1.6 第一课时　两点间的距离公式 同步练 2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修 第一册

**基本信息** 本同步练通过基础巩固、综合运用、拓展提高三层设计，实现从公式直接应用到几何证明的梯度进阶，强化数学运算能力与逻辑推理，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|两点间距离公式、中点坐标公式、斜率与距离综合|单选/多选/填空结合，如第4题判断四边形形状，强化运算能力| |综合运用|直线方程与距离交汇、距离最值问题|解答题结合直线交点计算（第13题），培养模型意识| |拓展提高|坐标系下几何命题证明|第14题通过建系证明线段关系，发展创新意识与逻辑推理|

第一课时　两点间的距离公式 一、基础巩固 1.已知点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点M的坐标是(3,4),则线段AB的长为(　　) A.10 B.5 C.8 D.6 2.(多选)对于,下列说法正确的是(　　) A.可看作点(x,0)与点(1,2)的距离 B.可看作点(x,0)与点(－1,－2)的距离 C.可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离 D.可看作点(x,－1)与点(－1,1)的距离 3.已知过点M(－2,a),N(a,4)的直线的斜率为－,则|MN|等于(　　) A.10 B.180 C.6 D.6 4.已知点A(1,2),B(－1,1),C(0,－1),D(2,0),则四边形ABCD的形状为(　　) A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.正方形 5.已知A(5,2a－1),B(a＋1,a－4),当|AB|取最小值时,实数a的值是(　　) A.－ B.－ C. D. 6.(多选)已知点M(x,－4)与点N(2,3)间的距离为7,则x＝(　　) A.－9 B.－5 C.5 D.9 7.过点A(a,4)和点B(b,2)的直线与直线x＋y＋m＝0垂直,则|AB|＝　　　　.  8.已知△ABC的顶点A(2,3),B(－1,0),C(2,0),则△ABC的周长是　　　　.  9.在平面直角坐标系xOy中,已知A(4,3),B(5,2),C(1,0),平面内的点P满足|PA|＝|PB|＝|PC|,则点P的坐标为　　　　.  10.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－a,0),B(a,0),C(0,a).求证:△ABC是等边三角形. 二、综合运用 11.(多选)已知点M(4,3),过原点的直线l与直线y＝3交于点A,若|AM|＝2,则直线l的方程为(　　) A.x－2y＝0 B.2x－y＝0 C.3x－2y＝0 D.2x－3y＝0 12.已知x,y∈R,S＝,则S的最小值是　　　　.  13.已知直线l1:2x＋y－6＝0和点A(1,－1),过A点作直线l与已知直线l1相交于B点,且使|AB|＝5,求直线l的方程. 三、拓展提高 14.如图,在△ABC中,|AB|＝|AC|,D是BC边上异于B,C的任意一点.求证:|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|. 第一课时　两点间的距离公式 一、基础巩固 1.已知点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点M的坐标是(3,4),则线段AB的长为(　　) A.10 B.5 C.8 D.6 答案　A 解析　设A(a,0),B(0,b),则a＝6,b＝8,即A(6,0),B(0,8),所以|AB|＝＝10,故选A. 2.(多选)对于,下列说法正确的是(　　) A.可看作点(x,0)与点(1,2)的距离 B.可看作点(x,0)与点(－1,－2)的距离 C.可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离 D.可看作点(x,－1)与点(－1,1)的距离 答案　BCD 解析　＝,可看作点(x,0)与点(－1,－2)的距离,可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离,可看作点(x,－1)与点(－1,1)的距离,故选项A不正确. 3.已知过点M(－2,a),N(a,4)的直线的斜率为－,则|MN|等于(　　) A.10 B.180 C.6 D.6 答案　D 解析　由已知得＝－,解得a＝10,∴|MN|＝＝6,故选D. 4.已知点A(1,2),B(－1,1),C(0,－1),D(2,0),则四边形ABCD的形状为(　　) A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.正方形 答案　D 解析　由两点间的距离公式可得, |AB|＝, |BC|＝, |CD|＝, |DA|＝, 所以|AB|＝|BC|＝|CD|＝|DA|. 又|AC|＝, |BD|＝, 所以|AC|＝|BD|, 故四边形ABCD是正方形,故选D. 5.已知A(5,2a－1),B(a＋1,a－4),当|AB|取最小值时,实数a的值是(　　) A.－ B.－ C. D. 答案　C 解析　∵A(5,2a－1),B(a＋1,a－4), ∴|AB|＝ ＝ ＝,∴当a＝时,|AB|取得最小值. 6.(多选)已知点M(x,－4)与点N(2,3)间的距离为7,则x＝(　　) A.－9 B.－5 C.5 D.9 答案　BD 解析　由|MN|＝7,得|MN|＝＝7,即x2－4x－45＝0,解得x＝9或x＝－5,故所求x的值为9或－5,故选BD. 7.过点A(a,4)和点B(b,2)的直线与直线x＋y＋m＝0垂直,则|AB|＝　　　　.  答案　2 解析　因为过点A(a,4)和点B(b,2)的直线与直线x＋y＋m＝0垂直,所以kAB＝＝1,即a－b＝2,所以|AB|＝＝2. 8.已知△ABC的顶点A(2,3),B(－1,0),C(2,0),则△ABC的周长是　　　　.  答案　6＋3 解析　由两点间距离公式得 |AB|＝＝3, |BC|＝＝3, |CA|＝＝3. 故△ABC的周长为6＋3. 9.在平面直角坐标系xOy中,已知A(4,3),B(5,2),C(1,0),平面内的点P满足|PA|＝|PB|＝|PC|,则点P的坐标为　　　　.  答案　(3,1) 解析　设点P的坐标为(x,y), 由 可得 解得因此,点P的坐标为(3,1). 10.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－a,0),B(a,0),C(0,a).求证:△ABC是等边三角形. 证明　由两点间的距离公式得 |AB|＝＝2|a|, |BC|＝＝2|a|, |CA|＝＝2|a|. 所以|AB|＝|BC|＝|CA|, 故△ABC是等边三角形. 二、综合运用 11.(多选)已知点M(4,3),过原点的直线l与直线y＝3交于点A,若|AM|＝2,则直线l的方程为(　　) A.x－2y＝0 B.2x－y＝0 C.3x－2y＝0 D.2x－3y＝0 答案　AC 解析　设点A的坐标为(t,3),由|AM|＝＝2,解得t＝2或t＝6.当t＝2时,点A的坐标为(2,3),则直线l的斜率为,此时直线l的方程为y＝x,即3x－2y＝0；当t＝6时,点A的坐标为(6,3),则直线l的斜率为,此时直线l的方程为y＝x,即x－2y＝0.综上所述,直线l的方程为x－2y＝0或3x－2y＝0. 12.已知x,y∈R,S＝,则S的最小值是　　　　.  答案　2 解析　S＝可以看作是点(x,y)到点(－1,0)与点(1,0)的距离之和,数形结合(图略)易知最小值为2. 13.已知直线l1:2x＋y－6＝0和点A(1,－1),过A点作直线l与已知直线l1相交于B点,且使|AB|＝5,求直线l的方程. 解　当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y＋1＝k(x－1), 解方程组 即B. 由|AB|＝＝5, 解得k＝－, 所以直线l的方程为y＋1＝－(x－1), 即3x＋4y＋1＝0. 当过A点的直线的斜率不存在时,方程为x＝1. 此时,与l1的交点为(1,4),也满足题意. 综上所述,直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1. 三、拓展提高 14.如图,在△ABC中,|AB|＝|AC|,D是BC边上异于B,C的任意一点.求证:|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|. 证明　如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系. 设A(0,a),B(－b,0),C(b,0),D(m,0)(－b<m<b). 则|AB|2＝(－b－0)2＋(0－a)2＝a2＋b2, |AD|2＝(m－0)2＋(0－a)2＝m2＋a2, |BD|·|DC|＝|m＋b|·|b－m| ＝(b＋m)(b－m)＝b2－m2. 所以|AD|2＋|BD|·|DC|＝a2＋b2, 所以|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|. 学科网（北京）股份有限公司 $