精品解析：山西部分学校联考2025-2026学年高二下学期7月期末自测数学试题

山西部分学校联考2025-2026学年高二下学期7月期末自测数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ） A. 2 B. C. D. 3. 复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列与均为等差数列，且，则（ ） A. 14 B. 7 C. 10 D. 5 5. 已知直角三角形的两直角边的长分别为1和2，以斜边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 甲､乙等5人排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有（ ） A. 120种 B. 48种 C. 24种 D. 12种 7. 若函数，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据如下：，则该组数据的（ ） A. 极差为10 B. 平均数为6 C. 标准差为3 D. 第80百分位数为7.5 10. 已知点在圆上，点在圆上，则（ ） A. 两圆只有一个公共点 B. 圆与轴相切 C. 的取值范围为 D. 面积的最大值为5 11. 已知点，分别是双曲线的左、右焦点，，点P，Q分别是C左、右支上一点，过点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，则下列说法正确的是（ ） A. C的离心率为 B. C的焦点到其渐近线的距离为1 C. 若，则的面积为2 D. 若P，M都位于第二象限，且，P、M三点共线，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若抛物线的焦点在直线上，则__________． 13. 已知函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，则关于的不等式的解集为_________． 14. 已知数列满足，数列满足，，记集合，若集合中有3个元素，则实数的取值范围为_________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 16. 如图，正方体的棱长为分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播2粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果全部的种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种. （1）当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望. （2）当取何值时，有4个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 18. 已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为（0，1）． （1）求的方程； （2）已知为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程； （3）过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积，求直线的方程． 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，求的单调区间； （3）若存在，使得，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西部分学校联考2025-2026学年高二下学期7月期末自测数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得. 2. 设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理计算即可. 【详解】由共线向量定理可知存在实数，使得， 即，又与是不共线向量， 所以解得. 故选：B． 3. 复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】依题意，， 所以. 4. 已知数列与均为等差数列，且，则（ ） A. 14 B. 7 C. 10 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，即， 又数列与均为等差数列，所以，解得. 故选：B. 5. 已知直角三角形的两直角边的长分别为1和2，以斜边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定沿斜边旋转一周，为同底的两个圆锥，再由圆锥的体积公式即可求解. 【详解】如图，设直角三角形的两直角边， 沿斜边旋转一周，旋转形成的几何体如图所示， 因为， 所以，则圆面积， . 6. 甲､乙等5人排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有（ ） A. 120种 B. 48种 C. 24种 D. 12种 【答案】C 【解析】 【分析】将甲､乙捆绑在一起看作一个元素，根据排列组合知识计算即可. 【详解】甲､乙相邻，将甲､乙捆绑在一起看作一个元素，共有种排法， 甲､乙相邻且在两端有种排法， 故甲､乙相邻且都不站在两端的排法有（种）. 7. 若函数，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过奇偶性和单调性去函数符号转化为一元二次不等式进行求解. 【详解】由，解得，， 又在上均为减函数， 所以在定义域上是减函数， 又，所以是奇函数， 于是不等式可化为， 所以，解得. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】因 由，可得， 即，由题意可知， 两边同除以，得， 又因，则， 故. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据如下：，则该组数据的（ ） A. 极差为10 B. 平均数为6 C. 标准差为3 D. 第80百分位数为7.5 【答案】ABC 【解析】 【详解】极差为，故A正确；平均数为，故B正确； 标准差为，故C正确； 因为，所以第80百分位数为8，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知点在圆上，点在圆上，则（ ） A. 两圆只有一个公共点 B. 圆与轴相切 C. 的取值范围为 D. 面积的最大值为5 【答案】BD 【解析】 【分析】由方程可知各圆圆心和半径，对于A：求得，即可判断两圆位置关系；对于B：可得圆心到x轴的距离，可知圆与x轴相切；对于C：根据圆的性质分析判断；对于D：可得点到直线的距离最大值为，即可得面积最值． 【详解】由题知圆的圆心，半径， 圆可化为16，故圆的圆心，半径， 则，所以两圆相交，故A错误； 因为圆心到x轴的距离，所以圆与x轴相切，故B正确； 由圆的性质可得，且， 所以的取值范围为，故C错误； 由圆的性质可知点到直线的距离最大值为， 所以面积的最大值为，故D正确； 11. 已知点，分别是双曲线的左、右焦点，，点P，Q分别是C左、右支上一点，过点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，则下列说法正确的是（ ） A. C的离心率为 B. C的焦点到其渐近线的距离为1 C. 若，则的面积为2 D. 若P，M都位于第二象限，且，P、M三点共线，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据方程和焦距可得.