1.6 第二课时　点到直线的距离公式 同步练 2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修 第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础公式应用到综合问题解决，梯度合理，适配新授课知识巩固与能力提升，体现数学眼光、思维与语言的素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|点到直线距离公式直接应用、简单计算|选择/填空/解答结合，基础考点全覆盖，培养运算能力与几何直观| |综合运用|距离公式与几何意义、最值问题、三角形面积|情境化问题（如“切割型直线”），培养模型观念与推理意识| |拓展提高|参数直线位置关系、综合推理|含参数讨论，发展批判性思维与创新意识，深化逻辑推理能力|

第二课时　点到直线的距离公式 一、基础巩固 1.点(1,2)到直线3x－4y－3＝0的距离为(　　) A. B. C. D. 2.点(2,－3)到直线x＝－1与直线y＝1的距离之和为(　　) A.3 B.5 C.6 D.7 3.已知直线l1:y＝x和l2:x－2y＋1＝0的交点为P,则点P到直线y＝kx＋1的距离的取值范围是(　　) A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.∪ 4.(多选)已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使|PM|＝4,则称该直线为“切割型直线”.下列直线中是“切割型直线”的是(　　) A.y＝x＋1 B.y＝2 C.y＝x D.y＝2x＋1 5.(多选)已知在△ABC中,A(3,2),B(－1,5),点C在直线3x－y＋3＝0上.若△ABC的面积为10,则点C的坐标可以为(　　) A.(－1,0) B. C.(1,6) D. 6.(多选)已知直线l:x－y＋1＝0,则下列结论正确的是(　　) A.直线l的倾斜角是 B.点(,0)到直线l的距离是2 C.若直线m:x－y＋1＝0,则l⊥m D.过(2,2)与直线l平行的直线方程是x－y－4＝0 7.直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是　　　　.  8.点P(x,y)在直线x＋y－4＝0上,则x2＋y2的最小值是　　　　.  9.已知直线l经过点(－2,3),且原点到直线l的距离等于2,则直线l的方程为　　　　　　.  10.已知某直线在两坐标轴上的截距相等,且点A(3,1)到该直线的距离为,求该直线的方程. 二、综合运用 11.已知实数x,y满足3x－4y－6＝0,则的最小值为(　　) A.2 B. C. D. 12.已知动直线l:ax＋by＋c－2＝0(a>0,c>0)恒过点P(1,m)且点Q(4,0)到动直线l的最大距离为3,则的最小值为　　　　.  13.已知△ABC的顶点A(5,1),边AB上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0,边AC上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0. (1)求顶点C的坐标； (2)求△ABC的面积. 三、拓展提高 14.已知直线m:(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0,n:x－2y＋3＝0. (1)当a＝0时,直线l过m与n的交点,且它在两坐标轴上的截距互为相反数,求直线l的方程； (2)若坐标原点O到直线m的距离为,判断m与n的位置关系. 第二课时　点到直线的距离公式 一、基础巩固 1.点(1,2)到直线3x－4y－3＝0的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由点到直线的距离公式,得点(1,2)到直线3x－4y－3＝0的距离d＝,故选B. 2.点(2,－3)到直线x＝－1与直线y＝1的距离之和为(　　) A.3 B.5 C.6 D.7 答案　D 解析　点(2,－3)到直线x＝－1的距离为|2－(－1)|＝3,点(2,－3)到直线y＝1的距离为|－3－1|＝4,故距离之和为7. 3.已知直线l1:y＝x和l2:x－2y＋1＝0的交点为P,则点P到直线y＝kx＋1的距离的取值范围是(　　) A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.∪ 答案　C 解析　联立l1与l2的方程 解得x＝y＝1, 则P(1,1),P到直线y＝kx＋1的距离d＝, 当k＝0时,d＝0, 当k≠0时,d＝, 则0<d<1,综上,0≤d<1. 4.(多选)已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使|PM|＝4,则称该直线为“切割型直线”.下列直线中是“切割型直线”的是(　　) A.y＝x＋1 B.y＝2 C.y＝x D.y＝2x＋1 答案　BC 解析　对于A,d1＝＝3>4； 对于B,d2＝2<4； 对于C,d3＝＝4； 对于D,d4＝>4, 所以符合条件的是BC选项. 5.(多选)已知在△ABC中,A(3,2),B(－1,5),点C在直线3x－y＋3＝0上.若△ABC的面积为10,则点C的坐标可以为(　　) A.(－1,0) B. C.(1,6) D. 答案　AB 解析　由|AB|＝5,△ABC的面积为10,得点C到直线AB的距离为4.直线AB的方程为3x＋4y－17＝0,设C(x,3x＋3),＝4,解得x＝－1或x＝.故点C坐标为(－1,0)或. 6.(多选)已知直线l:x－y＋1＝0,则下列结论正确的是(　　) A.直线l的倾斜角是 B.点(,0)到直线l的距离是2 C.若直线m:x－y＋1＝0,则l⊥m D.过(2,2)与直线l平行的直线方程是x－y－4＝0 答案　BD 解析　直线l:x－y＋1＝0的斜率k＝tan θ＝,故直线l的倾斜角是,A错误；点(,0)到直线l的距离d＝＝2,B正确；因为直线m:x－y＋1＝0的斜率k'＝,kk'＝1≠－1,故直线l与直线m不垂直,C错误；过(2,2)与直线l平行的直线方程是y－2＝(x－2),整理得x－y－4＝0,D正确,故选BD. 7.直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是　　　　.  答案　(5,－3) 解析　由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线,设垂足为M(图略),则|MP|最小, 直线MP的方程为y－1＝－(x－2), 解方程组 故所求点的坐标为(5,－3). 8.点P(x,y)在直线x＋y－4＝0上,则x2＋y2的最小值是　　　　.  答案　8 解析　由x2＋y2的几何意义可知,它表示直线x＋y－4＝0上的点到原点的距离的平方,它的最小值即为原点到该直线的距离的平方,所以(x2＋y2)min＝＝8. 9.已知直线l经过点(－2,3),且原点到直线l的距离等于2,则直线l的方程为　　　　　　.  答案　x＋2＝0或5x＋12y－26＝0 解析　当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x＝－2,符合原点到直线l的距离等于2； 当直线l的斜率存在时, 设所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2), 即kx－y＋2k＋3＝0,由d＝＝2, 得k＝－,即直线l的方程为5x＋12y－26＝0. 综上,直线l的方程为x＋2＝0或5x＋12y－26＝0. 10.已知某直线在两坐标轴上的截距相等,且点A(3,1)到该直线的距离为,求该直线的方程. 解　当直线在两坐标轴上的截距相等且为0, 即直线过原点时,设直线的方程为y＝kx, 即kx－y＝0,由已知得, 整理得7k2－6k－1＝0, 解得k＝－或k＝1, 所以所求直线的方程为x＋7y＝0或x－y＝0. 当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时, 设直线的方程为x＋y＝a, 由题意得, 整理得|a－4|＝2, 解得a＝6或a＝2, 所以所求直线的方程为x＋y－6＝0或x＋y－2＝0. 综上所述,所求直线方程为x＋7y＝0或x－y＝0或x＋y－6＝0或x＋y－2＝0. 二、综合运用 11.已知实数x,y满足3x－4y－6＝0,则的最小值为(　　) A.2 B. C. D. 答案　A 解析　,因为实数x,y满足3x－4y－6＝0,所以的几何意义为点(0,1)与直线3x－4y－6＝0上的点的距离,因此的最小值为点(0,1)到直线3x－4y－6＝0的距离,即为＝2,故选A. 12.已知动直线l:ax＋by＋c－2＝0(a>0,c>0)恒过点P(1,m)且点Q(4,0)到动直线l的最大距离为3,则的最小值为　　　　.  答案　 解析　∵动直线l:ax＋by＋c－2＝0(a>0,c>0)恒过点P(1,m), ∴a＋bm＋c－2＝0. 又点Q(4,0)到动直线l的最大距离为3, ∴＝3,解得m＝0, ∴a＋c＝2. 则(a＋c) ＝≥,当且仅当c＝2a＝时取等号. 13.已知△ABC的顶点A(5,1),边AB上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0,边AC上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0. (1)求顶点C的坐标； (2)求△ABC的面积. 解　(1)设C(m,n),因为直线AC与直线BH垂直,且C点在直线2x－y－5＝0上, 所以 解得故C(4,3). (2)设B(a,b),由题知M, 所以 即B(－1,－3),所以kBC＝, 直线BC:y－3＝(x－4), 即6x－5y－9＝0. |BC|＝, 点A到直线BC的距离d＝, 所以S△ABC＝××＝8. 三、拓展提高 14.已知直线m:(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0,n:x－2y＋3＝0. (1)当a＝0时,直线l过m与n的交点,且它在两坐标轴上的截距互为相反数,求直线l的方程； (2)若坐标原点O到直线m的距离为,判断m与n的位置关系. 解　(1)当a＝0时,直线m:－x＋3y＋6＝0, 联立 即m与n的交点为(－21,－9). 当直线l过原点时,直线l的方程为3x－7y＝0； 当直线l不过原点时,设l的方程为＝1, 将(－21,－9)代入得b＝－12, 所以直线l的方程为x－y＋12＝0, 故满足条件的直线l的方程为3x－7y＝0或x－y＋12＝0. (2)设原点O到直线m的距离为d, 则d＝, 解得a＝－或a＝－, 当a＝－时,直线m的方程为x－2y－5＝0,此时m∥n； 当a＝－时,直线m的方程为2x＋y－5＝0,此时m⊥n. 学科网（北京）股份有限公司 $