专题10 二次函数与一元二次方程、不等式（典例+练习）讲义-2026年初升高数学暑假预习衔接

二次函数与一元二次方程、不等式专题10 一、选择题（共8小题） 1．（2025春•西安校级期末）下列不等式的解集为R的是（　　） A．4x2﹣4x+1≥0 B．﹣x2+2x﹣3＞0 C．x2﹣3x+2＞0 D． 2．（2025春•灌南县期末）不等式（x+1）（x+3）＞0的解集为（　　） A．{x|x＜﹣1} B．{x|x＞﹣1或x＜﹣3} C．{x|x＞﹣3} D．{x|﹣3＜x＜﹣1} 3．（2025•湖南模拟）不等式（x）（x）＞0的解集为（　　） A．{x|x} B．{x|x} C．{x|x} D．{x|x或x} 4．（2025春•黄梅县校级月考）关于“x的不等式x2﹣（a+2）x+2a＜0有解”是“a＞2”的（　　） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 5．（2025春•滨湖区校级月考）不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是{x|1＜x＜3}，则bx2﹣ax﹣1＞0的解集是（　　） A．{x|﹣3＜x＜﹣1} B． C．{x|x＜﹣3或x＞﹣1} D．{x|x＜﹣1或} 6．（2024秋•肇东市校级期末）函数y＝x（3﹣2x）的最大值为（　　） A．3 B． C． D． 7．（2022秋•莲花县校级期中）某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）＝x2+4x+10（万元）．一万件售价是30万元，若商品能全部卖出，则该企业一个月生产该商品的最大利润为（　　） A．139万元 B．149万元 C．159万元 D．169万元 8．（2024秋•桃源县校级期中）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”．烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩．已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为h＝﹣3.6t2+28.8t，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（　　） A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 二、多选题（共3小题） （多选）9．（2024•鹿城区校级开学）已知二次函数y＝﹣x2+mx+m（m为常数），当﹣2≤x≤4时，y的最大值是15，则m的值是（　　） A．﹣19 B． C．6 D．﹣10 （多选）10．（2024秋•武侯区校级期末）对于给定的实数a，关于x的一元二次不等式a（x﹣a）（x+1）＞0的解集可能为（　　） A．∅ B．{x|﹣1＜x＜a} C．{x|a＜x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1或x＞a} （多选）11．（2023秋•满洲里市校级期末）已知a∈Z，关于x一元二次不等式x2﹣6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 三、填空题（共3小题） 12．（2025春•黄浦区校级期末）关于x的不等式（2﹣a）x2﹣2（a﹣2）x+4＞0对一切实数x都成立，则a的范围是　 　 ． 13．（2024秋•黄浦区期末）不等式x2﹣3x+2＜0的解集是 　 　 ． 14．（2024春•光明区校级月考）不等式组0≤x2﹣2x﹣3＜5的解集为 　 　 ． 四、解答题（共5小题） 15．（2024秋•白城校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c满足以下条件： （1）该函数图象过原点； （2）当x＝﹣1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2； （3）当x＝1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4． 求当x＝﹣2时，y的取值范围． 16．（2024秋•应县校级期中）已知关于x的不等式kx2﹣2x+6k＜0． （1）若不等式的解集为{x|2＜x＜3}，求实数k的值； （2）不等式对x∈R恒成立，求实数k的取值范围． 17．（2024秋•彬州市校级期末）解关于x的不等式x2﹣x﹣a（a﹣1）＞0． 18．（2024秋•大武口区校级月考）解下列不等式： （1）x2﹣5x﹣6＞0； （2）（2﹣x）（x+3）＜0； （3）4（2x2﹣2x+1）＞x（4﹣x）． 19．（2023秋•沙依巴克区校级期末）设函数f（x）＝mx2﹣（m+1）x+1． （1）若对任意的x∈R，均有f（x）+m≥0成立，求实数m的取值范围； （2）若m＞0，解关于x的不等式f（x）＜0． 一、选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A B B D C A 二、多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 AC ABCD ABC 一、选择题（共8小题） 1．【答案】A 【分析】由完全平方数判断A，举反例判断BCD即可． 【解答】解：对于A，因为4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2≥0恒成立，即不等式的解集为R，故A正确； 对于B，当x＝0时，﹣x2+2x﹣3＝﹣3＜0，故B错误； 对于C，当x＝2时，x2﹣3x+2＝0，故C错误； 对于D，当x＝﹣2时，，故D错误． 即不等式的解集为R的只有A选项对应的不等式． 故选：A． 2．【答案】B 【分析】由题可得不等式解集． 【解答】解：由（x+1）（x﹣3）＞0，得x＞﹣1或x＜﹣3． 则解集为{x|x＞﹣1或x＜﹣3}． 故选：B． 3．【答案】A 【分析】把不等式（x）（x）＞0化为（x）（x）＜0，求出它的解集即可． 【解答】解：不等式（x）（x）＞0可化为 （x）（x）＜0； 解得x； ∴原不等式的解集为{x|x}． 故选：A． 4．【答案】B 【分析】应用一元二次不等式有解求出参数范围结合必要不充分条件定义判断即可． 【解答】解：若关于x的不等式x2﹣（a+2）x+2a＜0有解， 则Δ＝（a+2）2﹣8a＝（a﹣2）2＞0，解得a≠2， 由“a≠2”不能推出“a＞2”，充分性不成立， 由“a＞2”可以推出“a≠2”，必要性成立， 所以“关于x的不等式x2﹣（a+2）x+2a＜0有解”是“a＞2”的必要不充分条件． 故选：B． 5．【答案】B 【分析】由一元二次不等式的解集求出a、b，代入目标不等式，应用一元二次不等式的解法求解集即可． 【解答】解：由题设1，3是x2﹣ax﹣b＝0的两个根，则a＝4，b＝﹣3， 所以bx2﹣ax﹣1＝﹣3x2﹣4x﹣1＝﹣（3x+1）（x+1）＞0，即﹣1＜x， 所以不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集为{x|﹣1＜x}． 故选：B． 6．【答案】D 【分析】法（i）根据基本不等式可得最大值；法（ii）由二次函数的性质可得函数的最大值． 【解答】解：法（i）当时，， 当且仅当2x＝3﹣2x，即时等号成立， 当x≤0或时，y≤0恒成立， 综上所述y＝x（3﹣2x）的最大值为． 法（ii）函数y＝x（3﹣2x）＝﹣2x2+3x＝﹣2（x）2， 所以函数的最大值为． 故选：D． 7．【答案】C 【分析】根据已知条件，结合利润＝售价﹣成本公式，以及二次函数的性质，即可求解． 【解答】解：L（x）＝30x﹣（x2+4x+10）＝﹣x2+26x﹣10＝﹣（x﹣13）2+159． 故当x＝13时，L（x）取得最大值159． 故选：C． 8．【答案】A 【分析】由二次函数开口向上及对称轴，可得函数最大值时相应t值即可． 【解答】解：函数h＝﹣3.6t2+28.8t开口向下，对称轴t4， 则当t＝4时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第4秒． 故选：A． 二、多选题（共3小题） 9．【答案】AC 【分析】先求出二次函数的对称轴，再对对称轴的位置分情况讨论，利用y的最大值是15即可求出m的值． 【解答】解：二次函数y＝﹣x2+mx+m＝﹣（x）2m， 对称轴为x， ①当2，即m＜﹣4时，函数y＝﹣x2+mx+m在[﹣2，4]上单调递减， ∴当x＝﹣2时，y取得最大值，即﹣（﹣2）2﹣2m+m＝15， 解得m＝﹣19， ②当﹣2，即﹣4≤m≤8时， 此时当x时，y取得最大值，即mm＝15， 解得m＝6或﹣10， 又∵﹣4≤m≤8， ∴m＝6， ③当，即m＞8时，函数y＝﹣x2+mx+m在[﹣2，4]上单调递增， ∴当x＝4时，y取得最大值，即﹣42+4m+m＝15， 解得m， 又∵m＞8，∴无解， 综上所述，m的值是﹣19或6， 故选：AC． 10．【答案】ABCD 【分析】根据题意，按a的取值分4种情况讨论，求出不等式的解集，分析选项可得答案． 【解答】解：根据题意，关于x的一元二次不等式a（x﹣a）（x+1）＞0，a≠0， 若a＜﹣1，不等式的解集为（﹣1，0）， 若a＝﹣1，不等式为﹣（x+1）2＞0，其解集为∅， 若﹣1＜a＜0，不等式的解集为（﹣1，a）， 若a＞0，不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞a}， 故选：ABCD． 11．【答案】ABC 【分析】利用题中的条件，解出不等式的解集，即可解出． 【解答】解：由题意36﹣4a＞0，即a＜9， 方程x2﹣6x+a＝0的两根为：3，3， 所以不等式的解集为{x|3x≤3}， 当a＝6时，不等式的解为3x≤3，此时x可以取整数，2，3，4满足题意； 当a＝7时，不等式的解为3，此时x可以取整数，2，3，4满足题意； 当a＝8时，不等式的解为2≤x≤4，此时x可以取整数，2，3，4满足题意； 故选：ABC． 三、填空题（共3小题） 12．【答案】见试题解答内容 【分析】讨论a的取值，求出使不等式对一切实数x都成立的条件是什么，从而求出a的取值范围． 【解答】解：当2﹣a＝0，即a＝2时，不等式为4＞0，对一切实数x都成立，∴a＝2符合题意； 当2﹣a＞0，即a＜2时，Δ＝4（a﹣2）2﹣4•（2﹣a）•4＜0，解得﹣2＜a＜2； 当2﹣a＜0，即a＞2时，不满足题意； 综上，﹣2＜a≤2； ∴a的取值范围是（﹣2，2]． 故答案为：（﹣2，2]． 13．【答案】见试题解答内容 【分析】原不等式可变形为：（x﹣1）（x﹣2）＜0，结合相应二次函数的图象可求解集 【解答】解：原不等式可变形为：（x﹣1）（x﹣2）＜0 结合相应二次函数的图象可得1＜x＜2 故答案为：（1，2） 14．【答案】（﹣2，﹣1]∪[3，4）． 【分析】分别求出两个一元二次不等式的解集，再求交集即可． 【解答】解：由x2﹣2x﹣3＜5，得x2﹣2x﹣8＜0，∴﹣2＜x＜4， 由x2﹣2x﹣3≥0，∴x≤﹣1或x≥3， ∴﹣2＜x≤﹣1或3≤x＜4． ∴不等式组0≤x2﹣2x﹣3＜5的解集为（﹣2，﹣1]∪[3，4）． 故答案为：（﹣2，﹣1]∪[3，4）． 四、解答题（共5小题） 15．【答案】见试题解答内容 【分析】结合已知及二次函数的性质可分别求出a，b，c的值，然后代入x＝﹣2可得y的表达式，结合不等式的性质可求． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象过原点， ∴c＝0， ∴y＝ax2+bx． 又∵当x＝﹣1时，1≤a﹣b≤2．① 当x＝1时，3≤a+b≤4，② ∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b． 设存在实数m，n，使得4a﹣2b＝m（a+b）+n（a﹣b）， 而4a﹣2b＝（m+n）a+（m﹣n）b， ∴，解得m＝1，n＝3， ∴4a﹣2b＝（a+b）+3（a﹣b）． 由①②可知3≤a+b≤4，3≤3（a﹣b）≤6， ∴3+3≤4a﹣2b≤4+6． 即6≤4a﹣2b≤10， 故当x＝﹣2时，y的取值范围是大于等于6且小于等于10． 16．【答案】（1）k；（﹣∞，）． 【分析】（1）由已知得2和3是相应方程kx2﹣2x+6k＝0的两根且k＞0，利用根与系数的关系即可得出； （2）分情况讨论：当k＝0时，不等式变为﹣2x＜0，不合题意；当k≠0时，则，即可求出k的取值范围． 【解答】解：（1）∵不等式kx2﹣2x+6k＜0的解集为{x|2＜x＜3}， ∴k＞0且2和3是方程kx2﹣2x+6k＝0的两根， 则，解得k； （2）不等式kx2﹣2x+6k＜0对x∈R恒成立， 当k＝0时，不等式化为﹣2x＜0，不合题意； 当k≠0时，则，解得k． 综上，实数k的取值范围为（﹣∞，）． 17．【答案】见试题解答内容 【分析】把不等式坐标利用十字相乘法分解因式：（x﹣a）（x+a﹣1）＞0，然后对a值进行分类讨论：a与的大小关系三种情况，利用不等式取解集的方法分别求出各自的解集即可． 【解答】解：原不等式可化为：（x﹣a）（x+a﹣1）＞0， 对应方程的根为x1＝a，x2＝1﹣a…（2分） （1）当时，有a＜1﹣a，解可得x＜a或x＞1﹣a；…（6分） （2）当时，a＝1﹣a得x∈R且；…（10分） （3）当时，a＞1﹣a，解可得x＜1﹣a或x＞a；…（14分） 综合得： （1）当时，原不等式的解集为（﹣∞，a）∪（1﹣a，+∞）； （2）当时，原不等式的解集为； （3）当时，原不等式的解集为（﹣∞，1﹣a）∪（a，+∞）．…（16分） 18．【答案】（1）{x|x＜﹣1或x＞6}；（2）{x|x＜﹣3或x＞2}；（3）{x|x}． 【分析】将不等式因式分解，再结合二次函数的图象与性质，逐一解之即可． 【解答】解：（1）不等式x2﹣5x﹣6＞0可化为（x﹣6）（x+1）＞0， 所以x＜﹣1或x＞6， 故不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞6}． （2）不等式（2﹣x）（x+3）＜0等价于（x﹣2）（x+3）＞0， 所以x＜﹣3或x＞2， 故不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞2}． （3）由4（2x2﹣2x+1）＞x（4﹣x），知（3x﹣2）2＞0， 所以x， 故不等式的解集为{x|x}． 19．【答案】（1）m；（2）①当m＝1时，解集为∅，②当m＞1时，解集为，③当0＜m＜1时，解集为． 【分析】（1）问题转化为mx2﹣（m+1）x+m+1≥0对任意的x∈R成立，结合二次函数的性质求出m的范围即可； （2）问题转化为（x﹣1）（mx﹣1）＜0，通过讨论m的范围，求出不等式的解集即可． 【解答】解：（1）由题意得，f（x）+m≥0对任意的x∈R成立， 即mx2﹣（m+1）x+m+1≥0对任意的x∈R成立， ①当m＝0时，显然不符合题意； ②当m≠0时，只需，解得， 综上：． （2）由f（x）＜0得mx2﹣（m+1）x+1＜0， 即（x﹣1）（mx﹣1）＜0， ①当m＝1时，解集为∅， ②当m＞1时，解集为， ③当0＜m＜1时，解集为． 第6页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数与一元二次方程、不等式专题10 1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 2．借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，体会数学的整体性． 3．能借助二次函数求解不含参数或含参数的一元二次不等式、分式不等式，并能利用一元次不等式解决一些实际应用问题． 4．借助三个“二次”的关系，解决不等式恒成立问题以及利用不等式的解集求参数． 5．提升学生的数学抽象、数学建模、直观想象、数学运算等核心素养． 1 1．一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0（其中a，b，c均为常数，a≠0）． 2．一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 3．二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象 ax2＋bx＋c＝0（a>0）的根 有两个不相等的实数根x1，x2（x1<x2） 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0（a>0）的解集 {x|x<x1，或x>x2} ax2＋bx＋c<0（a>0）的解集 {x|x1<x<x2} 4．简单的分式不等式的解法 5．用一元二次不等式解决实际问题的步骤 （1）选取合适的字母表示题目中的未知数； （2）由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案． 2 01 解一元二次不等式 1．解一元二次不等式的常见方法 （1）图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤： ①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0（a＞0）或ax2＋bx＋c＜0（a＞0）； ②求方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图； ③由图象得出不等式的解集． （2）代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 当m<n时，若（x－m）（x－n）＞0，则可得{x|x＞n或x＜m}； 若（x－m）（x－n）＜0，则可得{x|m＜x＜n}． 有口诀如下：大于取两边，小于取中间． 2．判别式法解一元二次不等式的一般步骤 第一步：把一元二次不等式化为标准形式（二次项系数为正，右边为0的形式）； 第二步：求Δ＝b2－4ac； 第三步：若Δ<0，根据二次函数图象直接写出解集；若Δ≥0，求出对应方程的根写出解集． 【例1】　（2024秋•凌源市期末）已知集合M＝{x|0＜x＜2}，N＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则M∩N＝（　　） A．（0，2） B．（﹣1，3） C．（0，3） D．（﹣1，2） 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法化简集合N，然后利用交集的定义算出答案． 【解答】解：不等式x2﹣2x﹣3＜0即（x+1）（x﹣3）＜0，相应方程的两根为﹣1和3， 根据一元二次不等式的解法，可得x2﹣2x﹣3＜0的解集N＝{x|﹣1＜x＜3}， 结合M＝{x|0＜x＜2}，可得M∩N＝{x|0＜x＜2}＝（0，2）． 故选：A． 【例2】　（2024秋•奉贤区期末）不等式x2﹣4x+5≥0的解集为 　　 ． 【答案】R． 【分析】根据一元二次不等式的解法计算即可求解． 【解答】解：方程x2+4x﹣5＝0中，Δ＝16﹣20＝﹣4＜0， 则不等式x2+4x﹣5≥0的解集为R． 故答案为：R． 【例3】　（2024春•石景山区校级期中）不等式x2﹣2|x|﹣15＞0的解集是 　　 ． 【答案】{x|x＞5或x＜﹣5}． 【分析】化简不等式为|x|2﹣2|x|﹣15＞0，结合一元二次不等式的解法和绝对值的定义，即可求解． 【解答】解：由不等式x2﹣2|x|﹣15＞0可化为|x|2﹣2|x|﹣15＝（|x|+3）（|x|﹣5）＞0， 解得|x|＞5或|x|＜﹣3（舍去），所以x＞5或x＜﹣5， 即不等式x2﹣2|x|﹣15＞0的解集为{x|x＞5或x＜﹣5}． 故答案为：{x|x＞5或x＜﹣5}． 【例4】　（2024秋•鲤城区校级期中）若0＜m＜1，则不等式的解集为 　　 ． 【答案】． 【分析】由题可知，对应的一元二次函数开口向上，因此根据口诀“大于取两边，小于取中间”即可一元二次不等式． 【解答】解：因为0＜m＜1， 所以， 所以由， 得， 所以原不等式的解集为． 故答案为：． 02 含参数的一元二次不等式 1．解不含参数的一元二次不等式的方法 方法一：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两个一次因式乘积的形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集． 方法二：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得． 方法三：若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法． 2．含参数的一元二次型的不等式 在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑 （1）关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0． （2）关于不等式对应的方程根的讨论：两根（Δ>0），一根（Δ＝0），无根（Δ<0）． （3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2． 【例5】　（2024秋•黟县校级期末）若关于x的不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集不为空集，则实数a的取值范围为 　　 ． 【答案】（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）． 【分析】据题意，分两种情况讨论：①当a2﹣4＝0时，即a＝±2，将a的值代入分析不等式的解集是否为空集，②当a2﹣4≠0时，即a≠±2，结合二次函数的性质分析不等式解集非空时a的取值范围，综合2种情况即可得答案． 【解答】解：根据题意，分两种情况讨论： ①当a2﹣4＝0时，即a＝±2， 若a＝2时，原不等式为4x﹣1≥0，解可得：x，则不等式的解集为{x|x}，不是空集； 若a＝﹣2时，原不等式为﹣1≥0，无解，不符合题意； ②当a2﹣4≠0时，即a≠±2， 若（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集，则有，解可得﹣2＜a， 则当不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集不为空集时，有a＜﹣2或a且a≠2， 综合可得：实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）． 【例6】　（2024秋•砀山县期末）若关于x的不等式mx2﹣x+m⩾0在R上恒成立，则实数m的取值范围为 　　 ． 【答案】． 【分析】分m＝0和m≠0两种情况讨论，结合二次函数的性质求解即可． 【解答】解：①当m＝0时，不等式为﹣x⩾0，不恒成立； ②当m≠0时，由二次函数的图象和性质知 解得， 所以实数m的取值范围为． 故答案为：． 【例7】　（2024秋•四川校级期中）已知关于x的不等式﹣x2+4x≥a2﹣3a在R上有解，则实数a的取值范围是 　　 ． 【答案】{a|﹣1≤a≤4}． 【分析】根据一元二次不等式的解法即可得． 【解答】解：因为关于x的不等式﹣x2+4x≥a2﹣3a在R上有解，即x2﹣4x+a2﹣3a≤0在R上有解， 只需函数y＝x2﹣4x+a2﹣3a的图象与x轴有公共点， 所以Δ＝（﹣4）2﹣4×（a2﹣3a）≥0，即a2﹣3a﹣4≤0，即（a﹣4）（a+1）≤0， 解得﹣1≤a≤4．所以实数a的取值范围是{a|﹣1≤a≤4}． 故答案为：{a|﹣1≤a≤4}． 【例8】　（2025•镇雄县校级开学）若不等式x2+x﹣c＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），则c＝ 　　 ． 【答案】2． 【分析】根据不等式的解集，结合韦达定理可解． 【解答】解：由题意可得，x＝﹣2和x＝1是方程x2+x﹣c＝0的两根， 根据方程根与系数关系可得，﹣2＝﹣c，∴c＝2． 故答案为：2． 03 二次函数图象的应用 1．讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点，即方程ax2＋bx＋c＝0的实数根，也即二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标． 特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式． 2．一元二次不等式在R上的恒成立问题 （1）一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 （2）一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 （3）一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 （4）一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 3．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论： （1）若f（x）有最大值f（x）max，则a>f（x）恒成立⇔a>f（x）max； （2）若f（x）有最小值f（x）min，则a<f（x）恒成立⇔a<f（x）min． 【例9】　（2025•抚顺开学）已知二次函数y＝x2+bx+c的两个零点为﹣1，4，则b+c＝ 　　 ． 【答案】﹣7． 【分析】由二次函数根与系数的性质求解即可． 【解答】解：因为二次函数y＝x2+bx+c的两个零点为﹣1，4， 即x2+bx+c＝0的两个根为﹣1，4， 则， 解得b＝﹣3，c＝﹣4， 所以b+c＝﹣7． 故答案为：﹣7． 【例10】　（2025春•水城区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其图象如图所示，对称轴方程为x＝1，则的最小值为 　　 ． 【答案】8． 【分析】由二次函数的对称轴方程得出b＝﹣2a，分析可得出a＞0，b＜0，4﹣2b＞0，再利用基本不等式可求得的最小值． 【解答】解：根据题意可知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴方程，即b＝﹣2a， 由图知a＞0，则b＜0，所以4﹣2b＞0， 所以， 当且仅当，即b＝﹣1时等号成立，所以的最小值为8． 故答案为：8． 【例11】　（2025春•随州月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在点（0，2）与点（0，3）之间（包含端点），则下列结论正确的是（　　） A．当x＞3时，y＜0 B．4a+2b+c＝0 C． D．3a+b＞0 【答案】A 【分析】根据题意和图象，判断二次函数的图象开口，对称轴和特殊点，字母范围，逐项判断各选项即可． 【解答】解：由题意结合图象，可知a＜0，图象对称轴为，2≤c≤3，a﹣b+c＝0． 对于A，由上分析，函数图象与x轴的另一交点为（2×1+1，0），即点（3，0）， 故x＞3时，y＜0，故A正确； 对于B，由图及对称性知，当x＝2时，二次函数值与x＝0时函数值相同， 所以y＝4a+2b+c＞0，故B错误； 对于C，由可得b＝﹣2a，又a﹣b+c＝0，代入解得c＝﹣3a， 因2≤c≤3，故，即C错误； 对于D，由可得2a+b＝0，又a＜0，所以3a+b＜0，故D错误． 故选：A． 【例12】　（2024秋•汉寿县校级期末）若函数f（x）＝x2﹣ax+1的图象与x轴有两个不同的交点，则a的取值范围是（　　） A．a＞2或a＜﹣2 B．﹣2＜a＜2 C．a≠±2 D．1＜a＜3 【答案】A 【分析】根据题意可得一元二次方程有两个不同的实数根，由判别式大于0，求解即可． 【解答】解：因为函数f（x）＝x2﹣ax+1的图象与x轴有两个不同的交点， 即方程x2﹣ax+1＝0有两个不同的实数根， 则Δ＝（﹣a）2﹣4×1×1＞0，解得a＞2或a＜﹣2． 故选：A． 04 利用一元二次不等式解决实际问题 一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤 （1）求解方法： 由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集． （2）求解步骤： 第一步：审结论——明确解题方向 如要解cx2＋bx＋a<0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值． 第二步：审条件——挖掘题目信息 利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c． 第三步：建联系——找解题突破口 由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解cx2＋bx＋a<0的解集． 【例13】　（2023秋•新乡月考）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”．烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩．已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为h＝﹣3.6t2+28.8t，则烟花在冲出后爆裂的时刻是（　　） A．第2秒 B．第3秒 C．第4秒 D．第6秒 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质求解． 【解答】解：h＝﹣3.6t2+28.8t＝﹣3.6（t2﹣8t+16）+57.6＝﹣3.6（t﹣4）2+57.6， ∴当t＝4时，h取得最大值， 即烟花在冲出后爆裂的时刻是第4秒． 故选：C． 【例14】　（2023秋•罗平县校级期中）生产某机器的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y＝x2﹣70x，若每台机器售价为30万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为 　　 台． 【答案】50． 【分析】根据题意，利润为销售额减去成本，建立关系式，代入求最大值即可． 【解答】解：设生产x台，获得利润f（x）（万元）， 则f（x）＝30x﹣y＝﹣x2+100x＝﹣（x﹣50）2+2500， 所以当x＝50时，获得的利润最大． 故答案为：50． 【例15】　（2023秋•栾川县校级期末）如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD，已知院墙MN长为25米．篱笆长60米（篱笆全部用完），设篱笆的一面AB的长为x米． （1）当AB的长为多少米时，矩形花园的面积为400平方米？ （2）若围成的矩形ABCD的面积为S平方米，当x为何值时，S有最大值，最大值是多少？ 【答案】（1）10或20； （2）x＝17.5时，S有最大值，最大值为437.5． 【分析】（1）根据已知列出方程x（60﹣2x）＝400，整理求解即可得出答案； （2）由已知可得S＝﹣2x2+60x，17.5≤x＜30，根据二次函数的单调性，即可得出答案． 【解答】解：（1）由已知可得：2AB+BC＝60， 所以BC＝60﹣2AB＝60﹣2x． 所以面积S＝AB×BC＝x（60﹣2x）＝400， 整理可得x2﹣30x+200＝0，解得x＝10或x＝20， 所以当AB的长为10米或20米时，矩形花园的面积为400平方米； （2）由已知可得，S＝x（60﹣2x）＝﹣2x2+60x， 又60﹣2x≤25，所以x≥17.5， 所以S＝﹣2x2+60x，17.5≤x＜30． 又S＝﹣2x2+60x＝﹣2（x﹣15）2+450， 根据二次函数的性质可知S＝﹣2（x﹣15）2+450在[17.5，30）上单调递减， 所以当x＝17.5时，S有最大值437.5． 【例16】　（2024•兰山区校级开学）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%． （1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？ （2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克：若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计．） 【答案】（1）24元；（2）当每千克的平均销售价为35元时，利润最大，最大利润是7260元． 【分析】（1）根据已知条件列方程，从而求得这种水果今年每千克的平均批发价． （2）先求得利润的表达式，然后根据二次函数的性质求得正确答案． 【解答】解：（1）设这种水果今年每千克的平均批发价为x元， 则去年的批发价为x+1元， 今年的批发销售总额为10×（1+20%）＝12万元， 所以， 整理得x2﹣19x﹣120＝0， 解得x＝24或x＝﹣5（舍去）， 所以这种水果今年每千克的平均批发价为24元． （2）设每千克的平均售价为m元，由（1）得平均批发价是24元， 则， 二次函数开口向下，所以当m＝35元时，w取最大值7260元， 所以当每千克的平均销售价为35元时，利润最大，最大利润是7260元． 第1页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $