山西省临汾市第一中学2024-2025学年高二下学期期末数学试题

高二数学 第 1页 共 4页 2024-2025 学年度高二年级第二学期期末考试 数学试题（卷） （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．已知集合  2, 1,0,1, 2A    ，  2 2 3 0B x x x    ，则 A B ∩ A． 2, 1,0,1, 2  B． 1,0,1,2 C． 0,1,2 D． 1,2 2．若  2 i 5 5iz   ，则 z在复平面内对应的点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知向量 ,a b   的夹角为 5  ，且 � = � ，则b  与 a b  的夹角为 A． 5  B． 3 10  C． 2 5  D． 3 5  4．在∆ABC中，已知 10AB  ， 6BC  ， 8CA  ，则 AB BC    A．36 B．18 C． 18 D． 36 5．已知函数  f x 是定义 R上的奇函数，满足    2f x f x   ，且当 1 0x   时，   2 1f x x   ，则  2020f  A．0 B．1 C． 1 D． 3 6．已知等比数列 na 的前 n项和为 nS ， 1 3 30a a  ， 4 120S ，则其公比 q  A．1 B．2 C．3 D．4 7．甲､乙､丙､丁 4人站到共有 4级的台阶上，若每级台阶最多站 2人，同一级台阶上的人 不区分站的位置，则不同的站法总数是 A．204 B．84 C．66 D．60 8．已知 2 2 2( ) e ex xf x kx   ，若 ( ) 0f x  有唯一解，则 k的取值范围为 A． ( , 1]  B．[2,9) C． ( , 2] D．[ 1,3] 高二数学 第 2页 共 4页 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．若函数   3sin( )f x x   对任意 x有 ( ) ( ) 6 6 f x f x    ，则 ( ) 6 f  等于 A．－3 B．－1 C．0 D．3 10．已知    e 2 1 1 x x f x x    ，则下列结论正确的是 A．不等式   0f x  的解集为 1 ,12       B．函数  f x 在 30, 2       单调递减，在 3 , 2      单调递增 C．函数  f x 在定义域上有且仅有一个零点 D．若关于 x的方程  f x m 有解，则实数m的取值范围是   3,1 , 2         11．如图，点 P是棱长为 3的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的表面上一个动点，F 是线段 1 1AB 的 中点，则 A．若点 P满足 1AP BC ，则动点 P的轨迹长度为 6 2 B．当直线 AP与 AB所成的角为 45时，点 P的轨迹长度 为 3 π 6 2 2  C．三棱锥 1 1A PB D 体积的最大值为 8 3 D．当 P在底面 ABCD上运动，且满足PF ∥平面 1 1BCD 时，线段 PF长度最大值为3 2 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分． 12．已知函数   2 , 0, 2, 0, x x f x x x       ，若   4f a  ，则 a  . 13．已知 2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产 品，检测后不放回，直到检测出 2件次品或者检测出3件正品时检测结束，则恰好检测四 次停止的概率为 （用数字作答）． 14．已知实数 ,x y满足 1 3 y y x x   ，则 3 6x y  的取值范围是 . 高二数学 第 3页 共 4页 四、解答题：本题共 5小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题 13分）已知数列 na 是公比为 2的等比数列，数列 nb 是等差数列， 1 3 2 5 3 8, , 1a b a b a b    ． (1)求数列   ,n na b 的通项公式； (2)设 1 2 1 n n n n c a b b     ，求数列 nc 的前 n项和 nS ． 16．（本题 15分）如图，已知平面DBEF 平面 ABCD， AB CD∥ ， AD DC ， 1 1 2 AB AD CD   ． (1)求证： BC DF ； (2)若DB DF⊥ ，点 P在线段DF上，且三棱锥 P ACD 的体 积为 1 3 ，求二面角P AC D  的余弦值． 17．（本题 15分）北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服 上，那么可敬的医务工作者们在冬季行动会更方便.石墨烯发热膜的制作如下：从石墨中分 离出石墨烯，制成石墨烯发热膜.从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石 墨升华后附着在材料上再结晶.现在有 A材料、B材料可供选择，研究人员对附着在 A材料、 B材料上的石墨各做了 50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图. (1)根据等高堆积条形图，填写2 2 列联表，并判断是否有99.9%的把握认为试验的结果与 材料有关； 高二数学 第 4页 共 4页 (2)研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及 UV胶层；② 石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为 2 3 ，第三环节生产合格的概率 为 3 4 ，且各生产环节相互独立.已知生产 1吨石墨烯发热膜的固定成本为 1万元，若生产不 合格还需进行修复，第三环节的修复费用为 4000元，其余环节修复费用均为 2000元.试问 如何定价（单位：万元），才能实现每生产 1吨石墨烯发热膜获利不低于 1万元的目标？ （精确到 0.001） 附：      2 2 ( )n ad bc a b c d a c b d       ，其中 n a b c d    .  0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．（本题 17分）已知函数 3sin( ) , ( ) ln 2 cos xf x g x x x    . (1)求函数 ( )f x 在 3π0, 2      上的最大值； (2)若函数 ( ) ( )h x ax g x  的最小值为 1，求实数 a的值； (3)求证： ( ) ( ) 1xg x f x  . 19．（本题 17分）已知椭圆   2 2 2 2: 1 0 x yC a b a b     的离心率为 3 2 ，且过点 22, 2        ． (1)求椭圆C的方程； (2)斜率为  0k k  的直线 l与椭圆C交于 ,A B两点，记以 ,OA OB为直径的圆的面积分别为 1 2,S S ，当 k为何值时， 1 2S S 为定值． (3)在(2)的条件下，设 l不过椭圆中心和顶点，且与 x轴点交于M ，点 A关于 y轴的对称点 为D，直线 BD与 y轴交于点 N，求 OMN 周长的最小值． 2024-2025学年度高二年级第二学期期末考试数学答案 题号 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 C A 01 D A A C AD AC 题号 11 答案 BD 1.因为B={xx2-2x-3<0={-1<x<3,所以AnB={0,l2}.故选C 之.由题意得：-+15+52-）10-51+10i-215413+i, 2+i(2+i)2-i) 4-i2 5 则z在复平面内对应的点(3,1)在第一象限.故选A B 3.如图，设向量a=AB,6=AC,则a-万=CB,因为1=|卜所以△4BC是顶角为二的等 题三角形，底角为兮8-号引行，放C与G西的夹角为x-号行故选D 4.在△MBC中，已知AB=10,BC=6,CA=8, 由余弦定得cosB=4B+BC2-C-100+36-643 2AB.BC 120 B.BC=BCeos(π-B)=-BCcosB=-10x6×2=-36.故选D. 5 5.f(x+2)=-f(x)∴.f(x+4)=-f(x+2)=fx)∴.f(x)的周期为4，.f(2020)=f(0) 函数f(x)是定义R上的奇函数，f(0)=0,.f(2020)=0,故选A. 6.注意到41+a3=30,S4=120,首先9≠1，（否则a1+43=2a=30,S.=4a=120矛盾）， 其次4+4=4+g)-30,50心=120，两式相比得0d7号 1-g1=4=1+g=4, 1-g 解得q=3.故选C. 7.因为甲、乙、丙、丁4人站到共有4级的台阶上，且每级台阶最多站2人，所以分为3类： 第一类，甲、乙.丙、丁各自站在一个台阶上，共有A=24种站法：第二类，有2人站在同一 台阶上，剩余2人站在另一个台阶上，共有CC.GG=36种站法：第三类，有2人站在 同一台阶上，剩余2人各自站在一个台阶上，共有CC4=144,所以每级台阶最多站2人， 同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是24+36+144=204.故选A. 数学答案第1页，共8页 8.f(x)=e-e-2,f(-x)=f(x),因为函数为偶函数， f(x)=0,设1=x2,h(t)=c-e'-kH,则h(t)在[0，+o)有唯一零点. h'(t)=e+e-k≥2-k,当且仅当t=0取等号. 若k≤2，t>0时，(t)=c+e-k>2-k≥0，则h(t)在[0，+o)单调递增， 又因为h(0)=0,所以h(t)在[0，+o)有唯一零点. 若>2，>0时，令0)=0得-+1=0，即c心2-e+1=0, e 解得心k+-4或心_k-4,其中心k+-41,满足要求， 2 2 2 c-1=k--41-2√R-4 2 2 其中(k-2}=k2-4+4,故2-4k+4-(2-4）=8-4<0在k>2时恒成立， 所以e-1k-2--4<0,即ek--4<1,不合婴求， 2 2 当0<t<n k+k2-4 时，()<0，则()在0，n k+k2-4 2 单调递减， 2 故h(t)在(0，+∞)有1个零点.又h(0)=0,所以h(t)在[0，+0)上有两个零点，不满足题意， 故k的取值范围为(-∞，2].故选C, 9.由函数f()=3sin(r+p)对任意x都有/后+)=？-0，可得函数()的图象关于 直线x=严对称，所以当x=产时，函数∫()取值最大值或最小值，即（爱=3.故选AD 6 10.由f)=2r-<0,得e2x-0x-)<0,因为e>0,所以(2x-1(x-)<0, x-1 解得<x<1山，所以不等式)k0的解集为，A正确：f)的定义域为x≠， 由-2x-》,得f)=e.2=+e.2-2-=e2-3,令f>0. r-1 x-1 (x-1) (x-)7 得<0或号令f心)0，得0<<1或1<x<子所以/在(0利号+上递 指在Q)利)上遥减，B箱误：令付-20：得x=分·所以在定义 x-1 数学答案第2页，共8页 域内有且只有一个零点，C正确：由选项B可知/()在（←®，0）和+切上递增，在(Q,) 利)上递减，因/@)=L/)4e,且当x从1的左侧趋近于1时，国→0，当 从1的右侧趋近于1时.。因→，所以)的值城为(-小4，+ 所以若关 于x的方程f(x)=m有解，则实数m的取值范围是(-，小己4，+0，D错误.故选AC 1L.因为在正方体ABCD-ABCD中，BC⊥平面ABCD,又Ae平面ABCD, 所以动点P的轨迹为矩形ABCD,动点P的轨迹长度为矩形ABCD的周长，即为6+6√互， A错误： D 连接AC,AB,以B为圆心，BB为半径画弧BC,如图所示， 当点P在弧BC上时，因为直角三角形ABP中BA=BP,所以 D AP与AB所成的角为45，则当点P在线段AC,AB和弧BC上 时，直线AP与AB所成的角为45°，又AC=VAB2+BC2=3V2 AC=B+C=,AC=2x3=经.所以点P的轨达长度为+65，B正确： 3 当点P在点C处时，易知此时P到平面ABD的距离最大，此时 D ,A=yA=3-4×X3×x3x3x3=9,所以三棱锥 1 3 2 4-PBD体积的最大值为9>，C错误： 取AD,DD,DC,CB,BB,AB的中点分别为Q,R,N,M,T,H,连接 QR,QF,FT,TM,MN,NR,FH,HN,HM,如图所示，因为FT∥D,C H B FTd平面D,B,C,DCC平面DB,C,所以FT∥平面D,BC,TM∥B,C,TMt平面D,BC, BCc平面DB,C,所以TM∥平面DBC,又TM∩FT=T,TM,FTc平面FTM,所以平 面FTM∥平面D,BC,又因为QF∥NM,QR∥TM,RN∥FT,所以平面FTMNRO和平 面FTM是同一个平面，则点P的轨迹为线段MN,在△FNWM中FN=√FH+HN2=3√互， N-mm.5,w9,则N,,W是以∠N为直 2 数学答案第3页，共8页 角的直角三角形，所以FP=FN=3N2,即线段PF长度最大值为3√互，D正确：故选BD 12.2 当a≥0时，fa)=2=4,解得a=2:当a<0时，f(a)=a+2=4,解得a=2,与a<0矛盾， 此时a无解.所以a=2. 2次检测结束的概率为P2= 元10,3次检测结束的概率为A=舍+CC4=3 1 0,则恰好 检测四次停止的概率为p=1-P,-p,=1-。三-3 10105 14.[6-v6,6j 因为实数xy满足-少-1，所以当x≥0，y≥0时，-父=1，其图象是位于第一象限， 3 3 焦点在x轴上的双曲线的一部分（含点(1,0）， 当>0，y<0时，x+上=1其图象是位于第四象限，焦点在y轴上的椭圆的一部分， 3 当x<0,y>0时，--二=1其图象不存在， 当x<0,y<0时， 气一x2=1,其图象是位于第三象限，焦点在) 轴上的双曲线的一部分， 作出椭圆和双曲线的图象，其中-少-1图象如图： 任意一点(k,)到直线V5x-y-6=0的距离a.5x-y-6,所以5x-y-d=24, 结合图象知V5x-y-6的范围就是图象上一点到直线√5x-y-6=0距离范围的2倍， 双曲线-片1一2其中一条渐近线V3x-y=0与直线3x-y-6=0平你 3 通过图形可得当曲线上一点位于P时，2d取得最小值，无最大值，2d小于两平行线 -y=0与x-y-6=0之间的距离3的2倍，设V3x-y+e=0e<0)与片+产=1其图 3x-y+c=0 像在第三象限相切于点P,联立 3+r2s1 ，得6r2+25cr+c2-3=0, 数学答案第4页，共8页 因为△=(2W3C)x-4×6×(e2-3=0→c=-√6或c=6(舍去)，所以直线√5x-y-√6=0 与直线V5x-y-6=0的距离为6+6，此时5x-y-6=21=6-6,所以5x-y-6的 取值范围是6-√6,6： a,=b +2d, a=2, 15.(1)设数列{bn}的公差为d,则{2a,=b+4d, …2分，解得么=0，…4分 4a=b+7d+1. d=1. 所以an=2”，bn=n-1,… ……6分 1 ，na+1)2”+ 1 1 (2)c.=a,+bb 一=2“+ nn+1, 8分 则s=+2+2++2片223++分n+ ,11.11..11 。十·十 10分 =2-2*1-=2-1 13分 月+1 16.(1)AB∥CD,DA⊥DC,∴.四边形ABCD为直角梯形， 又AB=AD=1,，CD=2,易得BD=√2，BC=V2· BC2+BD2=CD2,BC⊥BD,…2s分 ,平面DBEF⊥平面ABCD,平面DBEF平面ABCD=BD,BCC平面ABCD, .BC⊥平面DBEF,…5分，又DFC平面DBEF,.BC⊥DF.…6分 (2):DF⊥DB,平面DBEF⊥平面ABCD,平面DBEF平 面ABCD=BD,.DF⊥平面ABCD,故可以D为坐标原点，DA DC,DF的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立如图所示 的空间直角坐标系D一z,…7分 :三校锥P一ACD的体积为， Vr-ACD= *XDAxDCxDP= 11 3 即写×2×1×2xDP写，解得Dp=.…9分 .D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,2,0),…10分 ∴.DP=(0,0,),PA=(L,0,-1),P℃=(0,2，-1)，设平面P4C的法向量为n=(xy,z）, {元0将=0 则斤=0 {2y-2=0令l,得x=2=2,n=(2.1,2),…12分 数学答案第5页，共8页 易知平面ACD的一个法向量为DP=(0,0,1),…13分 .cos(n,Dp nDP 2 √4+1+43，故二面角P-AC-D的余弦值为 …15分 17.(1)根据题中所给等高堆积条形图，得2×2列 A材料 B材料 合计 联表如下：…2分 试验成功 45 30 75 零假设为H。：试验的结果与材料无关…3分 试验失败 5 20 25 计算可得2_10045x20-30x=12>10.828. 75×25×50×50 合计 50 50 100 …5分 依据α=0.001的独立性检验，推断零假设不成立，即有99.9%的把握认为试验的结果与材料 有关…6分 (2)设生产1吨石墨烯发热膜所需修复费用X万元，X可能取值为0,0.2,0.4,0.6,0.8， …7分 Px-o-周Px=o2=c}} Px-o4-)周2-Px=oo-c)片 …12分 则X的分布列为 X 0 0.2 0.4 0.6 0.8 36 9 36 E(X)=0× +0.2×-+0.4× 2 +0.6×+0.8×2=70.233.…14分 3 36 9 3630 所以石墨烯发热膜定价至少1+1+0.233=2.233万元/吨，才能实现预期的利润目标.…15分 3sinx 18.(1)解：由f(x)= 2+cosx 可得fx)=3cosx2+cos)-3sin-sin)6cosr+3 (2+cosx) (2+c0s…2分 数学答案第6页，共8页 令f(x)=0,可得cosx=- 因为x0所以=号 …3分 3 当0}时，r国>0，当xe）上.<0：当x经 4π3π 上，f(x)>0, 所以函数在[0，】 上单调递增， 在到 上单调递减， 4π3π 32 上单调递增， …4分 又=5，= 所以)在0贸]上的最大值为 =3…6分 (2)解：由函数g(x)=lnx,可得h(x)=ar-g(x)=ar-lnx,x∈(0，+oo), 则)=a-1_-1 ……7分 当a≤0时，h'(x)<0,所以h(x)在(0，+o)上单调递减，没有最小值：…8分 当a>0时，令)>0，可得x>】,令H)<0得0<x< 所以h(x)在 0上单调递减，在 上单调递增，…10分 所以()的最小值为日=a日=1+na=l,a=1.…1分 (3)证明：根据题意，要证xg(x)>(x)-1成立，即证xnx+1> 3sinx成立， 2+cos.x 由(2)知当a=1时，h(x)2h()=1, 所以x-nx≥1，即二+lnx之1，所以1+xlnx≥x,… 13分 令H(x)=x- 3sinx),)=1-6cosx+3(cos.-1) 2+cosx 2+cosy2+cos≥0， 所以H(x)在(0，+o)上单调递增，所以H(x)>H(0)=0,…16分 所以x> 3,即1+血>成立，所以原不等式成立17分 2+cosx 2+cosx e=c_3 a 2 19.(1)由题意， 得a2=b+c2,…2分，解得2=4，b2=1,c2=3,…4分 2 所以椭圆C的方程为+y=1.… …5分 4 (3)设直线1的方程为y=+m(k>0),4(x,),B(x乃2)，…6分 数学答案第7页，共8页 y=女+m (4)联立 任+产-消去y整理+)贴+4-=0。 则△=64km2-4+4k2}4(m2-1上160+4k2-m20, 且+名年妆， 8km 4(m2-1） …8分 1+4k2 又+=1， 互+=1 则8+好-受代+++别+1手后+1到 …9分 =要(++2[6+-2x]+贤 1+4k2216 10分 0+42y 子即大=写时，此时S+S,-江为定值……中 (3)由(2)知，A(x,y),B(x,2),直线1的方程为y=。x+m, 2 且x+为3=-2m,xx2=2m2-2,0<m2<2,m≠±1， 则D(-x,),M(-2m,0）,…12分 则直线BD的方程为y=-2(仁+x片y,…13分 -x-x2 令x=0,得 y=-出x+=出+ x+x +x2 x1+x2 =55+(s+xm2m2-2-2m21 ……14分 x+2 -2n 即No》则ou-p,1o-向wy-4m+ …15分 则△0w周长m+22同+m=25+2， 当且仅当则同，即m=±时等号成立。 则△OMN周长的最小值为2√2+2.… …17分 数学答案第8页，共8页