11.5 第1课时因式分解及提公因式法分解因式（导学案）2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦因式分解及提公因式法，引导学生理解因式分解定义及与整式乘法的互逆关系。通过课前预习回顾整式乘法运算，结合逆向思考探究和差化积过程，搭建从旧知到新知的学习支架。 资料以“定义辨析—公因式确定—法则应用—易错突破”为主线，分层次设计典例与练习，覆盖字母、符号、整体公因式等类型。注重培养学生抽象能力和推理意识，通过简便运算、求值等实际应用提升应用意识，助力构建严谨的知识体系。

11.5 因式分解《因式分解及提公因式法分解因式》导学案 教材版本：华东师大版八年级上册 课时：1课时 一、学习目标 1. 知识目标：理解因式分解的定义，明确因式分解与整式乘法的互逆关系，掌握公因式的概念及寻找公因式的方法。 2. 能力目标：熟练运用提公因式法分解单项式、多项式，能准确寻找系数、字母、多项式形式的公因式，规范分解步骤。 3. 素养目标：体会逆向思维与转化的数学思想，构建整式乘法与因式分解的双向知识体系，培养严谨规范的运算习惯。 二、学习重难点 重点：掌握因式分解的概念，熟练运用提公因式法进行因式分解。 难点：准确找准复杂多项式的公因式（含多项式整体公因式、负公因式），分解彻底，避免分解不彻底、符号出错等问题。 三、课前预习（温故知新） 1. 整式乘法回顾：是把几个整式相乘化为一个多项式的形式，属于积化和差。 2. 基础计算：$$m(a+b+c)=$$________，$$2x(x-3)=$$________。 3. 思考探究：已知$$ma+mb+mc$$，能否逆向变形，化成几个整式乘积的形式？它和整式乘法是什么关系？ 四、课堂探究（新知突破） 探究1：因式分解的定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。 核心辨析（互逆关系）： 整式乘法：$$m(a+b+c)\xrightarrow{积化和差}ma+mb+mc$$ 因式分解：$$ma+mb+mc\xrightarrow{和差化积}m(a+b+c)$$ 关键要求：分解结果必须是整式乘积形式，且分解要彻底，不能留有多项式加减形式。 探究2：公因式的确定方法 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。分三步确定公因式： 1. 系数部分：取各项系数的最大公约数； 2. 字母部分：取各项都含有的相同字母，且取字母的最低次幂； 3. 整体部分：若多项式含相同多项式因式，整体作为公因式。 探究3：提公因式法法则 将多项式的公因式提取出来，把多项式化为“公因式×另一个整式”的积的形式。 公式通用：$$ma+mb+mc=m(a+b+c)$$ 探究4：高频易错点突破 1. 漏项问题：提取公因式后，剩余项数与原多项式项数一致，切勿漏写常数1； 2. 符号问题：首项为负时，统一提取负公因式，括号内各项全部变号； 3. 分解不彻底：提取一次公因式后，剩余整式若还有公因式，需继续分解； 4. 概念混淆：因式分解结果是乘积形式，不能保留加减运算。 五、典例精讲 例1 基础提公因式（字母公因式） 分解因式：$$3x^2+6x-9$$ 解析：系数最大公约数3，公共字母x，最低次幂1次，公因式为$$3x$$。 原式$$=3x(x+2-3)=3x(x-1)$$ 例2 首项为负，提取负公因式 分解因式：$$-2a^2+4ab-6ac$$ 解析：首项为负，提取负公因式$$-2a$$，括号内各项全部变号。 原式$$=-2a(a-2b+3c)$$ 例3 整体公因式（多项式公因式） 分解因式：$$2(x-y)+3x(x-y)$$ 解析：将$$(x-y)$$看作整体公因式，直接提取。 原式$$=(x-y)(2+3x)$$ 六、课堂练习 1. 基础分解因式： （1）$$4a^2-8a$$ （2）$$5x^3-10x^2+15x$$ （3）$$6ab-9ac+12ad$$ 2. 符号变式分解： （1）$$-3x^2+6x-3$$ （2）$$-4m^2n-8mn^2$$ 3. 整体公因式分解： $$3(a-b)^2+2(a-b)$$ 七、课堂小结 1. 核心定义：因式分解是多项式化为整式积的形式，与整式乘法互为逆运算。 2. 找公因式口诀：系数取最大公约，字母取最低次幂，相同多项式整体提。 3. 解题步骤：找公因式→提取公因式→整理括号内整式→检查分解是否彻底。 八、课后作业 1. 基础题：完成教材课后对应习题，熟练掌握基础提公因式法分解因式。 2. 提升题：分解因式 $$(x-2)^2+3(2-x)$$，掌握变形后提取公因式的技巧。 第1课时 因式分解及提公因式法分解因式 自主学习 一、知识链接 填一填：x（x+1）= ； 3a(a+2)= ； m(a+b+c)= __________. 二、新知预习 想一想：根据上面三个等式，将下列式子写成两个式子相乘的形式： x2+x=（___）（______）； 3a2+6a=（_____）（_______）； ma+mb+mc=（____）（_________）. 合作探究 一、探究过程 探究点1：因式分解 思考1：“想一想”中的三个式子从左到右的变化有什么共同的特点？ 【要点归纳】把一个多项式化成 的形式，叫做多项式的 . 思考2：通过观察“填一填”“想一想”中的式子，你发现因式分解与整式乘法有什么联系？ 例1下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　) ①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)； ③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【方法总结】判断变形过程是否为因式分解：一看等式右边是否为几个整式的积的形式，二看等式左边是否为多项式． 【针对训练】在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有___________. （填序号） ①24x2y=3x ·8xy； ②am+bm+c=m(a+b)+c； ③x2-1=(x+1)(x-1) ； ④(2x+1)2=4x2+4x+1； ⑤2x+4y+6z=2(x+2y+3z)； ⑥x2+x=x2(1+) . 探究点2：公因式 思考：式子ma+mb+mc中，ma= · ，mb= · ，mc= · ，它们共同的因式为 . 【要点归纳】多项式中的每一项都含有的相同的因式，称之为 . 问题：如何确定一个多项式的公因式？ 找一找：3x 2 - 6 xy的公因式. (1) 多项式3x 2 - 6 xy有____项，分别为__________、_________，它们的系数分别是______、_______，系数的最大公约数是__________，它们含有的共同字母是_________，该字母的指数分别为______、_____. (2) 该多项式的公因式为______________. 【方法总结】正确找出多项式的公因式的步骤： 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的_______________. 2.定字母：字母取多项式各项中都含有的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中______的一个，即字母最_____次数. 【针对训练】将下列各多项式的公因式填在横线上. (1) 3x+6y ___________; (2)ab-2ac ___________; (3) a2 - a3 ___________ ; (4 )9m2n-6mn ___________; (5)-6x2y-8xy 2 ___________; (6)4(m+n) 2 +2(m+n) ___________; 探究点3：用提公因式法分解因式 【概念提出】将多项式的 提出来，写成两个因式的 的形式，这种因式分解的方法，叫做 . 例2把下列各式分解因式： (1)8a3b2＋12ab3c； (2)- x2+xy-xz； (3)2a(b＋c)－3(b＋c)； 【方法总结】提公因式法步骤（分两步）第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积. 【针对训练】 1.下列是某同学分解因式的结果，对的画“√”，错的画“×”，并改正. (1) 分解因式 12xy3+18xy2=3xy(4y2 + 6y). ____________， 正解：________________________________； (2) 分解因式3x2 - 6xy+x =x(3x-6y).____________， 正解：________________________________； (3) (a＋b)(a－b)－a+b=(a＋b)(a－b－1)____________， 正解：________________________________. 【易错归纳】 (1)提取公因式后，多项式中各项还含有公因式．(2)提取公因式后，漏掉另一个因式是1的项；(3)找公因式时符号出错. 例3运用提公因式法进行简便运算： （1）2×97+8×97； （2）1.25×77+0.25×77-2.5×77. 例4先因式分解，再求值：m（a-3）-2n（3-a），其中a=1，m=0.6，n=0.2. 【针对训练】 当a，b互为相反数时，代数式a2+ab-2的值为（　　） A．2 B．0 C．-2 D．-1 二、课堂小结 因式分解 公因式 提公因式法分解因式 因式分解与______是互逆运算; 因式分解的右边是两个或多个整式乘积的形式 步骤： 1.定__________; 2.定__________; 3.定__________. 步骤：1:找公因式；2:提公因式 注意事项：1.公因式要提尽；2.不要漏项；3.提负号，要注意变号. 当堂检测 1.下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1 C．x2﹣2y2＝（x+2y）（x﹣2y） D．（x﹣1）（x﹣2）﹣2＝x（x﹣3） 2．把多项式（x+2）（x﹣2）+（x﹣2）提取公因式（x﹣2）后，余下的部分是（　　） A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3 3.下列多项式的分解因式，正确的是（　　） A．12xyz-9x2y2=3xyz（4-3xyz） B．3a2y-3ay+6y=3y（a2-a+2） C．-x2+xy-xz=-x（x2+y-z） D．a2b+5ab-b=b（a2+5a） 4．因式分解： （1）3xy﹣6y＝　 　； （2）a2b+b﹣2ab2＝　 　； （3）3x（x﹣2）﹣（2﹣x）＝　 　. 5.若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则整式M等于____________. 6.简便计算： (1) 1.99×1.98+1.99×0.02； (2)(-2)101+(-2)100. 7.若ab＝2，2a+b＝6，求多项式-4a3b2-2a2b3的值； 8．若△ABC的三边长分别为a，b，c，且a+2ab＝c+2bc，判断△ABC的形状． 参考答案 自主学习 一、知识链接 填一填：x²+x 3a²+6a ma+mb+mc 二、新知预习 想一想：x x+1 3a a+2 m a+b+c 合作探究 一、探究过程 探究点1： 思考1：解：三个式子都是从几个式子相加变成几个式子相乘. 【要点归纳】几个整式的积 因式分解 思考2：解：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式． 例1 B 【针对训练】③⑤ 探究点2： 思考：m a m b m c m 【要点归纳】公因式 找一找：（1）2 3x 2 - 6 xy 3 -6 3 x 2 1 （2）3x 【方法总结】最大公约数 次数最小 低 【针对训练】（1）3 （2）a （3）a² （4）3mn （5）-2xy （6）2(m+n) 探究点3： 【概念提出】公因式 积 提公因式法 例2 解：（1）原式=4ab²（2a²+3bc）. （2）原式=-x（x-y+z）. （3）原式=（b+c）（2a-3）. 【针对训练】1.（1）× 6xy2(2y+3) （2） × x(3x-6y+1) （3）× （a-b）（a+b-1） 例3 解：（1）原式=（2+8）×97=970.（2）原式=（1.25+0.25-2.5）×77=-77. 例4 解：原式=（m+2n）（a-3）=（0.6+0.2×2）×（1-3）= -2. 【针对训练】C 二、课堂小结 整式乘法 系数 字母 指数 当堂检测 1. D 2.D 3.B 4.（1）3y（x﹣2） （2）b（a2+1﹣2ab） （3）（x﹣2）（3x+1） 5.3a(x－y)2 6.解：（1）原式=3.98. （2）原式=-2100. 7.解：∵ab＝2，2a+b＝6，∴-4a3b2-2a2b3＝-2a2b2（2a+b）＝-2×22×6＝-48． 8.解：∵a+2ab＝c+2bc，∴a﹣c+2ab﹣2bc＝0，即（a﹣c）（2b+1）＝0．∵a，b，c是△ABC的边长，∴b＞0，∴2b+1≠0，∴a﹣c＝0，∴a＝c，即△ABC是等腰三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $