1.3 第二课时　直线方程的两点式 同步练 2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修 第一册

**基本信息** 本同步练通过基础巩固、综合运用、拓展提高三层设计，实现从直线方程公式应用到综合问题解决再到优化思想渗透的递进，培养数学推理能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|两点式、截距式方程及概念辨析|选择（含多选）、填空、解答结合，直接应用公式，辨析直线方程表示条件| |综合运用|截距绝对值相等、面积问题|需分类讨论，如等腰直角三角形截距分类、面积条件列方程| |拓展提高|最值问题|结合基本不等式求2|OA|+|OB|最小值，体现数学建模与优化思想|

第二课时　直线方程的两点式 一、基础巩固 1.若直线过点(,－3)和点(0,－4),则该直线的方程为(　　) A.y＝x－4 B.y＝x＋4 C.y＝x－6 D.y＝x＋2 2.在x轴,y轴上的截距分别是5,－3的直线的截距式方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝0 3.两条直线l1:＝1和l2:＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　) 4.直线l过A(－1,－1),B(2,5)两点,点C(1 012,b)在直线l上,则b的值为(　　) A.2 023 B.2 024 C.2 025 D.2 026 5.(多选)下列说法正确的是(　　) A.经过定点P(x0,y0)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y－y0＝k(x－x0) B.经过定点A(0,b)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y＝kx＋b C.不经过原点的直线的方程都可以表示为＝1 D.经过任意两个不同点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的方程都可以表示为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1) 6.(多选)经过点A(3,4)且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为(　　) A.x＋y－7＝0 B.x－y＋1＝0 C.4x－3y＝0 D.3x－4y＝0 7.已知直线l的方程为＝1,则直线l的倾斜角α＝　　　　.  8.已知点P(x,y)在经过A(3,0),B(0,2)两点的直线上,则4x·8y的值是　　　　.  9.已知直线l:＝1与x轴,y轴分别交于A,B两点,直线m过AB的中点和坐标原点,则直线m的方程为　　　　　　　　.  10.在△ABC中,已知点A(1,－4),B(6,6),C(－2,0). (1)若AB,AC的中点分别为M,N,求直线MN的方程； (2)求边BC上的中线所在直线的截距式方程. 二、综合运用 11.(多选)经过点(2,1)且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是(　　) A.x＋y－3＝0 B.x＋y＋3＝0 C.x－y－1＝0 D.x－y＋1＝0 12.已知A(3,0),B(0,4),P(m,n)是直线AB上一动点,则mn的最大值是　　　　.  13.直线l过定点A(－2,3),且与两坐标轴围成的三角形面积为4,求直线l的方程. 三、拓展提高 14.过点P(1,1)的直线与x轴正半轴相交于点A(a,0),与y轴正半轴相交于点B(0,b),当2|OA|＋|OB|取最小值时,求直线的截距式方程. 第二课时　直线方程的两点式 一、基础巩固 1.若直线过点(,－3)和点(0,－4),则该直线的方程为(　　) A.y＝x－4 B.y＝x＋4 C.y＝x－6 D.y＝x＋2 答案　A 解析　因为直线过点(,－3)和点(0,－4),所以直线的方程为,整理得y＝x－4. 2.在x轴,y轴上的截距分别是5,－3的直线的截距式方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝0 答案　B 解析　由方程的截距式易知直线方程为＝1,即＝1,故选B. 3.两条直线l1:＝1和l2:＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　) 答案　A 解析　将两方程化为截距式l1:＝1,l2:＝1.假定l1的位置,判断a,b的正负,从而确定l2的位置,知A项符合. 4.直线l过A(－1,－1),B(2,5)两点,点C(1 012,b)在直线l上,则b的值为(　　) A.2 023 B.2 024 C.2 025 D.2 026 答案　C 解析　因为直线l过A(－1,－1),B(2,5)两点,则直线方程为,整理得2x－y＋1＝0,将C(1 012,b)代入可得2×1 012－b＋1＝0,解得b＝2 025. 5.(多选)下列说法正确的是(　　) A.经过定点P(x0,y0)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y－y0＝k(x－x0) B.经过定点A(0,b)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y＝kx＋b C.不经过原点的直线的方程都可以表示为＝1 D.经过任意两个不同点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的方程都可以表示为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1) 答案　ABD 解析　经过定点P(x0,y0)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y－y0＝k(x－x0),故A正确；经过定点A(0,b)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y＝kx＋b,故B正确；不经过原点的直线的方程不一定都可以表示为＝1,比如x＝a或y＝b,故C错误；经过任意两个不同点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的方程都可以表示为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1),故D正确. 6.(多选)经过点A(3,4)且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为(　　) A.x＋y－7＝0 B.x－y＋1＝0 C.4x－3y＝0 D.3x－4y＝0 答案　ABC 解析　①当直线经过原点时,斜率k＝,所以直线方程为y＝x,即4x－3y＝0. ②当直线在两坐标轴上的截距相等时,设直线方程为＝1,将点A(3,4)代入,得＝1,解得a＝7,所以直线方程为＝1,即x＋y－7＝0； ③当直线在两坐标轴上的截距互为相反数时,设直线方程为＝1,将点A(3,4)代入,得＝1,解得a＝－1,所以直线方程为＝1,即x－y＋1＝0.综上所述,直线方程为4x－3y＝0或x＋y－7＝0或x－y＋1＝0,故选ABC. 7.已知直线l的方程为＝1,则直线l的倾斜角α＝　　　　.  答案　135° 解析　直线l的方程为x＋y＝2,即y＝－x＋2,直线的斜率为－1＝tan α,α∈[0°,180°),则直线的倾斜角为135°. 8.已知点P(x,y)在经过A(3,0),B(0,2)两点的直线上,则4x·8y的值是　　　　.  答案　64 解析　由截距式得直线方程为＝1,即2x＋3y＝6,所以4x·8y＝22x·23y＝22x＋3y＝26＝64. 9.已知直线l:＝1与x轴,y轴分别交于A,B两点,直线m过AB的中点和坐标原点,则直线m的方程为　　　　　　　　.  答案　2x－3y＝0 解析　由题意知:A(6,0),B(0,4),所以AB中点为P(3,2),又因为直线m过坐标原点,所以由两点式求得直线m的方程为2x－3y＝0. 10.在△ABC中,已知点A(1,－4),B(6,6),C(－2,0). (1)若AB,AC的中点分别为M,N,求直线MN的方程； (2)求边BC上的中线所在直线的截距式方程. 解　(1)由题设可求得,M, N, 故直线MN的方程为, 可化为6x－8y－13＝0. (2)设BC中点P(x0,y0),则P(2,3), BC边上的中线AP的方程为, 化为截距式为＝1. 二、综合运用 11.(多选)经过点(2,1)且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是(　　) A.x＋y－3＝0 B.x＋y＋3＝0 C.x－y－1＝0 D.x－y＋1＝0 答案　AC 解析　由题意可知,所求直线在两坐标轴上的截距相等或互为相反数,且不经过原点. (1)若所求直线在两坐标轴上的截距相等且不经过原点,可设所求直线的方程为＝1,将点(2,1)的坐标代入直线＝1的方程,得＝1,解得a＝3,此时,所求直线的方程为x＋y－3＝0. (2)若所求直线在两坐标轴上的截距互为相反数且不经过原点,可设所求直线的方程为＝1,将点(2,1)的坐标代入直线＝1的方程,得＝1,解得a＝1,此时,所求直线的方程为x－y－1＝0.综上所述,所求直线的方程为x＋y－3＝0或x－y－1＝0,故选AC. 12.已知A(3,0),B(0,4),P(m,n)是直线AB上一动点,则mn的最大值是　　　　.  答案　3 解析　由于直线AB过点A(3,0),B(0,4),因此直线AB的截距式方程为＝1. 因为P(m,n)在直线AB上,所以＝1,则m＝3－n,所以mn＝3n－n2＝(－n2＋4n)＝[－(n－2)2＋4]≤3,当n＝2时,mn取得最大值3. 13.直线l过定点A(－2,3),且与两坐标轴围成的三角形面积为4,求直线l的方程. 解　设直线l的方程为＝1. 因为点A(－2,3)在直线l上, 所以＝1. ① 又因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为4, 所以×|a|·|b|＝4. ② 由①②可知 解得 故直线l的方程为＝1或＝1, 即9x＋2y＋12＝0或x＋2y－4＝0. 三、拓展提高 14.过点P(1,1)的直线与x轴正半轴相交于点A(a,0),与y轴正半轴相交于点B(0,b),当2|OA|＋|OB|取最小值时,求直线的截距式方程. 解　由题意设所求直线的方程为 ＝1(a>0,b>0), 因为所求直线过点P(1,1),所以＝1, 2|OA|＋|OB|＝2a＋b＝(2a＋b)＝3＋≥3＋2＝3＋2(当且仅当a＝1＋,b＝＋1时等号成立). 故2|OA|＋|OB|有最小值3＋2, 此时所求直线的截距式方程为＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $