方程与韦达定理 讲义-2026年初升高数学衔接

初高衔接之解方程与韦达定理 一元二次方程 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 1、实数根的判断 △>0一方程有两个不同的实数根 △=0一方程有两个相同的实数根 △<0一方程没有实数根 2、求根公式与韦达定理 .-b±V△ X1,2 当△≥0时，方程的实数根 2a 水+x2= b 、C X1X2= a a 特别说明：利用根与系数求值需要熟练掌握以下等式的变形 0+=(G+}-25 11x+x2 ②X3Xx2 国-P=G+5P-4 ④x-=G+x》-454小《 ⑥+=5G+5) ©+g'=G+户-3x化+) 实系数一元三次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系可以推广到一元次方程中去，我们处理较多的是一元三次方程，如果 ax3十bx2十cx十d=0(a≠0)有三个实数根"，那么 ax3+bx2+cx+da(x-x1)(x-x2)(x-x3) =ax3-a(x1十x2十x3)x2+a（x1x2+1xg+x2x3）x-a.x1x2xg 从而得到一元三次方程根与系数的关系为 x1十x2十x3=- b a 21x2十x2xg十x1x3-C x1x2x3=- e 试根法解一元三次方程 高次方程高中阶段基本上不会单独考查，即使考查次数也不会超过三次，但函数或导数解题计算中经常会 出现关键一步，所以掌握简单有实数根的一元三次方程的解法是很有必要的。 试根法：高中阶段考查的三次方程根简单常见，如士1，士2，…由此确定方程的一个根，然后对三次方程 因式分解，从而完成方程求解。 一元高次方程的解法 思想：降次 方法： 1.换元法 对一些高次方程，通过适当的换元，达到降次目的，使方程化为容易求解的形式。 2.因式分解 通过因式分解，把高次方程化为低次方程集，由同解原理得到原方程的解集。 例1.关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1,x2. (1)求实数k的取值范围： (2)若方程的两实数根x1,2满足|x1+|x2=x1·2,求k的值. 例2.已知是方程2-3x+1=0的两个实根，则有了+片=，片-3为= 例3解方程 (1)x-3x2+4=0 (2)2r3-5x2-x+6=0 (3)x-13x2+36=0 (4)r-9x2+8=0 (6)r+3r2-4r=0 例4.如果X+ax2+bx+8有两个因式为+1和+2，求a+b的值。 3 例5已知弘：是一元三次方程2公4610的三个实藏根：求+号+ ,a2+b2+c2 的值。 二元二次方程概念 含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做二元二次方程.例如方 程x+2y+y+x+y+6=0,其中x2,2xy,y叫做这个方程的二次项，x,y叫做一次项，6叫做常 数项。 二元二次方程组的概念 若方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，或方程组是由两个二元二次方程组成的，像 这样的方程组叫做二元二次方程组. 我们看下面的两个方程组： [x2-4y2+x+3y-1=0, x2+y2=20, 2x-y-1=0; x2-5y+6y2=0. 解二元二次方程组 二元方程组的解法在初中有过比较详细的学习。但是二元二次方程组在高中会继续碰到，它的解法有其特 殊性，所以有必要在这一块强化。 一、代入消元法解二元二次方程组的一般步骤： (1)选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数： (②)将变形后的方程代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元方程： (3)解这个一元方程，求出未知数的值： (④)将求得的未知数的值代入(1)变形后的方程中，求出另一个未知数的值： (⑤)写出原方程组的解。 二、加减消元法解二元二次方程组的一般步骤： (1)利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或互为相反数的形式： (2)将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元方程（若未知数系数相等则用减法， 若未知数系数互为相反数则用加法)： 4 (3)解这个一元方程，求出未知数的值： (4)将求得的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值： (⑤)写出原方程组的解。 例1.解下列方程组： 、3x2-y2-y+3=0 4x2-9y2=15, (1 (2) 2x-y=1 2x-3y=5. 了x+y=4; (3){x2+xy-2y2=0. x2+y2=26 (1) (4)(y=5 (2) x2-xy-2y2=0, (5)x2+2xy+y2=1 5 x2+2y2-6=0 例2、已知方程组y=mx+3有两组相等的实数解，求m的值，并求出此时方程组的解. 课后练习 1.解方程组： x-y=2, x2+y2=5 (1)1x2-2y2-y=0. (2) x+y-3=0 x2+y-2y2=0 (3)x2+y2=5 [x2-y2=5(x+y) (1) (4)x+y+y2=43 (2) 6 x2+xy=12 (1) (5)(y+y2=4 (2) xy+3x+y+3=0 x2-y2+x+y=0 (6)) (7) 43 22 [。4x2-y2=0 2.方程组3x2-xy+x+2y+6=0的实数解的个数是（） A.4 B.2 C.1D.0 3若”和9是关于的一元二次方程-5x+2=0的两个不相等的实数根，D+5q-3: 4已知关于x的-元二次方程r-2(a-1r+a-1=0 两个实数根. (1)求a的取值范围. (2)若该方程的两个实数根为， ,×,且+号=2 求“的值. 5.解方程： (1)r-3x+2=0 2)r-3r+4-0 (3)r-9x+10=0 (4)r-2x+1=0 5)r-5x-2=0 (6)r+3x2-4x-6=0 6.已知一元二次方程-5x+长=0的两个实数根为名，，若+2+2五=1，求实数k的值. 初高衔接之解方程与韦达定理 一元二次方程 一元二次方程 1、实数根的判断 △＞0方程有两个不同的实数根 △= 0方程有两个相同的实数根 △＜0方程没有实数根 2、求根公式与韦达定理 当 △≥0时，方程的实数根 [来源:学科网ZXXK] 特别说明：利用根与系数求值需要熟练掌握以下等式的变形 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 实系数一元三次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系可以推广到一元n次方程中去，我们处理较多的是一元三次方程，如果有三个实数根x1,x2,x3,那么 = = 从而得到一元三次方程根与系数的关系为 试根法解一元三次方程 高次方程高中阶段基本上不会单独考查，即使考查次数也不会超过三次，但函数或导数解题计算中经常会出现关键一步，所以掌握简单有实数根的一元三次方程的解法是很有必要的。 试根法：高中阶段考查的三次方程根简单常见，如±1，±2，…由此确定方程的一个根，然后对三次方程因式分解，从而完成方程求解。 一元高次方程的解法 思想：降次 方法： 1.换元法 对一些高次方程，通过适当的换元，达到降次目的，使方程化为容易求解的形式。 2.因式分解 通过因式分解，把高次方程化为低次方程集，由同解原理得到原方程的解集。 例1．关于x的一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程的两实数根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值． 【答案】(1)k＜﹣；(2)-2． 【解析】 解：(1)根据题意得△＝(2k﹣1)2﹣4(k2+1)＞0， 解得k＜﹣； (2)x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+1， ∵k＜﹣， ∴x1+x2＝2k﹣1＜0， 而x1x2＝k2+1＞0， ∴x1＜0，x2＜0， ∵|x1|+|x2|＝x1•x2， ∴﹣(x1+x2)＝x1•x2，即﹣(2k﹣1)＝k2+1， 整理得k2+2k＝0，解得k1＝0，k2＝﹣2， 而k＜﹣， ∴k＝﹣2． 例2．已知是方程的两个实根，则有________，________ 【答案】7， 【解析】，，则， 例3.解方程 （1） 【答案】或 【解析】猜测并验证得出是方程的一个根，那么是方程的一个因式 故方程可以改写为 易得 ，则 解得或 （2） 【答案】或或 【解析】解：猜并且检验x=2是方程的一个根， 那么方程可以改写为 故 再次因式分解可得 原方程的根为或或 （3） 【答案】x=±2或x=±3 【解析】 （4） 【答案】x=1或x=2 【解析】=0 （5） 【答案】x=0或x=-4或x=1 【解析】=0 例4.如果x3+ax2+bx+8有两个因式为x+1和x+2，求a+b的值。 【答案】21 【解析】x3+ax2+bx+8=0有三个根为-1，-2，m ∴-1·（-2）·m= -8 ∴m=-4 ∵∴-a=-7，a=7 ∵∴b=14,∴a+b=21 例5. 已知a,b,c是一元三次方程 2x3-4x2-6x-1=0的三个实数根；求的值。 【答案】-6 ，10 【解析】由韦达定理得a+b+c=2，ab+ac+bc=-3，abc= ∴= = -6 =(a+b+c)2-2(ab+ac+bc)=4-2×（-3）=10 二元二次方程概念 含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．例如方程 ，其中,,叫做这个方程的二次项,,叫做一次项,6叫做常数项． 二元二次方程组的概念 若方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，或方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组． 我们看下面的两个方程组： 解二元二次方程组 二元方程组的解法在初中有过比较详细的学习。但是二元二次方程组在高中会继续碰到，它的解法有其特殊性，所以有必要在这一块强化。 一、代入消元法解二元二次方程组的一般步骤： (1)选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数； (2)将变形后的方程代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元方程； (3)解这个一元方程，求出未知数的值； (4)将求得的未知数的值代入(1)变形后的方程中，求出另一个未知数的值； (5)写出原方程组的解． 二、加减消元法解二元二次方程组的一般步骤： (1)利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或互为相反数的形式； (2)将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元方程(若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数则用加法)； (3)解这个一元方程，求出未知数的值； (4)将求得的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值； (5)写出原方程组的解． 例1．解下列方程组： 解： 由②，得．③ 把③代入①，得．整理后，得 解得. 将代入③，得 =3代入③得． 所以原方程组的解是或 【答案】 【解析】解： 由①，得③ 将②代入③，得 ②+④，得4x=8．解得x=2． 将x=2代入④，得4+3y=3． 解得，所以原方程组的解是 （3） 【答案】 【解析】 由②得： 所以 , . （4） 分析：(1) +(2)得：，(1) -(2)得：，分别分解(3)、(4)可得四个二元一次方程组． 解：(1) +(2)得：， (1) -(2)得：． 解此四个方程组，得原方程组的解是： ． 说明：对称型方程组，如、都可以通过变形转化为的形式， （5） 【答案】 【解析】 ， 由①得 （x+y）（x-2y）=0， ∴x+y=0或x-2y=0， 由②得 （x+y）2=1， ∴x+y=1或x+y=-1， 所以原方程组化为， 所以原方程组的解为． 例2、已知方程组有两组相等的实数解，求的值，并求出此时方程组的解. 【答案】,当时 ;当时 【解析】 把②代入①后计算得， ∵方程组有两组相等的实数解， ∴△＝（12m）2−4（2m2+1）•12＝0， 解得：， 当时，解得 当时，解得 课后练习 1．解方程组： （1） 【解析】解：可以化为， ∴或． 则原方程可以变为或 解得或 （2） 【答案】 【解析】解： 由②，得．③ 把③代入①，得．整理后，得 解得. 将代入③，得 =2代入③得． 所以原方程组的解是或 （3） 【答案】 【解析】解： 由①，得，即或 将代入②，得，得，即或 将代入②，得，得，即或 （4） 分析：注意到方程，可分解成，即得或，则可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一个方程为二元一次方程． 解：由(1)得： ∴ 或 ∴ 原方程组可化为两个方程组： 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是： （5） 分析：本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二次三项式的方程．对其因式分解，就可以转化为例3的类型． 解：(1) –(2)得： 即 ∴ ∴ 原方程组可化为两个二元一次方程组：． 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：． （6） 【答案】 （7） 【答案】 2．方程组的实数解的个数是（ ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【解析】 由①得 原方程组可以转化为 解得 或无解． 故方程组的实数解的个数是2个． 故选：B． 3.若和是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ． 【答案】 【详解】解：∵p和q是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴即，， ∴，故答案为：． 4.已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)若该方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】(1)且(2) 【详解】（1）解：由题意，得：且，解得：且； （2）∵该方程的两个实数根为，， ∴， ∴， 解得：，经检验是原方程的解． 5.解方程： （1） 【答案】或 【解析】猜测并验证得出是方程的一个根 （2）=0 【答案】 【解析】猜测并验证得出是方程的一个根 （3） 【解析】猜测并验证得出是方程的一个根 （4） 【解析】 （5） 【解析】 （6） 【解析】 6．已知一元二次方程的两个实数根为，，若，求实数k的值． 【答案】【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根是和， ∴，，∵∴∴． 学科网（北京）股份有限公司 $