2026年7月天津市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03（春季高考适用）

2026年7月天津市普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷03 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式： 样本数据的标准差 其中为样本平均数 柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式， 其中，S分别为上、下底面面积，h为高 锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高 球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合，则中的元素个数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】求得，再求出，即可得答案． 【详解】因为， 所以，共8个元素． 2．已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，问题转化为两个集合的包含关系，可求实数的取值范围． 【详解】非空集合， 是的充分不必要条件，则有集合是集合的真子集，所以， 即实数的取值范围为． 3．已知不等式的解集是，则的值是（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】C 【详解】由不等式的解集是， 所以是方程的两根， 所以，解得，所以． 4．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性直接计算得到答案． 【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以． 5．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】,, 所以 6．（   ） A．e B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数、对数的运算法则计算各项，再合并求解． 【详解】，，，， ，故C正确． 故选：C． 7．已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系． 【详解】因为为第二象限角，所以，， 幂函数在上为减函数，所以， 对数函数在上为增函数，所以，故． 故选：B． 8．如图，已知，，，，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，即， 所以． 9．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式化简得，最后利用余弦定理即可得到答案． 【详解】由正弦定理得， 即， 即， 即，又因为，所以，显然， 所以，又因为为三角形内角，所以， 由余弦定理得， 即，解得（负舍）． 10．当时，曲线与的交点个数为（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】在同一坐标系中画出两函数图象即可得． 【详解】在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有7个交点． 11．已知函数的零点分别为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过导数判断函数单调性，再代入特殊点（如 ）判断函数值符号，结合单调性确定零点所在区间，最后比较区间得出大小关系即可． 【详解】已知的零点为 ， 则 ，因为对于任意实数 ， 都有 ，所以 ， 所以函数 在定义域 上是单调递增的， 则，又因为 单调递增，且 ， 所以其零点 必定在 的左侧，即 ． 已知的零点为 ， 因为函数 的定义域为 ，且 ， 因为 ，所以 ，则 ， 所以函数 在定义域上是单调递增的， 则， 又因为单调递增，且，所以其零点必定在的左侧， 又因为定义域要求 ，所以 ． 已知的零点为， 则，因为对于任意实数， 都有，所以，即， 所以函数 在定义域 上是单调递增的， 则，因为 单调递增且 ， 所以 是函数 的唯一零点，故 ． 由以上知，，，故 ． 12．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接． 因为，所以异面直线与所成的角即为与所成的角，即． 因为，所以，， ， 所以． 13．气象学上判定春季进入夏季的标准为：当某地连续5天的日平均气温达到或超过时，便将这5天中的第一天定为夏季的开始．已知甲、乙、丙3个地区某连续5天日均气温的数据特征如下： 甲地：中位数是27，平均数是26． 乙地：最高气温31，平均数是26，方差是10．4． 丙地：中位数是24，众数是22． 则由此判断一定进入夏季的地区是（    ） A．乙地 B．丙地 C．甲地，乙地 D．乙地，丙地 【答案】B 【详解】设5天气温从小到大排列为． 甲地：中位数，平均数． 因中位数大于平均数，所以必有，可构造，不一定入夏，如21,26,27,28,28． 乙地：5天平均气温为26，总和为，方差，故气温与均值差的平方和为． 假设存在一天气温为21（低于22），与均值差为，平方为25， 最高气温31, 剩余天平方和只需，又因为． 所以完全可以构造出五个数满足总和130,方差10．4,最大为31的数值， 因此乙地不能保证每天气温，不一定进入夏季，如21,25,26,27,31． 丙地：中位数，众数，，故； 众数为，则，5天均，一定入夏． 14．甲、乙两名选手进行围棋比赛，已知每局比赛结果只有胜负两种，且甲每局获胜的概率为若比赛采用局胜制先胜局者赢得比赛，则甲赢得比赛的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合已知条件，对甲最终获胜的情况进行分类，进而即可得到答案． 【详解】由题意可知，甲最终获胜的情况：胜胜，胜负胜，负胜胜， 故甲获胜的概率为：． 15．一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球中至少有一个红球”，事件“2个球中至多有一个红球”，事件“2个都不是红球”，则（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D． 【答案】D 【分析】由和互斥事件、对立事件定义即可判断AB；由即可判断C；由交事件定义计算即可判断D． 【详解】将2个红球、2个绿球和2个蓝球分别记为， 则从袋中一次性随机取出2个球的样本空间为共15个样本点， 由题意共3个样本点，共9个样本点， 共14个样本点，共6个样本点， 所以，故A与D不互斥，故A错误； ，故B与C不互斥，故B错误； 因为，一个样本点， 所以，即，故C错误； ，故D正确． 故选：D 第Ⅱ卷（非选择题 共55分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上．） 16．函数，的值域为________． 【答案】 【分析】直接根据正弦函数的单调性判断函数的最大值及最小值，进而可得函数值域． 【详解】因为，由正弦函数的性质得：函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数有最小值，当时，函数有最大值． 所以函数在上值域为． 17．已知向量，，满足，则_____． 【答案】 【详解】，， 因为，所以，解得， 因此． 18．为了解某校高三学生寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时)，现从该校高三年级随机抽取了部分同学进行调研，在获得这些同学每天平均学习的时间后，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图，则 （1）______； （2）若样本中每天学习时间在区间上的同学恰有2人，则共抽取了______位同学调研． 【答案】 【分析】（1）根据各组数据频率之和为1即可求出图中a的值； （2）利用区间内的频率求样本容量． 【详解】（1），解得； （2）设共抽取了位同学调研，则有，解得． 故答案为：； 19．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______． 【答案】2 【详解】由余弦定理知：，则： ， 由余弦定理得：， 即，解得或（舍）， ． 20．已知，，，则的最小值为________． 【答案】36 【分析】有两种解法：一是用其中一个变量表示另一个，代入目标式后通过配凑和基本不等式求最值；二是直接对已知等式两边利用基本不等式，转化为关于乘积的不等式，再解出乘积的最小值． 【详解】方法一  由，移项得，显然，所以，由，得， 所以 ， 当且仅当，时等号成立，所以的最小值为36． 故答案为：． 方法二 由题意，又，根据基本不等式有， 故， 所以， 解得，即，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为36． 故答案为：． 三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 21．（本小题满分10分） 已知，求 (1)； (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），， 代入可得． （2）， 化简可得， 因为，， 代入可得． （3）， 因为，， 代入可得． 22．（本小题满分10分） 已知复数满足． (1)求； (2)若是实系数一元二次方程的一个根，求方程的另一个根和的值． 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）结合复数模公式，以及复数相等的条件，即可求解； （2）根据已知条件，推得也为实系数一元二次方程的一个根，再结合韦达定理，即可求解． 【详解】（1）设， 因为，则， 故．得，故； （2）因为是实系数一元二次方程的一个根， 若，则也为实系数一元二次方程的一个根， 故，解得，故． 23．（本小题满分10分） 如图，长方体中，，点P为的中点． (1)求三棱锥的体积． (2)求证：直线平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值； 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据棱锥的体积公式即可求解； （2）由中位线性质可证，然后再根据线面平行的判断定理即可证明； （3）首先证明直线与所成角是或其补角，然后通过勾股定理计算， 最后根据余弦定理即可求解． 【详解】（1）． （2）设，连接， 因，且为长方体， 则四边形为正方形，故为线段中点， 因点P为的中点，则为的中位线，则， 又平面，平面，则平面． （3）连接，由（1）可知，则直线与所成角是或其补角， 因，点P为的中点， 则，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中由余弦定理得，， 故直线与所成角的余弦值为． 24．（本小题满分10分） （，）是由正比例函数和反比例函数相加构成的函数，其图象具有独特的“双勾”形状，被称为“对勾函数”． (1)若，判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)若两个不相等的正数m，n满足，求证：； (3)若，是否存在实数s，t，使得在上的值域是？若存在，求出所有s，t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2)证明见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可； （2）由题得，化简得，再利用均值不等式即可证明； （3）先利用反证法假设存在实数s，t，使得在的值域是，再分类讨论，根据单调性列式求解即可． 【详解】（1）在上单调递增，理由如下： 证明：任取，且，， 则 因为，故且 于是，即，所以在单调递增 （2）依题意得，，即，整理得 因为，所以，即 又依题意m，，故 因为，故等号不成立，所以 （3）假设存在实数，使得在的值域是，易知， 因为定义域为，区间是连续区间，故符号相同 当时，因为，故，即 由（1）可知，在单调递增，于是，即，故有， 得，这与矛盾，故无解 同理，当时，可得． 由，可得是奇函数，由对称性可知在单调递增． 于是，得，解得，这与矛盾，故无解． 综上所述，不存在符合要求的实数s，t． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年7月天津市普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷03 参考答案 一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 B B C A D C B A D B B A B D D 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上．） 16、 17、 18、 19、2 20、36 三、解答题（本题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 21.（本小题满分10分） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），， 代入可得． （2）， 化简可得， 因为，， 代入可得． （3）， 因为，， 代入可得． 22.（本小题满分10分） 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）结合复数模公式，以及复数相等的条件，即可求解； （2）根据已知条件，推得也为实系数一元二次方程的一个根，再结合韦达定理，即可求解． 【详解】（1）设， 因为，则， 故．得，故； （2）因为是实系数一元二次方程的一个根， 若，则也为实系数一元二次方程的一个根， 故，解得，故． 23.（本小题满分10分） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据棱锥的体积公式即可求解； （2）由中位线性质可证，然后再根据线面平行的判断定理即可证明； （3）首先证明直线与所成角是或其补角，然后通过勾股定理计算， 最后根据余弦定理即可求解． 【详解】（1）． （2）设，连接， 因，且为长方体， 则四边形为正方形，故为线段中点， 因点P为的中点，则为的中位线，则， 又平面，平面，则平面． （3）连接，由（1）可知，则直线与所成角是或其补角， 因，点P为的中点， 则，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中由余弦定理得，， 故直线与所成角的余弦值为． 24.（本小题满分10分） 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2)证明见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可； （2）由题得，化简得，再利用均值不等式即可证明； （3）先利用反证法假设存在实数s，t，使得在的值域是，再分类讨论，根据单调性列式求解即可． 【详解】（1）在上单调递增，理由如下： 证明：任取，且，， 则 因为，故且 于是，即，所以在单调递增 （2）依题意得，，即，整理得 因为，所以，即 又依题意m，，故 因为，故等号不成立，所以 （3）假设存在实数，使得在的值域是，易知， 因为定义域为，区间是连续区间，故符号相同 当时，因为，故，即 由（1）可知，在单调递增，于是，即，故有， 得，这与矛盾，故无解 同理，当时，可得． 由，可得是奇函数，由对称性可知在单调递增． 于是，得，解得，这与矛盾，故无解． 综上所述，不存在符合要求的实数s，t． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) 2026年7月天津市高中学业水平合格性考试 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 )数学仿真模拟卷·答题卡 一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 1 1 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上．） ) ( 16． _______________________ 17． _______________________ 18． _______________________ 19． _______________________ 20． _______________________ 三、解答题（本题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 21. （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （续21题） 22． （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23． （1 0 分） 24． （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年7月天津市普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷03 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式： 样本数据的标准差 其中为样本平均数 柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式， 其中，S分别为上、下底面面积，h为高 锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高 球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合，则中的元素个数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知不等式的解集是，则的值是（   ） A．1 B． C．0 D．2 4．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D．2 5．（    ） A． B． C． D． 6．（   ） A．e B． C． D． 7．已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知，，，，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 9．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 10．当时，曲线与的交点个数为（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 11．已知函数的零点分别为，则（   ） A． B． C． D． 12．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 13．气象学上判定春季进入夏季的标准为：当某地连续5天的日平均气温达到或超过时，便将这5天中的第一天定为夏季的开始．已知甲、乙、丙3个地区某连续5天日均气温的数据特征如下： 甲地：中位数是27，平均数是26． 乙地：最高气温31，平均数是26，方差是10．4． 丙地：中位数是24，众数是22． 则由此判断一定进入夏季的地区是（    ） A．乙地 B．丙地 C．甲地，乙地 D．乙地，丙地 14．甲、乙两名选手进行围棋比赛，已知每局比赛结果只有胜负两种，且甲每局获胜的概率为若比赛采用局胜制先胜局者赢得比赛，则甲赢得比赛的概率为（    ） A． B． C． D． 15．一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球中至少有一个红球”，事件“2个球中至多有一个红球”，事件“2个都不是红球”，则（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D． 第Ⅱ卷（非选择题 共55分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上．） 16．函数，的值域为________． 17．已知向量，，满足，则_____． 18．为了解某校高三学生寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时)，现从该校高三年级随机抽取了部分同学进行调研，在获得这些同学每天平均学习的时间后，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图，则 （1）______； （2）若样本中每天学习时间在区间上的同学恰有2人，则共抽取了______位同学调研． 19．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______． 20．已知，，，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 21．（本小题满分10分） 已知，求 (1)； (2) (3)． 22．（本小题满分10分） 已知复数满足． (1)求； (2)若是实系数一元二次方程的一个根，求方程的另一个根和的值． 23．（本小题满分10分） 如图，长方体中，，点P为的中点． (1)求三棱锥的体积． (2)求证：直线平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值； 24．（本小题满分10分） （，）是由正比例函数和反比例函数相加构成的函数，其图象具有独特的“双勾”形状，被称为“对勾函数”． (1)若，判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)若两个不相等的正数m，n满足，求证：； (3)若，是否存在实数s，t，使得在上的值域是？若存在，求出所有s，t的值；若不存在，说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $