． 三、解答题 16. 已知的内角 ，，所对的边分别为，， ，且为钝角． （1）求； （2）若，，求的面积； （3）求． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，分别为的中点，平面平面． （1）求证：； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）若截面与 交于点，且，求的值． 18. 甲乙两队参加某知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错或不答得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人回答正确与否相互之间没有影响.用X，Y分别表示甲，乙两队的总得分. （1）求随机变量的分布列和数学期望； （2）求乙队得分恰好为1分的概率； 19. 已知的展开式中所有项的二项式系数和为，各项系数和为 ． （1）求和的值及展开式中项的系数； （2）求的展开式中的常数项． 20. 现有8张大小质地完全相同的卡片，其中4张是红色，4张是蓝色.从中随机摸出3张卡片放入一个不透明的袋子中，记袋子中红色卡片的张数为，然后进行如下操作：从袋子中随机摸出一张卡片（每张卡片被摸到的概率相等），观察其颜色后，将该卡片放在袋外，再从袋外取一张另一种颜色的卡片放入袋中（即若摸出红色卡片，则放回蓝色卡片；若摸出蓝色卡片，则放回红色卡片），袋子中始终保持3张卡片．记经过次这样的操作后，袋子中红色卡片的张数为． （1）求； （2）当 时，求随机变量的分布列和数学期望； （3）求随机变量的数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $