11.3 乘法公式（第2课时+两数和（差）的平方）（教学课件）数学新教材华东师大版八年级上册

该初中数学课件聚焦完全平方公式，通过“速算挑战”情境导入，引导学生用多项式乘法推导(a+b)²与(a-b)²公式，结合具体算式观察规律，搭建从具体运算到抽象公式的学习支架，衔接整式乘法与公式应用。 其特色在于融合几何直观与代数推理，情境导入的正方形面积问题培养数学眼光，新知探究的规律验证发展推理意识，典例中的简便运算和图形面积问题强化模型意识。口诀记忆与易错警示帮助学生掌握公式结构，分层训练提升应用能力，教师可借助清晰脉络和丰富实例提高教学效率。

11.3 乘法公式 （第2课时） 第11章 整式的乘除 华师大版2024·八年级上册 章节导读 学 习 目 标 理解公式结构 学生能准确写出两数和与两数差的平方公式：理解公式中每一项的几何或代数意义（如几何模型中的面积关系）。 ， 应用公式计算 能熟练运用公式展开具体数值或代数式的平方。 能逆向运用公式将三项式化简为完全平方形式 解决实际问题 能通过公式简化复杂运算 结合几何问题（如正方形面积分割）或其他学科场景，解释或应用公式。 课堂导入 学生快速计算以下算式：“小明要计算边长为 (a + b) 的正方形面积，小红要计算 (a - b)² 的数值，谁能最快得出结果？” 情境导入——速算挑战 (a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 (a - b)² =(a-b)(a-b)=a(a-b)-b(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+a2 如果用多项式乘以多项式计算较为复杂，还有其它方法吗 新知探究 计算以下各组式子的值，观察规律： ①(1+2)2与12+2×1×2+22 ②(x+3)2与x2+2×x×3+32 ③(2a-1)2与(2a)2-2×2a×1+12 关键提问： 等式左右两边是否相同？（可以用多项式与多项式乘法） 你能从特例中归纳出（a±b）2的展开式吗？ 利用多项式乘多项式展开计算验证 新知探究 代数推导（多项式乘法） 1.和的平方 （a+b）2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 2.差的平方 （a-b）2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2 ①为什么中间项是2ab而不是ab？ ②比较（a+b）2和（a-b）2的异同，符号规律是什么？ 逻辑验证 思考 新知探究 口诀： “首平方，尾平方，首尾二倍方中央” 符号法则：同号加二倍，异号减二倍。 对比记忆： 公式结构化记忆 类型 公式展开 关键点 和的平方 （a+b）2=a2+2ab+b2 中间项为+2ab 差的平方 （a-b）2=a2-2ab+b2 中间项为-2ab 易错警示： ①漏掉“二倍”项（如写成a2+ab+b2） ②符号错误（如（a-b）2误为a2-b2） 典例分析 例1 计算： （1）（2y+3）2； （2）（-a+2b）2； （3）x（x-2y）+（x+y）2 原式=（2y）2+2×2y×3+32=4y2+12y+9 原式=（-a）2+2×（-a）×2b+（2b）2 =a2-ab+4b2 原式=x2-2xy+x2+2xy+y2=2x2+y2 典例分析 例2 已知下列算式：①(a3)3=a6；②2m·3n=6m+n；③-a2·(-a)3=a5；④(b-a)2=a2-b2+2ab．其中计算结果正确的有（      ） A .3个 B . 2个 C . 1个 D . 0个 C 根据幂的乘方(a3)3=a9，故①错误 (b-a)2=a2+b2-2ab，故④错误 不是同底数幂，指数也不相同，故②错误 典例分析 例3 已知x2+y2=20，xy=2，则x-y的值为_______． ±14 本题主要考查了利用完全平方公式变形求代数式的值，由（x-y）2=x2+y2-2xy，可得：（x-y）2=16，即可求得结果为±4 解：（x-y）2=x2+y2-2xy ∵x2+y2=20，xy=2， ∴（x-y）2=20-2×2=16 ∵（±4）2=16 ∴x-y=±14 典例分析 例4 乘法公式可以帮助我们对数进行简便运算，请用你学过的公式完成题目． (1)1002-99×11； (2)（9）2 将99化为（100-1），将101化为（100+1），正好构造成平方差公式，再利用公式计算即可 将原式变为（10-）2.利用完全平方公式展开计算 解：（1）1002-99×101 =1002-（100-1）×（100+1） =1002-1002+1 =1 解：（2）（9）2 =（10-）2 =102-2×10×+（）2 =98 变式训练 如图所示，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是（     ） B A . a2-b2=(a+b)(a-b) B .a2-2ab+b2=(a-b)2 C . (a+b)2-4ab=(a-b)2 D .a2+2ab+b2=(a+b)2 变式训练 若关于的二次三项式4x2+(m+1)x+1是完全平方式，则m的值为（        ） 解：∵4x2+（m+1）x+1是一个完全平方式 ∴m+1=±4 解得：m=3或m=-5 D 本题考查完全平方式，对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个整式，使A=B2，则称A是完全平方式，利用完全平方公式的结构判断即可。 A . -5 B . -3 C . -3或5 D . -5或3 变式训练 设M=2a2+5a-5，N=3a2+a-1，其中a为实数，则M与N的大小关系是   ______ 解：∵M=2a2+5a-5，N=3a2+a-1 ∴N-M=3a2+a-1-(2a2+5a-5)=3a2+a-1-2a2-5a+5 =a2-4a+4=（a-2）2≥0 ∴N≥M，即M≤N 本题主要考查了整式的大小比较，完全平方式的应用，利用作差法求N-M，进而根据结果即可判断求解。 M≤N 课堂练习 1．下列计算正确的是（ ） A .x8÷x4=x2 B . （x-y）2=x2-y2 C . (-x2y3)2=-x4y6 D . x3·x4=x7 基础巩固题 D 利用同底数幂的除法：x8÷x4=x4，故A选项错误 （x-y）2=x2-2xy+y2 ，故B选项错误 (-x2y3)2=x4y6，故C选项错误 课堂练习 2．如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是（        ） C A . m2-n2=(m+n)(m-n) B .m2+2nm+n2=(m+n)2 C . (m-n)2=m2-2mn+n2 D .(m-n)2+4mn=(m+n)2 课堂练习 3.如果把一个正方形的一组对边加长4cm，再把另一组对边减少4cm，这时得到的长方形的面积与原正方形的边长减少2cm后的正方形的面积相等，原正方形的面积为（       ） 设原正方形的边长为xcm，则所得到的长方形的长为（x+m）cm，宽为（x-4）cm，根据面积相等列方程求解 解：设原正方形的边长为xcm，则所得到的长方形的长为（x+m）cm，宽为（x-4）cm，所得的正方形的边长为（x-2）cm 根据题意得,(x+4)(x-4)=(x-2)2,整理，得x2-16=x2-4x+4 即4x=20，解得x=5，所以x2=52=25 D 课堂练习 4．化简求值：（a-b）2+（a+b）(a-b)-2a(a-2b)，其中a=2025,b=-1 基础巩固题 此题考查了整式的混合运算中化简求值，原式利用完全平方式以及平方差公式化简，去括号合并得到最简的结果，将a与b的值代入计算即可求解值 解：（a-b）2+（a+b）（a-b）-2a（a-2b） =a2-2ab+b2+a2-b2-2a2+4ab =2ab 当a=2025，b=-1时，原式=2×2025×（-1）=-4050 课堂练习 5．已知（a-b）2=7，（a+b）2=13，求a2+b2和ab的值． 解：∵（a-b）2=7，（a+b）2=13 ∴a2+b2-2ab=7①，a2+b2+2ab=13② ①+②，得：2（a2+b2）=7+13 ∴a2+b2=10 ∴7=a2+b2-2ab=10-2ab，∴ab=1.5 根据完全平方公式将已知转为a2+b2-2ab=7①，a2+b2+2ab=13②，由①+②可求得a2+b2，继而得到ab的值。 两个数的和（差）的平方公式 课堂小结 和的平方：（a+b）2=a2+2ab+b2 差的平方：（a-b）2=a2-2ab+b2 结构规律 ①首平方（a2）+尾平方（b2）±中间项（2ab，符号与括号内保持一致） ②口诀：首平方，尾平方，二倍在中央 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 初 中 数 学 $$