25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，课堂导入从公式法解一元二次方程的根入手，引导学生推导两根之和与积，建立与已学求根公式的联系，搭建学习支架帮助理解韦达定理。 其亮点在于通过例题解析、易错点反思和跟踪训练，结合根的判别式综合应用，培养学生的推理能力和运算能力。如例2结合判别式求参数，跟踪训练2通过代数式变形应用定理，学生能提升逻辑推理与运算能力，教师可借助清晰结构和实例提高教学效率。

25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 第二十五章　25.2　降次——解一元二次方程 学习目标 1.理解一元二次方程中根与系数的关系，能用符号表示根与系数的关系. 2.综合利用根的判别式、一元二次方程中根与系数的关系，解决一些简单的实际问题. 3.在利用一元二次方程中根与系数的关系解决问题的过程中，提高逻辑推理能力与数学运算能力. 课堂引入 根据公式法解一元二次方程的知识可知，当方程ax2+bx+c =0有实数根时，方程的根为x1=，x2=，那么x1+x2，x1·x2分别怎么表示呢？ 一、 一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 方程ax2+bx+c =0的根是由系数________的值决定的，且x1+x2=__，x1x2=_，用文字叙述为：两根之和等于一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数之比，这个关系叫作一元二次方程的根与系数的关系. a，b，c - 例1　(课本P16例5)根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积. (1)x2-6x-15=0；(2)3x2+7x-9=0；(3)5x-1=4x2. 解　(1)x1+x2=-(-6)=6，x1 x2=-15. (2)x1 +x2=-，x1 x2==-3. (3)方程化为4x2-5x+1=0，所以x1 +x2=-=，x1 x2=. 反思感悟 根据已知的一元二次方程求方程的两根之和与两根之积时，其易错点有两处，一是混淆了二次项系数为1与二次项系数不为1的区别；二是容易出现符号等方面的错误. 跟踪训练1　(课本P18习题25.2第11题改编)设α，β是一元二次方程3x2+x-2=0的两个根，求下列各式的值. (1)α(1+β)+β；(2)(α+β)2；(3)+. 解　∵α，β是一元二次方程3x2+x-2=0的两个根，∴α+β=-，αβ=-， (1)α(1+β)+β=(α+β)+αβ=-1. (2)(α+β)2==. (3)+===. 二、 一元二次方程根与系数的关系的应用 知识梳理 利用一元二次方程的根与系数的关系，可以解决下列问题：①求已知方程的两根之和与两根之积，以及与方程的两根之和或两根之积有关的代数式的值，②已知方程的一个根求方程的另一个根或方程中的字母参数；③与根的判别式相结合，求方程中字母参数的取值范围等. 例2　已知关于x的方程：(1-m)x2-2x+1=0. (1)当m为何值时，方程有实数根？ 解　当1-m=0，即m=1时， 方程有1个实数根； 当1-m≠0，Δ=(-2)2-4(1-m)≥0时， 即m≥0，且m≠1时，方程有实数根. 综上所述，当m≥0时，方程有实数根. 例2　已知关于x的方程：(1-m)x2-2x+1=0. (2)若方程有两实数根x1，x2，且++3x1x2=0，求m的值. 解　由根与系数的关系得x1+x2=，x1x2=. ∵方程有两实数根，由(1)可得m≥0且m≠1. 又∵++3x1x2=0， ∴(x1+x2)2=-x1x2， 即=， 解得m=5， 经检验m=5是分式方程的解，∴m的值为5. 反思感悟 利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题时，其前提是方程必须有实数根，所以当方程中含有字母参数时，要注意与一元二次方程的根的判别式相结合. 跟踪训练2　已知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m2+m=0. (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； 证明　∵Δ=[-(2m+1)]2-4(m2+m) =4m2+4m+1-4m2-4m =1>0， ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根. 跟踪训练2　已知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m2+m=0. (2)设该方程的两个实数根为a，b，且(2a+b)(a+2b)=20，求m的值. 解　∵该方程的两个实数根为a，b， ∴a+b=-=2m+1，ab==m2+m， ∵(2a+b)(a+2b)=2a2+4ab+ab+2b2 =2(a2+2ab+b2)+ab=2(a+b)2+ab=20， ∴2(2m+1)2+m2+m=20， 整理得m2+m-2=0， 解得m1=-2，m2=1， ∴m的值为-2或1. 课堂小结 1.已知关于x的一元二次方程2x2+mx-3=0的一个根是-1，则另一个根是 A.1　　　　B.-1　　　　C.　　　　D.- 随堂演练 √ 解析　设方程的另一根为x1， 根据根与系数的关系可得-1·x1=-， 解得x1=. 随堂演练 2.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为2和-3，则 A.b=1，c=-6 B.b=-1，c=-6 C.b=5，c=-6 D.b=-1，c=6 √ 解析　根据题意得2+(-3)=-b，2×(-3)=c， 解得b=1，c=-6. 随堂演练 3.已知a，b是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则a2b+ab2的值是 A.-1　　　　B.-5　　　　C.-6　　　　D.6 √ 解析　∵a，b是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根， ∴ab=-3，a+b=2， ∴a2b+ab2=ab(a+b)=-3×2=-6. 随堂演练 4.一元二次方程x2-3x+1=0的两个实数根的平方和为____.  7 解析　设方程的两个根分别为x1，x2， ∴x1+x2=3， x1x2=1， +=(x1+x2)2-2x1x2=7. 谢谢观看 $