11.5 因式分解（10大基础题型+3大巩固提升）（题型专练）数学新教材华东师大版八年级上册

11.5 因式分解 题型一：判断是否为因式分解 1．（24-25八年级上·甘肃临夏·阶段练习）下列从左到右的等式变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·天津·阶段练习）下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）下列变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列因式分解正确的有（    ） ①； ②； ③； ④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列分解因式错误的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型二：找出公因式 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）用提公因式法分解因式时，提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）多项式各项的公因式是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期末）将多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）多项式，，中，它们的公因式是 ． 5．（24-25七年级上·上海·阶段练习）整式各项的公因式是 ． 6．（23-24八年级上·山东泰安·阶段练习）多项式与的公因式是 ． 7．（24-25八年级上·山东东营·单元测试）将多项式分解因式，应提取的公因式是 ． 8．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）将多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 题型三：提取公因式因式分解 1．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）因式分解：， 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）用提公因式法将下列各式分解因式． (1)； (2)． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 4．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）分解因式： (1)； (2)． 5．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）因式分解： 6．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）分解因式：． 7．（24-25八年级下·全国·假期作业）将下列各式进行因式分解． (1)； (2)； (3)． 8．（24-25七年级下·上海·假期作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 题型四：判断能否用公式法分解因式 1．（24-25七年级下·河北唐山·期末）下列各式中，可以用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）在多项式①，②，③，④，⑤中，能用平方差公式分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 4．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）下列多项式在实数范围内不能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）下列各式中不能用平方差公式分解的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·北京东城·期末）下列各式不能用平方差公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·山东泰安·期末）在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 题型五：公式法因式分解 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）因式分解： (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）因式分解 (1) (2) (3) (4) 4．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）将下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) 5．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）把下列各式因式分解 (1)； (2)． 6．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 7．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）分解因式： (1) (2)； (3)； (4)． 8．（24-25七年级下·山东聊城·期末）因式分解 (1)； (2)． 9．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）因式分解： (1) (2) (3) 10．（24-25八年级上·青海海东·阶段练习）分解因式： (1)； (2) 11．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型六：利用因式分解进行简便运算 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）利用因式分解简化运算： (1)； (2)． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）利用因式分解计算： (1)； (2)． 3．（24-25八年级下·江西抚州·期中）利用分解因式计算：． 4．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）简便计算 (1) (2) 6．（2024八年级上·全国·专题练习）简便计算： (1) (2)． 7．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）计算 (1) (2) 题型七：利用十字相乘进行因式分解 1．（2025八年级上·全国·专题练习）因式分解：． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）分解因式： (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·四川乐山·期末）因式分解： 4．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）因式分解： 5．（24-25七年级上·上海青浦·期末）因式分解： 6．（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解：． 7．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）分解因式： (1)． (2)． 题型八：利用因式分解的结果求参数 1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）多项式因式分解的结果是，则的值为（    ） A． B． C．1 D．7 2．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为（  ） A． B．2 C．10 D．15 3．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）若二次三项式可分解为，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）若多项式因式分解的结果是，则的值分别为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知关于的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若多项式因式分解后的结果是，则的值是（　　） A．10 B． C． D．13 7．（2025八年级下·全国·专题练习）若是多项式因式分解的结果，则的值是（    ） A．2 B． C．8 D． 8．（24-25八年级上·四川广安·期末）小梅和小丽在因式分解关于x的多项式时，小梅获取的其中一个正确的因式为，小丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（   ） A． B． C． D．3 9．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）甲同学分解因式时看错了9，分解结果为，则多项式分解因式的正确结果为 ． 题型九：因式分解的应用之解密问题 1．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）小刚是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：东、爱、我、山、丽、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美丽 B．山东美丽 C．我爱山东 D．美我山东 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：连，丽，美，大，滨，城，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．滨城 B．美丽滨城 C．滨城大连 D．美丽大连 3．（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，分别对应下列六个字：节、我、爱、游、毕．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．爱毕节 B．我爱游 C．爱我毕节 D．我游毕节 4．（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）小花是一位密码翻译的数学高手，在她的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，，，分别对应下列六个字：河、爱、我、沿、丽、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱沿河 B．美丽沿河 C．我爱美丽 D．沿河爱美 5．（2025·河南驻马店·模拟预测）对于任意整数，可得多项式的结论最为恰当的是（    ） A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除 6．（2025九年级下·广东·学业考试）某密码翻译爱好者的书记录着2，，，，分别对应：“2”“4”“6”“5”“3”的数字．则多项式因式分解后呈现的密码信息可以是 ． 7．（23-24八年级上·河南新乡·期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项式因式分解的结果是若取，则各个因式的值：于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式取时，用上述方法产生的密码是 （写出一个即可） 8．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）日常生活中，如取款、上网都需要密码．有一种因式分解产生的密码，方便记忆．其原理是：对于多项式，其因式分解的结果是，若用8代入，用8代入，则各个因式的值分别是，于是就把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，若用23代入，用5代入，用上述方法产生的密码是 ． 9．（23-24七年级下·广西贵港·期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值为，，，于是就可以把“117145”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码共有 种． 题型十：因式分解混合运算 1．（24-25八年级上·甘肃临夏·阶段练习）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）因式分解： (1)； (2)． 4．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）因式分解 (1)； (2) ； (3)； (4)（用十字相乘法）． 5．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）把下列各式分解因式 (1) (2) (3) 题型一：因式分解中整除问题 1．（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）追本溯源 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法，并完成题（2）． (1)两个连续的奇数的平方差能被8整除吗？为什么？ (2)①若k为任意整数，则的值总能________． A．被2整除    B．被3整除    C．被5整除    D．被7整除 ②必能被10和20之间某两个整数整除，求这两个数． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）若是一个正整数，且除以3余2．判断是否一定能被9整除，并说明理由． 3．（24-25八年级下·陕西安康·期中）甲、乙两人做数字游戏，甲每次选择一个正整数，然后乙根据的值计算代数式的值． (1)填空： ①___________； ②___________． (2)求证：总能被4整除． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）当为整数时，能被4整除吗？请说明理由． 5．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知多项式能够被整除． (1)求的值． (2)若a，b，c为整数，且，试求b的值． 题型二：因式分解的应用中最值问题 1．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）阅读理解：求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下“配方法”： 因为， 所以．所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当______时，有最小值是______． (2)多项式有最______(填“大”或“小”)值，该值为______． (3)已知，求的最值． 2．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1990， 代数式：的最小值是1990． 例如：分解因式： 解：原式 ． 根据材料用配方法解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数______； (2)分解因式； (3)若，求的最大值； (4)当，为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 3．（24-25八年级上·河南新乡·期中）上数学课时，张老师在讲完因式分解 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： 当时， 的值最小，最小值是0， 当 时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当 时，代数式的最小值是 ； (2)知识运用：若 ，当时， y有最 值 （填“大”或“小”），这个值是 (3)知识拓展：若，求的最小值． 4．（24-25七年级下·江苏南京·期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ， 当时，的值最小，最小值是0． ． 当时，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当___________时，代数式的最小值是___________． (2)知识运用：若，当___________时，有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________． (3)知识拓展：若，求的最小值． 5．（24-25八年级上·江西赣州·期末）阅读理解：我们常常把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题， 例如：， ∵，∴． (1)这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______． (2)求代数式的最小值，并写出相应的的值． (3)若，试比较、的大小，并说明理由． 6．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）阅读理解并解答： 我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． (1)例如：①， 是非负数，即，， 则这个代数的最小值是2，这时相应的的值是， ②， 是非负数，即，， 则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是_______； (2)知识再现：当______时，代数式的最小值是______； (3)知识运用：若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______； (4)知识拓展：若，求的最小值． 7．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）1.阅读理解： （1）为了求代数式的值，我们必须知道x的值． 若，则这个代数式的值为________﹔若，则这个代数式的值为_______；…… 可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，尽管如此；把一个代数式进行变形，可以解决求代数式的最大（或最小）值问题． 例如：例如： ∵ ∴ ∴当时，代数式的最小值是，此时的值为． （2）求代数式的最小值，并写出相应的x的值． （3）代数式的最大值为 ． 题型三：因式分解解答压轴题 1．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，是“完美数”，理由：因为，所以是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成（，为整数）的形式： ； (2)若可配方成（，为常数），则 ； (3)求代数式的最小值，并求出，的值； (4)已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出一个符合条件的k的值． 2．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）数学来于生活，同样数学也服务于生活，请同学们认真阅读下面材料，并完成相应任务． 现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经密切相连，密不可分，而诸如“123456”、 生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如 多项式因式分解的结果为，当时，，，此时可以得到数字密码 2504 或 0425；如多项式，因式分解的结果为， 当 时， ， ，，此时可以得到数字密码 091112 ． 任务一：根据上述方法，当，时，将多项式分解因式后可以形成的数字密码有： （写出三个）； 任务二：一个直角三角形的两直角边分别为 x和 y，且它的周长为 12，面积为 6，斜边长为 5 ，将一个由多项式分解因式后可得到数字密码： (写一个即可)； 任务三：若多项式因式分解后，利用本题的方法，当 时可以得到一个密码 2821 ，求 m 、n 的值． 3．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）先阅读下面的内容，再解决问题， 原题呈现：若求m和n的值． 方法介绍：看到，想：如果添上，恰好就是，这个过程叫作“配方”， 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 方法运用： (1)若，求的值． (2)已知、、是的三边长且各边不相等，其中，c是中最长的边，求的取值范围． 4．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）阅读材料，解决问题： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如：分解因式． 原式 ． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：． 5．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）阅读材料：若，求的值． 解：， ， ， ，， ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长都是正整数，且满足，求的最大边的值； (3)已知，求的值． 6．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：分解因式 原式 例如：求代数式的最小值． 原式，当时，有最小值，最小值是 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______求代数式的最小值为______； (2)若，当______时，y有最______值填“大”或“小”，这个值是______； (3)当a，b，c分别为的三边长，且满足时，求的周长． 1．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知，且，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．4048 3．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）在多项式中添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，嘉嘉和琪琪的做法如下： 嘉嘉：添加，得到； 琪琪：添加，得到． 则下列判断正确的是（   ） A．只有嘉嘉的做法正确 B．只有琪琪的做法正确 C．嘉嘉和琪琪的做法都正确 D．嘉琪和琪琪的做法都不正确 4．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，有型，型，型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有1块；型为边长为2的正方形，共有2块；型是长为，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠，不留空隙），则下列操作可行的是（   ） A．用全部7块纸板 B．加上3块型纸板 C．拿掉2块型纸板 D．加上1块型纸板 5．（24-25八年级下·广东茂名·期末）若实数是的三边长，则的结果（    ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定 6．（24-25七年级下·北京石景山·期末）有4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则满足（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）已知任意实数满足等式，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数，满足，，则 ． 9．（24-25七年级下·河南郑州·期中）把一段长的铁丝分成两段，将每一段都围成一个最大的正方形，如果这两个正方形的面积之差是，则这两个正方形的边长相差 ． 10．（24-25七年级下·浙江金华·期末）在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解：原式，这种方法叫做分组分解法．请你用以上方法，写出多项式因式分解的结果为 ． 11．（24-25八年级下·福建宁德·期末）如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是 ． 12．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知满足，，，则的值为 ． 13．（24-25八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）分解因式： (1)； (2)； 14．（24-25八年级下·河南郑州·期末）阅读下面的材料，解答提出的问题： 已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为，由题意，得： 则 ，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为． 