对于A：根据离心率的定义运算求解；对于B：根据点到直线的距离公式运算求解；对于C：根据双曲线的定义结合勾股定理可得，即可得面积；对于D：求点M的坐标，根据双曲线的定义结合图形性质分析求解. 【详解】由双曲线的方程可知，且焦点在x轴上， 因为，即，则， 可得点，，渐近线为，即. 对于选项A：双曲线C的离心率为，故A正确； 对于选项B：双曲线C的焦点到其渐近线的距离，故B正确； 对于选项C：因为， 若，则，可得， 即，可得， 所以的面积为，故C错误； 对于选项D：可知渐近线，直线， 联立方程，解得，即， 因为，即， 则， 当且仅当点Q 在线段上时，等号成立， 所以，故D正确； 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若抛物线的焦点在直线上，则__________． 【答案】2 【解析】 【详解】由题知，抛物线的焦点为，代入得，解得． 13. 已知函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，则关于的不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【详解】由图知函数的单调递减区间为和，单调递增区间为， 所以时，；时，； 由，得或， 所以． 14. 已知数列满足，数列满足，，记集合，若集合中有3个元素，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据递推关系数列是首项为，公比为的等比数列，可求出，根据等差数列的通项公式可得,结合集合的定义即可求解. 【详解】由，得，且， 则数列是首项为，公比为的等比数列，则，所以. 因为数列满足，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以. 因为集合中有3个元素，且， 所以当时，；当时，， 即，且， 所以满足条件时. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由及正弦定理可得， 所以， 又，所以，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，有，即， 又，联立解得，或（舍去）， 所以. 16. 如图，正方体的棱长为分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：取的中点为，连接. 因为分别是的中点，所以. 在正方体中，，又为的中点， 所以，四边形是平行四边形，. 又平面平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取棱的中点，使目标直线与平面  内的一条直线平行，从而由线面平行的判定定理直接得证； （2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求得直线  的方向向量和平面  的法向量；利用线面角的正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值，通过向量数量积公式计算即得结果． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为分别为的中点， 所以 所以， 设是平面的法向量，则，即， 令，则，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 17. 一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播2粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果全部的种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种. （1）当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望. （2）当取何值时，有4个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 【答案】（1）分布列见解析， （2）， 【解析】 【分析】（1）先求出每个坑不需补播种和需要补播种的概率，再根据二项分布求出其分布列和期望即可； （2）求出有4个坑要补播种的概率，再依据二项分布的概率最值问题解不等式求出即可. 【小问1详解】 对于一个坑，不需要补播种的概率为，需要补播种的概率为， 由题意可知，的可能取值有，且， 则，， ，， 则的分布列如下： 则数学期望为； 【小问2详解】 由（1）可知，有4个坑要补播种的概率为， 由，得， 因为为正整数，所以， 则当时，有4个坑要补播种的概率最大，最大概率为. 18. 已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为（0，1）． （1）求的方程； （2）已知为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程； （3）过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，且，结合运算求解，即可得椭圆方程； （2）设，根据可得，代入椭圆方程即可得轨迹方程； （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得韦达定理，分析可知，结合韦达定理运算求解即可. 【小问1详解】 设的半焦距为， 由题意可知：，且，即， 因为，即，解得， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 设，由题意可知， 则， 因为，则，可得， 又因为在椭圆上，即， 可得，化简得， 所以点的轨迹方程为． 【小问3详解】 由题意可知过点的直线的斜率不为0，且直线与椭圆必相交， 设直线的方程为，， 联立方程，消去x得， 则， 因为与椭圆的另一交点为，可知关于原点对称，即为中点， 则，即， 可得， 化简得，整理可得， 因为，则，解得， 所以直线的方程为，即或． 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，求的单调区间； （3）若存在，使得，求证：. 【答案】（1）； （2）单调递减区间为，单调递增区间为； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导得函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数，利用导数求出单调区间. （3）利用导数求得，确定函数单调性，由此可得，再按分类并构造函数，利用单调性证明不等式. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 依题意，的定义域为，求导得， 令函数，求导得， 函数，即在上单调递增，而，则当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问3详解】 函数，求导得， 则函数在上单调递减，又，则当时，；当时，， 由，得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且，则， 若存在，使得，则， 当时，，满足； 当时，，此时或， 当时，，不等式显然成立； 当时，要证，即证明，而，在上单调递增， 因此要证明，即证明，又，即证明. 令函数， 求导得，令， 求导得， 函数在上单调递减，，即，函数在上单调递增， 因此，即在区间上恒成立，则， 由，得， 由函数在上单调递增，得，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $