2.1.1 有理数的加法 暑期预习导学案（附同步作业）-2026-2027学年人教版数学七年级上册

2.1.1 有理数的加法 一、学习目标 1. 借助数轴运动模型、生活实际情景，理解有理数加法的几何意义，经历法则的推导过程。 2. 熟记有理数加法的四条完整法则，区分同号、异号、互为相反数、与 0 相加四种情况。 3. 掌握有理数加法标准解题步骤：先定符号，再算绝对值，规范书写解题格式。 4. 能够正确计算整数、分数、小数形式的有理数加法，纠正小学只有正数相加的思维误区。 5. 体会数形结合、分类讨论两种初中数学核心思想，会用有理数加法解决温度、海拔、收支等实际问题。 学习重点 牢记加法法则，严格按照 “定符号、算绝对值” 的步骤进行计算。 学习难点 理解绝对值不相等的异号两数相加的运算逻辑，准确判断结果的正负符号。 二、课前预习・旧知回顾 1. 数轴三要素： 、 、 ；规定向右为正方向，向左为负方向。 2. 绝对值的定义：数轴上的点到原点的距离，所以任意有理数的绝对值一定是 数。 3. 相反数：绝对值相等、符号相反的两个数互为相反数，例：的相反数是 ；互为相反数的两个数到原点距离相等。 4. 小学加法：正数与正数相加，直接把数值相加，不存在符号问题。 三、新知探究（数形结合：数轴动点探究法则） 情景设定：把一个小球放在数轴原点，向右运动记作正数，向左运动记作负数，研究两次连续运动之后的最终位置。 探究 1：同号两数相加（两个正数 / 两个负数） 例 1：小球先向右走 3 米，再向右走 2 米。 列式：，终点在原点右侧 5 米处。 例 2：小球先向左走 3 米，再向左走 2 米。 列式：，终点在原点左侧 5 米处。 ✅ 法则 1：同号两数相加，取相同的符号，并且把绝对值相加。 书写格式： 探究 2：绝对值不相等的异号两数相加（一正一负） 例 1：向右走 5 米，再向左走 3 米： 负数绝对值更小，最终结果为正，用大数减小数。 例 2：向右走 3 米，再向左走 5 米： 负数的绝对值更大，最终结果为负，用大绝对值减去小绝对值。 ✅ 法则 2：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 探究 3：互为相反数的两个数相加 小球向右走 4 米，再向左走 4 米，回到原点。 列式： ✅ 法则 3：互为相反数的两个数相加，和等于 0。 探究 4：一个数和 0 相加 小球向左走 7 米，原地不动（加 0）： ✅ 法则 4：一个数同 0 相加，结果仍然等于它本身。 万能计算口诀（背诵） 判断类型定符号，绝对值来做运算； 同号相加取同号，绝对值加不要变； 异号两数比大小，大减小数跟大号； 相反数相加等于零，任何数加 0 不变样。 四、例题精讲（标准答题格式，初中规范写法） 例 1：同号相加 计算： 解：两个负数，符号为负，绝对值相加 原式 例 2：异号两数相加（整数） 计算： 解：负数绝对值更大，符号取负，大数减小数 原式 例 3：分数形式的有理数加法 计算： 解：正数绝对值大，结果为正 原式 例 4：小数形式相加 计算： 原式 例 5：实际应用题（温度问题） 某地早晨气温，中午温度上升了，中午气温是多少？ 列式： 答：中午的气温为。 五、易错辨析（小组讨论，避坑关键点） 1、误区：看到加号就直接把数字相加，忽略符号。 纠正：有理数加法第一步永远先判断符号，不能上来就算数值。 2、误区：异号两数相加，依然把两个绝对值做加法。 纠正：异号是减法，只有同号才做绝对值的加法。 3、误区：认为正数加负数，结果一定是负数。 纠正：结果的符号，完全由绝对值更大的那一个数决定。 六、当堂分层巩固练习 基础题（口算，写出结果） 1、 2、 3、 4、 中档题（规范列式计算） 1、 2、 3、 4、 提升应用题 潜水员在水下 18 米的位置（记作米），向上游了 11 米，现在的位置记作多少米？ 七、课堂小结 1、有理数加法分四类：同号相加、异号相加、相反数相加、与 0 相加。 2、固定运算顺序：一看符号类型 → 二定最终符号 → 三计算绝对值的和或差。 3、分数、小数的加法规则和整数完全一致，运算方法不改变。 同步作业 一．选择题（共10小题） 1．设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a+b+c等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 2．计算的正确结果是（　　） A． B． C．1 D．﹣1 3．武汉市元月份某一天早晨的气温是﹣3℃，中午上升了8℃，则中午的气温是（　　） A．﹣5℃ B．5℃ C．3℃ D．﹣3℃ 4．两个数的和为正数，那么这两个数是（　　） A．正数 B．负数 C．一正一负 D．至少一个为正数 5．已知|m|＝5，|n|＝2，且n＜0，则m+n的值是（　　） A．﹣7 B．+3 C．﹣7或﹣3 D．﹣7或3 6．计算43+（﹣77）+27+（﹣43）的结果是（　　） A．50 B．﹣104 C．﹣50 D．104 7．在下列说法中：①如果a＞b，则有|a|＞|b|；②0既不是正数，也不是负数；③一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；④若m+n＝0，则m、n互为相反数．正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．若|a|＝4，|b|＝2，且a+b的绝对值与它的相反数相等，则a+b的值是（　　） A．﹣2 B．﹣6 C．﹣2或﹣6 D．2或6 9．如果两个数的和是负数，那么这两个数（　　） A．同是正数 B．同为负数 C．至少有一个为正数 D．至少有一个为负数 10．|a|+|b|＝|a+b|，则a，b关系是（　　） A．a，b的绝对值相等 B．a，b异号 C．a+b的和是非负数 D．a、b同号或a、b其中一个为0 二．填空题（共6小题） 11．两个连续自然数之和一定是　 　 （填“奇数”或者“偶数”）． 12．计算（﹣2）+1　 　 ． 13．已知|a|＝6，|b|＝2，且a＜0，b＞0，那么a+b的值为　 　 ． 14．的相反数与的绝对值的和是 　 　 ． 15．已知|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1且a＜b＜c，求a+b+c的值为 　 　 ． 16．（﹣2）+4+（﹣6）+8+…+（﹣98）+100＝　 　 ． 三．解答题（共4小题） 17．计算： （1）（﹣23）+（+58）+（﹣17）； （2）（﹣2.8）+（﹣3.6）+3.6； （3）． 18．为了有效控制酒后驾驶，广州交警的汽车在一条东西方向的公路上巡逻，约定向东为正方向，从出发点A开始所走的路程为（单位：千米）：+14，﹣9，+8，﹣7，+13，﹣6，+12，﹣5． （1）请你帮忙确定交警最后所在地相对于A地的方位？ （2）若汽车每千米耗油0.2升，如果队长命令他马上返回出发点，这次巡逻（含返回）共耗油多少升？ 19．下表记录的是今年长江某一周内的水位变化情况，这一周的上周末的水位已达到警戒水位33米（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）． 星期 一 二 三 四 五 六 水位 变化（米） +0.2 +0.8 ﹣0.4 +0.2 +0.3 ﹣0.2 （1）本周哪一天长江的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？ （2）与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了还是下降了？并通过计算说明理由． 20．10袋大米，以每袋50千克为准：超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：+0.5，+0.3，0，﹣0.2，﹣0.3，+1.1，﹣0.7，﹣0.2，+0.6，+0.7． 10袋大米共超重或不足多少千克？总重量是多少千克？ 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：依题意得：a＝1，b＝﹣1，c＝0， ∴a+b+c＝1+（﹣1）+0＝0． 故选：B． 2．【解答】解：（）＝﹣1． 故选：D． 3．【解答】解：﹣3+8＝5（℃） ∴中午的气温是5℃． 故选：B． 4．【解答】解：A、不一定，例如：﹣1+2＝1，错误； B、错误，两负数相加和必为负数； C、不一定，例如：2与6的和8为正数，但是2与6都是正数，并不是一正一负，错误； D、正确． 故选：D． 5．【解答】解：因为|m|＝5，|n|＝2， 所以m＝±5，n＝±2， 又∵n＜0， 所以n只能取﹣2． 当m＝5，n＝﹣2时，m+n＝3； 当m＝﹣5，n＝﹣2时，m+n＝﹣7． 故选：D． 6．【解答】解：原式＝（﹣43+43）+（﹣77+27）＝﹣50． 故选：C． 7．【解答】解：①如果a＞b，如1＞﹣2，|1|＝1，|﹣2|＝2，但|1|＜|﹣2|，那么|a|＞|b|不一定成立，故①不正确． ②0既不是正数也不是负数，故②正确． ③根据绝对值的定义，当a≥0，则|a|＝a，即0或正数的绝对值等于本身，故③不正确． ④根据等式的性质，m+n＝0，则m＝﹣n，那么m与n互为相反数，故④正确． 综上：正确的共2个． 故选：C． 8．【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝2， ∴a＝±4，b＝±2， ∵a+b的绝对值与它的相反数相等，即|a+b|＝﹣（a+b）， ∴a+b≤0， ∴a＝﹣4，b＝±2， 当a＝﹣4，b＝﹣2时，a+b＝﹣6； 当a＝﹣4，b＝2时，a+b＝﹣2； 故选：C． 9．【解答】解：两个数的和是负数， 这两个数至少有一个为负数． 故选：D． 10．【解答】解：A、当a、b的绝对值相等时，如a＝1，b＝﹣1，|a|+|b|＝2，|a+b|＝0，即|a|+|b|≠|a+b|，故本选项不符合题意； B、当a、b异号时，如a＝1，b＝﹣3，|a|+|b|＝4，|a+b|＝2，即|a|+|b|≠|a+b|，故本选项不符合题意； C、当a+b的和是非负数时，如：a＝﹣1，b＝3，|a|+|b|＝4，|a+b|＝2，即即|a|+|b|≠|a+b|，故本选项不符合题意； D、当a、b同号或a、b其中一个为0时，|a|+|b|＝|a+b|，故本选项符合题意； 故选：D． 二．填空题（共6小题） 11．【解答】解：设较小的自然数为n（n为自然数），则另一个连续自然数为n+1， 两数之和为n+（n+1）＝2n+1， ∵2n是2的整数倍， ∴2n是偶数， ∵偶数加1为奇数， ∴2n+1是奇数，即两个连续自然数之和一定是奇数． 故答案为：奇数． 12．【解答】解：（﹣2）+1． 故答案为：． 13．【解答】解：∵|a|＝6，|b|＝2， ∴a＝±6，b＝±2； ∵a＜0，b＞0， ∴a＝﹣6，b＝2， ∴a+b＝﹣6+2＝﹣4． 故答案为：﹣4． 14．【解答】解：根据题意得：||． 故答案为：． 15．【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1， ∴a＝±3，b＝±2，c＝±1， ∵a＜b＜c， ∴a＝﹣3，b＝﹣2，c＝﹣1或1， ∴a+b+c＝﹣3﹣2﹣1＝﹣6或a+b+c＝﹣3﹣2+1＝﹣4， 故答案为：﹣6或﹣4． 16．【解答】解：（﹣2）+4+（﹣6）+8+…+（﹣98）+100＝25×2＝50． 三．解答题（共4小题） 17．【解答】解：（1）（﹣23）+（+58）+（﹣17） ＝[（﹣23）+（﹣17）]+（+58） ＝（﹣40）+（+58） ＝18 （2）（﹣2.8）+（﹣3.6）+3.6 ＝（﹣2.8）+[（﹣3.6）+3.6] ＝﹣2.8+0 ＝﹣2.8 （3） ＝[（）]+[（）+（）] 18．【解答】（1）+14+（﹣9）+（+8）+（﹣7）+（+13）+（﹣6）+（+12）+（﹣5）＝20（千米）， 答：交警最后所在地在A地的东方20千米处． （2）14+|﹣9|+8+|﹣7|+13+|﹣6|+12+|﹣5|+20＝94（千米）， 94×0.2＝18.8（升）， 答：这次巡逻（含返回）共耗油18.8升． 19．【解答】解：（1）正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降，由此计算出每天的实际水位即可求值． 本周水位最高的为周五， 周一：+0.2， 周二：+0.2+0.8＝+1， 周三：+1﹣0.4＝+0.6， 周四：+0.6+0.2＝+0.8， 周五：+0.8+0.3＝1.1， 1.1+33＝34.1（m）， 34.1﹣33＝1.1（m） 故本周五水位最高，高于警戒水位1.1m． （2）通过表格可得+0.2+0.8﹣0.4+0.2+0.3﹣0.2＝0.9m， 故与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了0.9m． 20．【解答】解：（+0.5）+（+0.3）+0+（﹣0.2）+（﹣0.3）+（+1.1）+（﹣0.7）+（﹣0.2）+（+0.6）+（+0.7） ＝1.8（千克）， 50×10+1.8＝501.8（千克）． 答：10袋大米共超重1.8千克，总重量是501.8千克 1.1 正数和负数 一．选择题（共8小题） 1．小明买了4袋标准质量为450克的食品，他对这4袋食品的实际质量进行了检测，检测结果如下（用正数记超过标准质量的克数，用负数记不足标准质量的克数）： 第一袋 第二袋 第三袋 第四袋 +2 0 +1 ﹣2 其中最重的是（　　） A．第一袋 B．第二袋 C．第三袋 D．第四袋 2．中国是历史上最早认识和使用负数的国家．正数和负数表示具有相反意义的量，若零上6℃记作+6℃，则零下6℃可记作（　　） A．6℃ B．﹣6℃ C．0℃ D．12℃ 3．数字人民币是人民银行发行的数字形式法定货币，它将会逐步在全国普及．若数字人民币钱包中收入100元记作+100元，则支出20元记作（　　） A．+20元 B．﹣20元 C．+80元 D．﹣80元 4．某速冻元宵的储藏温度是﹣18±2℃，下列四个冷冻室的温度中，不适合储藏此种元宵的是（　　） A．﹣22℃ B．﹣20℃ C．﹣18℃ D．﹣16℃ 5．某校组织学生去劳动基地采摘杨梅，并称重、封装．规定一筐杨梅的标准质量为2500g，如果比标准质量多50g表示为+50g，那么比标准质量少35g表示为（　　） A．﹣35g B．+35g C．﹣50g D．+50g 6．验光师经常以“×××D”的方式记录近视程度，例如，近视50度记录为“﹣0.50D”，近视100度记录为“﹣1.00D”．通常近视超过200度时就需要持续佩戴眼镜进行视力矫正，下列是4位同学的验光记录，需要持续佩戴眼镜的是（　　） A．﹣2.50D B．﹣0.75D C．﹣1.25D D．﹣1.50D 7．当A地高于海平面152m时，记作“海拔+152m”，那么B地低于海平面23m时，记作（　　） A．海拔23m B．海拔﹣23m C．海拔175m D．海拔129m 8．小宇在进行体育运动时消耗400千卡（千卡为热量单位），记作﹣400，那么摄入食物获得500千卡，记作（　　） A．﹣400 B．+400 C．﹣500 D．+500 二．填空题（共6小题） 9．某市元旦的最高气温为零上6℃，记为+6℃；最低气温为零下3℃，则最低气温记为　 　 ℃． 10．如果把顺时针旋转70°记作+70°，那么逆时针旋转25°应记作　 　 ． 11．智能手表标注“续航：72±4小时”，最长续航　 　 小时． 12．为计数方便，某果园以每筐水果30kg为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．则“﹣3kg”表示的实际千克数是　 　 千克． 13．生活中常有正负数表示范围的情形，例如：某种药品的说明书上表明保存温度是（20±2）℃，由此可知在18℃～　 　 ℃范围内保存该药品才合适． 14．《国家学生体质健康标准》规定：七年级学生一分钟仰卧起坐优秀等级的标准成绩是45次．超过标准的次数用正数表示，不足的次数用负数表示．小明的成绩是48次，记作　 　 次． 三．解答题（共3小题） 15．食堂管理：下表是实验小学食堂库存大米在这个星期内的变化情况．（运进为正，运出为负） 星期 日 一 二 三 四 五 六 运进和运出仓库的大米质量/千克 +300 ﹣280 +260 ﹣260 +800 ﹣270 +260 ﹣250 +180 ﹣90 ﹣290 +100 （1）星期四运进大米　 　 千克，运出大米　 　 千克． （2）星期　 　 只运出大米，而没有运进大米；星期　 　 运出的大米和运进的大米同样多． （3）如果上个星期六剩余大米200千克，那么到这个星期六食堂剩余多少千克大米？ 16．近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） ﹣8 ﹣12 ﹣16 0 +22 +31 +33 （1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走 　 　 km； （2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ （3）已知汽油车每行驶100km需用汽油6.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 17．某公路养护小组乘车沿东西向公路巡视维护．某天早晨从A地出发，晚上最后到达B地，约定向东为正，当天的行驶记录如下（单位：千米）： +18，﹣9，+7，﹣14，﹣6，+13，﹣6，﹣8 试问B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？若汽车行驶每千米耗油a升，求该天共耗油多少升？ 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．【解答】解：∵+2＞+1＞0＞﹣2， ∴最重的是第一袋， 故选：A． 2．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若零上6℃记作+6℃，则零下6℃可记作﹣6℃． 故选：B． 3．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若数字人民币钱包中收入100元记作+100元，则支出20元记作﹣20元． 故选：B． 4．【解答】解：某速冻元宵的储藏温度是﹣18±2℃， 那么适宜储藏温度的范围为﹣20℃～﹣16℃， 因此只有﹣22℃符合题意， 故选：A． 5．【解答】解：如果比标准质量多50g表示为+50g，那么比标准质量少35g表示为﹣35g， 故选：A． 6．【解答】解：由题意得﹣2.50D表示近视250度，﹣0.75D表示近视75度，﹣1.25D表示近视125度，﹣1.50D表示近视150度， 那么需要持续佩戴眼镜的是﹣2.50D， 故选：A． 7．【解答】解：当A地高于海平面152m时，记作“海拔+152m”， 那么B地低于海平面23m时，记作“海拔﹣23m”， 故选：B． 8．【解答】解：消耗400千卡（千卡为热量单位），记作﹣400， 那么摄入食物获得500千卡，记作+500， 故选：D． 二．填空题（共6小题） 9．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，某市元旦的最高气温为零上6℃，记为+6℃；最低气温为零下3℃，则最低气温记为﹣3℃． 故答案为：﹣3． 10．【解答】解：如果把顺时针旋转70°记作+70°， 那么逆时针旋转25°应记作﹣25°， 故答案为：﹣25°． 11．【解答】解：最长续航72+4＝76（小时）． 故答案为：76． 12．【解答】解：“﹣3kg”表示的实际千克数为：30﹣3＝27（千克）． 故答案为：27． 13．【解答】解：20+2＝22℃，20﹣2＝18℃． 由此可知该药品在18℃至22℃范围内保存才合适． 故答案为：22． 14．【解答】解：∵48﹣45＝3（次）， ∴小明的成绩超过标准成绩3次，故记作+3次． 故答案为：+3． 三．解答题（共3小题） 15．【解答】解：（1）根据题意可知，实验小学食堂星期四运进大米180千克，运出大米90千克． 故答案为：180；90； （2）根据题意可知，实验小学食堂星期五只运出大米，而没有运进大米； 星期一运出的大米和运进的大米同样多． 故答案为：五；一； （3）200+[（300﹣280）+（260﹣260）+（800﹣270）+（260﹣250）+（180﹣90）﹣290+100] ＝200+20+530+10+90﹣290+100 ＝660千克， 答：如果上个星期六剩余大米200千克，那么到这个星期六食堂剩余660千克大米． 16．【解答】解：（1）由表格得：（+33）﹣（﹣16）＝49（km）， 即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走49km， 故答案为：49； （2）（﹣8）+（﹣12）+（﹣16）+0+（+22）+（+31）+（+33） ＝﹣36+86 ＝50（km）， 50×7+50＝400（km）； 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400km． （3）用汽油的费用：（元）， 用电的费用：（元）， 213.2﹣33.6＝179.6（元）， 答：估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省179.6元． 17．【解答】解：因为18﹣9+7﹣14﹣6+13﹣6﹣8＝﹣5． 所以B地在A地的西边，距离A地5千米． 由于|+18|+|﹣9|+|+7|+|﹣14|+|﹣6|+|+13|+|﹣6|+|﹣8| ＝18+9+7+14+6+13+6+8 ＝81（千米）， 因为汽车每千米耗油a升，所以该天共耗油81a升． 答：B地在A地的西边距离A地5千米，若汽车行驶每千米耗油a升，则该天共耗油81a升． 学科网（北京）股份有限公司 $