25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026—2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习方程概念、解法及求根公式搭建知识支架，引导学生从已有知识自然过渡到新知探究。 其特色是采用合作探究（求根公式推导与因式分解推导）发展推理能力，结合中考真题培养应用意识，分层练习提升运算能力。结构化小结梳理知识，助力学生系统掌握，教师可高效开展教学。

人教版数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25.2降次——解一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的 根与系数的关系 学习目标 1 2 了解一元二次方程的根与系数的关系，能进行简单应用． 在探究一元二次方程根与系数的关系的过程中，发展代数推理能力. 目录 1 4 2 3 巩固练习 典例分析 复习引入 合作探究 5 6 当堂检测 课堂小结 7 布置作业 1 复习引入 一元二次方程 概念 相关概念 解法 应用 只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2的方程. 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 直接开平方法 降次 配方法 公式法 因式分解法 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 x1= ，x2=. 单根与系数的关系 两根与系数的关系？ Δ≥0 2 合作探究 思考 观察求根公式，它有什么特点?由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发? 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 x1= ，x2=. 相同部分 相反部分 整体上看，两个根分别是“m+n”和“m−n”的形式，而且式子“n”中含有根号.这种形式的式子 可以消去“n”， 可以去掉“n”中的根号，从而使形式简洁. 相加 相乘 2 合作探究 ∵x1= ，x2=， ∴x1+x2=+ x1·x2=· ==. ==. 2 合作探究 韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2与其 系数a，b，c有如下关系： x1+x2=，x1·x2=. 这种表示方式中，交换x1，x2的位置，不影响它们的和、积的值.随着后续的学习，研究一元n次方程的根与系数的关系时，我们会认识到这种表示更具一般性. 一元二次方程 概念 相关概念 解法 应用 只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2的方程. 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 直接开平方法 降次 配方法 公式法 因式分解法 一元二次方程ax2+bx+c=0， 若左边可以分解因式为 a(x−x1)(x−x2)=0， 则该方程的两个根为x1，x2. 2 合作探究 2 合作探究 一元二次方程ax2+bx+c=0， 若左边可以分解因式为 a(x−x1)(x−x2)=0， 则该方程的两个根为x1，x2. 思考 观察等式①②，你能获得推导一元二次方程根与系数的关系的新方法吗? ① ② 由①②得 ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)， 此法可用于推导一元n次方程根与系数的关系. ax2+bx+c=ax2−a(x1+x2)x+ax1x2. 由此可得 −a(x1+x2)=b，ax1x2=c. 因此 x1+x2=，x1·x2=. 3 典例分析 例5 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1)x2−6x−15=0；(2)3x2+7x−9=0；(3)5x−1=4x2. 解：(1) x1+x2=−(−6)=6， x1x2=−15. (2) x1+x2=− ， x1x2==−3. (3)方程化为4x2−5x+1=0，所以 x1+x2=− = ， x1x2= . 3 典例分析 中考演练（2026黑龙江绥化）已知x1，x2是一元二次方程x2+2x−9=0的两个根，则x1+x2−2x1x2的值为（     ） A．16 B．−16 C．20 D．−20 A 3 典例分析 中考演练（2026四川凉山州）已知一元二次方程x2+4x−3=0的两根是x1，x2，则x12+x22的值为_______． 解：∵一元二次方程x2+4x−3=0的两根是x1，x2， 其中a=1，b=4，c=−3 ， ∴x1+x2==−4，x1x2==−3， ∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2 =(−4)2−2×(−3) =16+6=22． 22 3 典例分析 中考演练（2024山东德州）已知a和b是方程x2+2024x−4=0的两个解，则a2+2023a−b的值为________． 解：∵a和b是方程x2+2024x−4=0的两个解， ∴a2+2024a−4=0，a+b=−2024， ∴a2+2024a=4， ∴a2+2023a−b =a2+2024a−(a+b) =4−(−2024) =4+2024=2028. 2028 4 巩固练习 1. 不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1)x2−3x=15； (2)3x2+2=1−4x； (3)5x2−1=4x²−x； (4)2x2−x+2=3x+1. 快 速 核 对 答 案 4 巩固练习 2. 已知方程5x2+kx−6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设方程的两个根分别是x1，x2，其中x1=2 . ∴ x1 · x2=2x2=， 即 x2=. 由题意得 x1+x2==2+ ( ) ， 解得： k=－7. 答：方程的另一个根是，k的值是－7. 3. 一元二次方程x2+3x−1=0的两根为x1，x2，则+ 的值为（    ） A． B．−3 C．3 D．− 4 巩固练习 提示：+ = . C 5 当堂检测 1. 已知方程x2+3x=2，则下列说法正确的是（     ） A．方程的两根之和是3 B．方程的两根之和是−3 C．方程的两根之积是2 D．方程的两根之差是−2 B 2. 已知长方形相邻两边长是一元二次方程x2−12x+9=0的两个根，则这个长方形的面积是________． 9 5 当堂检测 解：设一元二次方程x2−12x+9=0的两个根分别为x1和x2． 根据根与系数的关系可得：x1x2= = =9． ∵长方形相邻两边长是该一元二次方程的两个根， ∴这个长方形的面积为x1x2=9． 3. 已知关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围． 5 当堂检测 解：(1)由题意得 Δ=(−2)2−4m>0， 解得m<1． 3. 已知关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根． (2)记该方程的两个实数根为x1和x2，若(x1x2)2+x1+x2=6，求m的值． 5 当堂检测 解：(2)由题意得x1+x2=2，x1x2=m， ∴m2+2=6， 解得m1=−2，m2=2， ∵m<1， ∴m=−2． 提示：别忘了考虑Δ哦！ 6 课堂小结 一元二次方程 概念 相关概念 解法 应用 只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2的方程. 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 直接开平方法 降次 配方法 转化 公式法 应用 因式分解法 根与系数的关系 x1+x2=，x1·x2=. 7 布置作业 A B 习题25.2：第7，8题. 习题25.2：第11，12题. $