25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过引导学生观察求根公式特点，自主推导韦达定理，衔接求根公式知识，构建从公式理解到应用的学习支架，帮助学生掌握两根和与积的核心公式及变形。 其特色在于以问题情境激发探究，通过分层例题、练习及中考真题，培养学生数学思维中的推理与运算能力，强调判别式检验的严谨性，助力学生提升知识应用与创新意识，为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月16日 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 第25章 一元二次方程 人教版九年级上册25.2.4一元二次方程的根与系数的关系练习题（含解析） 本次练习题聚焦一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）核心考点，贴合教材25.2.4小节内容，涵盖基础公式应用、两根和与积计算、代数式求值、参数求解等题型，难度梯度清晰，适配课堂同步训练与课后巩固。核心知识点：对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$，当判别式$$\Delta\geq0$$时，方程的两根$$x_1、x_2$$满足：$$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$$，$$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$$。常用变形公式：$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$、$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$。 一、选择题（基础巩固） 1. 已知一元二次方程$$x^2-5x+6=0$$的两根为$$x_1、x_2$$，则$$x_1+x_2$$的值为（ ） A. 5 B. -5 C. 6 D. -6 2. 若方程$$2x^2+3x-4=0$$的两根为$$x_1、x_2$$，则$$x_1x_2$$的值为（ ） A. 2 B. $$\dfrac{3}{2}$$ C. $$-2$$ D. $$-\dfrac{3}{2}$$ 二、填空题（能力提升） 3. 已知方程$$x^2+mx+8=0$$的一个根是2，则另一个根为______，$$m=$$______。 4. 设$$x_1、x_2$$是方程$$x^2-4x+2=0$$的两根，则$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=$$______。 三、解答题（核心应用） 5. 已知$$x_1、x_2$$是一元二次方程$$3x^2-2x-5=0$$的两根，不解方程，求下列代数式的值： （1）$$x_1^2+x_2^2$$ （2）$$(x_1-x_2)^2$$ 6. 已知关于$$x$$的一元二次方程$$x^2-2(k-1)x+k^2=0$$的两根为$$x_1、x_2$$，且$$x_1+x_2=4$$，求$$k$$的值。 四、参考答案与详细解析 1. 答案：A 解析：由方程得$$a=1，b=-5，c=6$$，根据韦达定理，$$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=5$$。 2. 答案：C 解析：由方程得$$a=2，b=3，c=-4$$，$$x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-4}{2}=-2$$。 3. 答案：4，-6 解析：设另一个根为$$x$$，由两根之积$$2x=8$$，解得$$x=4$$；两根和$$2+4=-m$$，得$$m=-6$$。 4. 答案：2 解析：由题意得$$x_1+x_2=4$$，$$x_1x_2=2$$，原式$$=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{4}{2}=2$$。 5. 解答： 由方程$$3x^2-2x-5=0$$得：$$a=3，b=-2，c=-5$$，因此$$x_1+x_2=\dfrac{2}{3}$$，$$x_1x_2=-\dfrac{5}{3}$$。 （1）$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\left(\dfrac{2}{3}\right)^2-2\times\left(-\dfrac{5}{3}\right)=\dfrac{4}{9}+\dfrac{10}{3}=\dfrac{34}{9}$$。 （2）$$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=\left(\dfrac{2}{3}\right)^2-4\times\left(-\dfrac{5}{3}\right)=\dfrac{4}{9}+\dfrac{20}{3}=\dfrac{64}{9}$$。 6. 解答： 由韦达定理得$$x_1+x_2=2(k-1)$$，已知$$x_1+x_2=4$$，因此列方程：$$2(k-1)=4$$，解得$$k=3$$。 检验：当$$k=3$$时，$$\Delta=[-2(3-1)]^2-4\times1\times9=16-36=-20<0$$，方程无实数根，不符合题意，故$$k$$无解。 易错总结：运用根与系数关系解题，必须先保证$$a eq0$$且$$\Delta\geq0$$；计算时注意$$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$$的负号，切勿遗漏；求解参数后一定要代入判别式检验，排除无实数根的情况。 学习目标 1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系. (重点) 2.通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索， 让学生参与两根之和与两根之积的规律 3. 学会在合作交流中归纳总结出二次方程的根 与系数的关系特点，提高了学生解决问题的能力. 学习目标 由一元二次方程的解法可知，当Δ ≥0 时，方程 +bx +c=0 (a≠0)的根可由系数a,b,c确定.由求根公式可知，通过对系数a,b,c进行有限次加、减、乘、除、乘方、开方等运算，可以得到方程的根.求根公式反映了一元二次方程的根与系数的关系，这种关系还有其他表现形式吗？ 思考：观察求根公式 x=，它有什么特点？由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？ 整体上看，两个根分别是“m+n”和“m-n”的形式，而且式子“n”中含有根号. 这种形式的式子相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号，从而使形式简洁. 因为 x1=，x2=. 所以 x1+x2 = = =﹣ . x1x2 = = = = . 由此得出，一元二次方程 +bx +c=0 的两个根x1，x2与其系数a，b，c有如下关系： x1+x2 =﹣ ，x1x2 = . 使用条件： (1)方程是一元二次方程，即二次项系数不为0； (2)方程有实数根，即△≥0. 上述关系还可以用如下方法得出. 我们知道，如果一元二次方程 +bx +c=0 的左边可以分解因式为，那么方程 +bx +c=0的两个根为 x1和 x2 . 反过来，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根为x1和 x2， 那么 即 ax²+bx+c=ax²-a(x1+ x2)x+ax1x2. 由此可得 -a(x1+ x2)=b，ax1x2=c. 因此 x1+x2 = ﹣ ，x1x2 = . 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 ，的和与积： (1)－6x－15 = 0；(2)+7x－9 = 0(3). 例1 解：(1) ， . (2) ，. (3)方程化为 ， 所以 ，. 跟踪训练 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1,x2的和与积： (1)3x2-2x-1=0； (2)5x-5=6x2-4. 解：(1)∵a = 3， b = -2，c = -1， ∴ ， . (2) 方程化为 6- 5x + 1 = 0，∴ a = 6， b = -5， c = 1， ∴ ，. 将方程整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式 确定a,b,c的值 根据x1+x2 = ， x1x2 = 求解. ∆≥0 1. 不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x²-3x=15； (2) 3x²+2=1-4x; (3) 5x²-1=4x²-x; (4) 2x²-x+2=3x+1. 解：(1)方程变形为 - 3x - 15 = 0， 根据根与系数的关系，得 = -(-3) = 3, = -15. (2)方程变形为 3+ 4x + 1 = 0， 根据根与系数的关系，得 . 1. 不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x²-3x=15； (2) 3x²+2=1-4x; (3) 5x²-1=4x²-x; (4) 2x²-x+2=3x+1. 解：(3)方程变形为 + x - 1 = 0， 根据根与系数的关系，得 . (4)方程变形为 2- 4x + 1 = 0， 根据根与系数的关系，得 . 随堂练习 2. 关于x的方程x2+px+q=0的根为 x1=1+，x2=1- ， 则p= ，q= . -2 -1 解析：根据根与系数的关系 = 2， ∴ -p = 2，即 p = -2. = 1 - 2 = -1， ∴ q = -1. 随堂练习 3.已知方程5x2+kx－6=0的一根是2，则另一根是 ， k＝ . -7 解析：设方程的两根为= 2，另一根为 . 根据根与系数的关系， 即 ，∴ . 又 ， 即 ， ∴ k = -7. ∴另一根是 ，k = -7. 随堂练习 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 1. 若，是方程 的两个根， 则( ) A A. B. C. D. 2.若,是一元二次方程 的两个实数根，则 ____. 中考考法 14 3. 请写出一个满足下列条件的一元二次方程： 二次项系数不为1，且两根之和为负，两根之积为负.你所写 的一元二次方程是_______________________________. （答案不唯一） 中考考法 15 知识点2 一元二次方程的根与系数的关系的应用 4. 已知,是关于 的一元二次方程 的两个实数根，其中，则 ____. 思路支架 中考考法 16 5.[2025泸州] 若一元二次方程的两根为 , ，则 的值为____. 10 【点拨】 一元二次方程的两根为 , ， ， . 中考考法 17 6. [2025河北] 若一元二次方程 的两根之和 与两根之积分别为，，则点 在平面直角坐标系中位 于( ) C A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 中考考法 18 定义 根与系数的关系 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根分别是 x1，x2，那么 _____________,_____________ 应用前提 方程有实数根，即_____________ 应用 Δ=b2 - 4ac≥0 课堂小结 $