提出问题： (1)已知：二次三项式有一个因式是，求p的值． (2)已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 15．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示： (1)因式分解：； (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值． 16．（24-25八年级下·甘肃张掖·期末）利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式：              例2：若，求M的最小值．                                 ∵               ∴当时，M的最小值是1． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 17．（24-25八年级下·广东深圳·期末）【阅读材料】 我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)填空： ① ② ＝ ． ③ ④． (2)将下列各式因式分解： ① ； ②． 1 / 84 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.5 因式分解 题型一：判断是否为因式分解 1．（24-25八年级上·甘肃临夏·阶段练习）下列从左到右的等式变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的判定，理解定义是关键． 因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式）． 【详解】解：A、，等号右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、，等号右边是积的形式，符合定义，符合题意； C、，等号右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、，等号右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：B ． 2．（24-25八年级上·天津·阶段练习）下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义．根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案． 【详解】解：A．，是整式的乘法，不属于因式分解，且该等式不成立，故此选项不符合题意； B．，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项不符合题意； C．，把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项符合题意； D．，是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式，结合因式分解的概念，逐个选项分析即可． 【详解】，属于整式乘法不是因式分解，故选项不属于； ，符合因式分解的概念，故选项属于； ，不属于因式分解，故选项不属于； ，选项错误，故选项不属于． 故答案选：． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）下列变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式乘积的形式，根据因式分解的定义解答即可． 【详解】解：A．，是整式乘法运算，不是因式分解，故选项A不符合题意； B．，等式右边不是整式乘积的形式，故选项B不符合题意； C．，从左到右的变形是因式分解，故选项C符合题意； D. ，等式右边不是整式乘积的形式，故选项D不符合题意． 故选：C． 5．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，要与整式的乘法区分开，二者是互逆运算，容易出错． 根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式，叫做因式分解，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； B．，右边不是整式积的形式，故此选项不符合题意； C．，是因式分解，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 6．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列因式分解正确的有（    ） ①； ②； ③； ④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查的是因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键，根据因式分解的方法依次判断即可． 【详解】解：①，故计算错误； ②，故计算错误； ③，正确； ④，故计算错误； 因式分解正确的是③，共1个， 故选：B． 7．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列分解因式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 根据提公因式法因式分解的方法逐项求解判断即可． 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，原计算错误，符合题意； D、，正确，不符合题意． 故选：C． 8．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义．根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断即可． 【详解】解：A、从左到右的变形错误，，故此选项不符合题意； B、，属整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； C、，原式因式分解不彻底，故此选项不符合题意； D、，等式左边是多项式，右边是几个整式的乘积，属于因式分解，故此选项符合题意； 故选：D． 题型二：找出公因式 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）用提公因式法分解因式时，提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查公因式，掌握公因式的定义是解题的关键．根据公因式的定义可求解． 【详解】解：用提公因式法分解因式时，提取的公因式是． 故选C． 2．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）多项式各项的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了公因式的定义，熟练掌握确定多项式各项的公因式，需找出系数部分的最大公约数和各字母的最低次幂是解题关键． 根据公因式的定义即可求解． 【详解】解：， 多项式各项的公因式是． 故选：C． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期末）将多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了运用公因式法进行因式分解，确定多项式的公因式需提取各项系数的最大公约数和共有字母的最低次幂，据此进行分析，即可作答． 【详解】解： ∴将多项式分解因式时，应提取的公因式是 故选：C 4．（2025七年级下·全国·专题练习）多项式，，中，它们的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的确定，因式分解，熟练掌握公因式的定义及因式分解是解题的关键．先因式分解两个多项式，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式． 【详解】解： ； ； ∵各项都含有， ∴它们的公因式是． 故答案为：． 5．（24-25七年级上·上海·阶段练习）整式各项的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的公因式，解题的关键是掌握确定一个多项式的公因式，可归纳为“五看”：一看系数，若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；当多项式中各项系数是分数时，则公因式的系数是分数，而且分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最大公因数；；二看字母，公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数，各相同字母的指数取指数最低的；四看整体，如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；五看首项符号，若多项式中首项的符号为“”，则公因式的符号一般为负．据此解答即可． 【详解】解：各项的公因式是． 故答案为：． 6．（23-24八年级上·山东泰安·阶段练习）多项式与的公因式是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义和公因式的确定方法是解题的关键．首先将与进行因式分解，然后根据公因式的定义确定答案即可． 【详解】解：∵，， ∴多项式与的公因式是． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·山东东营·单元测试）将多项式分解因式，应提取的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，熟练掌握提公因式法因式分解是解题关键．各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式，提公因式的方法为：在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑．公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；如果多项式的第一项为负，要提出负号，使括号内的第一项的系数成为正数．据此即可获得答案． 【详解】解：， 所以，将多项式分解因式，应提取的公因式是． 故答案为：． 8．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）将多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式的定义，公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的． 【详解】解：对多项式分解因式时，应提取的公因式是， 故答案为：． 题型三：提取公因式因式分解 1．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）因式分解：， 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，用提公因式法分解因式即可． 【详解】解： ． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）用提公因式法将下列各式分解因式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1） ； （2） ． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是因式分解； （1）先提取公因式分解因式即可； （2）先提取公因式分解因式即可； 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 4．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查提公因式分解因式． （1）提公因式即可求解； （2）提公因式即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．提出公因式，即可求解． 【详解】解： 6．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．提出公因式，即可求解． 【详解】解： 7．（24-25八年级下·全国·假期作业）将下列各式进行因式分解． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解的方法．通过观察式子的特点，找到公因式并提取出来，将式子化为最简因式乘积的形式是解题的关键． （1）首先观察到，那么原式可以变形为，提取公因式即可求解； （2）对式子中的进行变形，得到，所以原式变为，地区公因式得到，进一步化简为； （3）观察到式子两项中都含有公因式，提取公因式后得到，进一步化简可得，即． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式． （3）解：原式． 8．（24-25七年级下·上海·假期作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）提取公因式； （2）提取公因式； （3）提取公因式． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型四：判断能否用公式法分解因式 1．（24-25七年级下·河北唐山·期末）下列各式中，可以用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】完全平方公式为，需满足首末项为平方项且中间项为两平方项根乘积的2倍．本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题的关键． 【详解】解：A、，符合平方差公式，但不符合完全平方公式，本选项不符合题意． B、，中间项为，但末项非平方项，无法构成完全平方，本选项不符合题意． C、，中间项为，末项非平方项，无法构成完全平方，本选项不符合题意． D、，首项和末项均为平方项，中间项为与乘积的2倍，符合形式，可分解为，本选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）在多项式①，②，③，④，⑤中，能用平方差公式分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟知平方差公式是解题的关键．根据平方差公式的特征，即可求解． 【详解】解：①，不能应用平方差公式分解； ②，是平方和，不能应用平方差分解； ③，符合平方差的特征，可以应用平方差分解； ④，符合平方差的特征，可以应用平方差分解； ⑤，符合平方差的特征，可以应用平方差分解； 综上所述：题中能用平方差公式分解的有③④⑤，共3个． 故选：C． 3．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．根据公式法的特点，对题目中的每个多项式逐一分析即可． 【详解】解：①不能用公式法分解； ②，可以用公式法分解； ③不能用公式法分解； ④，可以用公式法分解； ⑤，可以用公式法分解； 综上所述，能用公式法分解因式的是②④⑤． 故选：B． 4．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）下列多项式在实数范围内不能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式是解答的关键．利用完全平方公式和平方差公式进行逐项判断即可． 【详解】解：A、在实数范围内不能用公式法因式分解，符合题意； B、，在实数范围内能用完全平方公式因式分解，不符合题意； C、，在实数范围内能用平方差公式因式分解，不符合题意； D、，在实数范围内能用平方差公式因式分解，不符合题意； 故选：A． 5．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）下列各式中不能用平方差公式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】A．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意； B．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意； C．，不具备平方差公式的结构特征，故此多项式不能用平方差公式分解，符合题意； D．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意． 故选：C． 6．（24-25七年级下·北京东城·期末）下列各式不能用平方差公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式法进行分解因式，即可判断． 【详解】A：，符合平方差公式法，故此选项不符合题意； B：，符合完全平方公式，故此选项符合题意； C：，符合平方差公式法，故此选项不符合题意； D：，符合平方差公式法，故此选项不符合题意； 故选：B． 7．（24-25八年级上·山东泰安·期末）在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 题型五：公式法因式分解 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解的综合运用，涉及平方差公式、完全平方公式等知识，综合运用提公因式法及公式法因式分解是解题的关键． （1）利用平方差公式分解即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （3）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （4）根据完全平方公式进行分解即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）利用平方差公式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）因式分解 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法因式分解和公式法因式分解． （1）先利用提公因式法进行因式分解，再利用公式法进行因式分解； （2）先利用提公因式法进行因式分解，再利用公式法进行因式分解； （3）利用公式法进行因式分解； （4）利用提公因式法进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）将下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了因式分解、乘法公式、多项式乘以多项式，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）利用提公因式法计算即可； （2）先提公因式，再用完全平方公式计算即可； （3）利用完全平方公式计算后再进行分解即可； （4）先计算多项式乘多项式，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 5．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）把下列各式因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 6．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握各种因式分解的方法，常用的有提公因式法，乘法公式法，十字相乘法等等． （1）利用平方差公式分解即可； （2）提公因式分解即可； （3）先提公因式，再利用完全平方公式分解即可； （4）先提公因式，再利用完全平方公式分解即可； （5）利用完全平方公式分解即可； （6）利用平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 7．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）分解因式： (1) (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式，再用平方差公式进行因式分解； （2）先用平方差公式再用完全平方公式进行因式分解； （3）先添括号分组，再把前两项用平方差公式分解因式，最后再提公因式； （4）先提公因式，再用完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 8．（24-25七年级下·山东聊城·期末）因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）先提公因式，然后再用完全平方公式，分解因式即可； （2）用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． （3）运用平方差公式进行因式分解，最后再提公因式，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 10．（24-25八年级上·青海海东·阶段练习）分解因式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的常用方法，包括提取公因式法、平方差公式和完全平方公式的应用．解题的关键是根据式子的特点，灵活选择合适的分解方法，逐步将多项式分解到不能再分解为止． （1）先提取公因式，得到括号内的二次三项式，再观察其符合完全平方公式的形式，进而分解为． （2）先将看作，式子符合平方差公式，分解后得到两个二次三项式，再分别利用完全平方公式继续分解，最终得到． 【详解】（1） （2） 11．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式，再用平方差公式进行因式分解； （2）先用平方差公式再用完全平方公式进行因式分解； （3）先添括号分组，再把前两项用平方差公式分解因式，最后再提公因式； （4）先用完全平方公式，再提公因式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型六：利用因式分解进行简便运算 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）利用因式分解简化运算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)20260 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1)22500 (2)4 【分析】本题考查的是利用完全平方公式进行简便运算； （1）把原式化为，再进一步求解即可； （2）把原式化为，再进一步求解即可； 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 3．（24-25八年级下·江西抚州·期中）利用分解因式计算：． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，平方差公式，将原式中24变形为，再利用平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： ． 4．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解进行简便计算，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解； （2）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）简便计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式的计算； （1）根据完全平方公式进行计算即可求解． （2）根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2） 6．（2024八年级上·全国·专题练习）简便计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用因式分解进行简便计算，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法． （1）直接提取公因式，进而求出答案； （2）将前两项提取公因式2013，进而分解因式得出答案． 【详解】（1）解：      ； （2）解： ． 7．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)200 【分析】本题考查了实数的混合运算，乘法公式的应用； （1）根据算术平方根、立方根，实数的混合运算法则进行计算即可求解； （2）运用乘法的分配律和完全平方公式进行简算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型七：利用十字相乘进行因式分解 1．（2025八年级上·全国·专题练习）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接根据十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： ． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式，熟练掌握十字乘法分解因式是解决本题的关键． （1）直接利用十字乘法分解因式即可； （2）直接利用十字乘法分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 3．（24-25八年级上·四川乐山·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查十字相乘法因式分解，直接利用十字相乘法分解因式即可得答案，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ． 4．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式a，再利用十字相乘法分解因式即可得到答案． 【详解】解： ． 5．（24-25七年级上·上海青浦·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提取负号，然后根据十字相乘法因式分解即可． 【详解】解∶原式 故答案为∶． 6．（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，利用十字乘法分解因式即可． 【详解】解： ； 7．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）分解因式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）先提公因式，再利用十字相乘法因式分解即可； （）利用完全平方公式因式分解即可； 本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式． 题型八：利用因式分解的结果求参数 1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）多项式因式分解的结果是，则的值为（    ） A． B． C．1 D．7 【答案】C 【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求解参数．通过将给定的因式分解结果展开，与原多项式对比一次项系数即可确定p的值. 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为（  ） A． B．2 C．10 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式相等的条件．设另一个因式为，则，根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 而， 所以， 解得：， ， 故选：C． 3．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）若二次三项式可分解为，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解以及多项式乘法法则，掌握多项式乘多项式法则是解题关键．将多项式分解后的形式展开，与原式比较对应项的系数，解方程确定m的值即可． 【详解】解：， 若二次三项式可分解为， 则， 解得：， 故选：A． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）若多项式因式分解的结果是，则的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求解未知系数，根据多项式乘法展开后的对应系数关系，建立方程求解即可. 【详解】解：多项式 因式分解为 ，展开右边得： ， ∴，， 解得：，， 故选：A． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知关于的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解．设另一个一次多项式为，根据因式分解后与原式系数对应求解即可． 【详解】解：设另一个一次多项式为， ∴， ∵能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是， ∴， ∴， ∴， ∴另一个一次多项式为， 故选：D 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若多项式因式分解后的结果是，则的值是（　　） A．10 B． C． D．13 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解．将给定的因式分解形式展开，与原多项式比较对应项的系数，求出参数的值即可． 【详解】解：， ∵多项式因式分解后的结果是， ∴，， ∴， 故选：C． 7．（2025八年级下·全国·专题练习）若是多项式因式分解的结果，则的值是（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，因式分解的定义，熟练掌握多项式的运算法则是解题的关键． 先计算，由得到即可求得的值． 【详解】解：∵， 由题意得，， ， ． 故选：C． 8．（24-25八年级上·四川广安·期末）小梅和小丽在因式分解关于x的多项式时，小梅获取的其中一个正确的因式为，小丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；由题意易得，然后可得a、b的值，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 9．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）甲同学分解因式时看错了9，分解结果为，则多项式分解因式的正确结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解和整式化简之间的关系，牢记各自的特点并能灵活应用是解题关键．先根据分解因式时，甲看错了9，分解结果为，求出，再分解因式即可． 【详解】解：∵分解因式时，甲看错了9，分解结果为， ∴在中，是正确的， ∴． 故答案为：． 题型九：因式分解的应用之解密问题 1．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）小刚是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：东、爱、我、山、丽、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美丽 B．山东美丽 C．我爱山东 D．美我山东 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用． 将原式提取公因式后，利用平方差公式进一步分解，结合各因式对应的字即可得出结果． 【详解】解： ， 对应“爱”，对应“我”，对应“东”，对应“山”． 四个因式组合为“爱、我、东、山”， 只有C“我爱山东”符合， 故选：C． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：连，丽，美，大，滨，城，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．滨城 B．美丽滨城 C．滨城大连 D．美丽大连 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用．将所给的多项式因式分解，然后与已知的密码相对应得出文字信息． 【详解】解：∵ ， 又∵，，，，分别对应下列四个字：美，丽，大，连， ∴结果呈现的密码信息可能是：美丽大连． 故选：D． 3．（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，分别对应下列六个字：节、我、爱、游、毕．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．爱毕节 B．我爱游 C．爱我毕节 D．我游毕节 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用提公因式法和平方差公式分解因式的结果为，然后找出对应的汉字即可对各选项进行判断． 【详解】， 信息中的汉字有：爱、毕、节、我． 所以结果呈现的密码信息可能为：爱我毕节． 故选：C． 4．（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）小花是一位密码翻译的数学高手，在她的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，，，分别对应下列六个字：河、爱、我、沿、丽、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱沿河 B．美丽沿河 C．我爱美丽 D．沿河爱美 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先提取公因式分解因式，再利用平方差公式分解因式，从而得到密码是由河、爱、我、沿这四个字组成的，据此可得答案． 【详解】解： ， ∴密码是由河、爱、我、沿这四个字组成的， 故选：A． 5．（2025·河南驻马店·模拟预测）对于任意整数，可得多项式的结论最为恰当的是（    ） A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除 【答案】B 【分析】此题考查了完全平方公式，提取公因式进行因式分解．多项式利用完全平方公式计算，合并同类项进行化简，然后提取公因式进行因式分解，即可做出判断． 【详解】解： ， 无论为奇数或偶数，与必为一奇一偶，其乘积为偶数， 故． 该式恒为8的倍数，因此对任意整数，原式必被8整除． 故选：B． 6．（2025九年级下·广东·学业考试）某密码翻译爱好者的书记录着2，，，，分别对应：“2”“4”“6”“5”“3”的数字．则多项式因式分解后呈现的密码信息可以是 ． 【答案】2453（答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解，其中灵活应用平方差公式是解题的关键．将进行因式分解即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 2，，，，分别对应：“2”“4”“6”“5”“3”的数字． 多项式因式分解后呈现的密码信息可以是：2453． 故答案为：2453（答案不唯一）． 7．（23-24八年级上·河南新乡·期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项式因式分解的结果是若取，则各个因式的值：于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式取时，用上述方法产生的密码是 （写出一个即可） 【答案】或或或或或．（任选其一即可） 【分析】此题考查的是因式分解的应用，掌握利用提公因式法和平方差公式因式分解是解决此题的关键．先将其因式分解，然后将x和y的值分别代入各个因式中即可求出结论． 【详解】解： ， 当时， ， ， ∴用上述方法产生的密码是：或或或或或． 故答案为：或或或或或．（任选其一即可）． 8．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）日常生活中，如取款、上网都需要密码．有一种因式分解产生的密码，方便记忆．其原理是：对于多项式，其因式分解的结果是，若用8代入，用8代入，则各个因式的值分别是，于是就把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，若用23代入，用5代入，用上述方法产生的密码是 ． 【答案】232818 或 231828 或 282318 或 182328 或 281823 或 182823（填对一个即可） 【分析】本题考查了因式分解的实际应用，将正确分解是解题关键．所求的代数式分解因式后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后整体代入即可． 【详解】解：， ∴取时， ∴可以产生的密码为：共6个， 故答案为：232818 或 231828 或 282318 或 182328 或 281823 或 182823（填对一个即可）． 9．（23-24七年级下·广西贵港·期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值为，，，于是就可以把“117145”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码共有 种． 【答案】6 【分析】本题考查因式分解的应用，将进行因式分解，再进行判断即可． 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴可产生的密码为：162210，221610，221016，161022，101622，102216；共6种． 故答案为：6． 题型十：因式分解混合运算 1．（24-25八年级上·甘肃临夏·阶段练习）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解， （1）直接提公因式即可； （2）利用平方差公式进行分解即可； （3）利用完全平方公式进行分解即可； （4）先添括号将首项变为正数的形式，再用完全平方公式进行分解； 解题的关键是掌握因式分解的基本思路：一个多项式如有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解．如果剩余的是两项，考虑使用平方差公式；如果剩余的是三项，则考虑使用完全平方公式；同时，因式分解要彻底，要分解到不能分解为止． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）先用平方差公式再利用完全平方公式进行因式分解。 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式． （3）原式 ． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式后，运用完全平方公式进行分解即可； （2）先提公因式后，运用平方差公式进行分解即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 4．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）因式分解 (1)； (2) ； (3)； (4)（用十字相乘法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了公式法因式分解，即平方差公式和完全平方公式，因式分解的方法，熟练掌握因式分解的各种方法是解题关键． （1）先利用提公因式法运算，再利用平方差公式，即可求解； （2）利用提公因式法即可求解； （3）利用平方差公式和完全平方公式即可求解； （4）利用十字相乘法即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 5．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解， （1）直接提公因式即可； （2）先提公因式，再用平方差公式进行分解； （3）先添括号将首项变为正数的形式，再用完全平方公式进行分解； （4）先提公因式，再用平方差公式进行分解； 解题的关键是掌握因式分解的基本思路：一个多项式如有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解．如果剩余的是两项，考虑使用平方差公式；如果剩余的是三项，则考虑使用完全平方公式；同时，因式分解要彻底，要分解到不能分解为止． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 6．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． （1）先提取公因式，再用十字相乘法分解； （2）先用平方差公式分解，再用完全平方公式分解； （3）先提取公因式，再用完全平方公式分解； （4）先提取公因式，再用平方差公式分解 【详解】（1） （2） （3） （4） 7．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）把下列各式分解因式 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． （1）提公因式即可； （2）先提公因式2，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先变形，再提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型一：因式分解中整除问题 1．（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）追本溯源 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法，并完成题（2）． (1)两个连续的奇数的平方差能被8整除吗？为什么？ (2)①若k为任意整数，则的值总能________． A．被2整除    B．被3整除    C．被5整除    D．被7整除 ②必能被10和20之间某两个整数整除，求这两个数． 【答案】(1)两个连续的奇数的平方差能被8整除，理由见解析 (2)①C；②15和17 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式、平方差公式． （1）设两个连续的奇数分别为和，m为任意整数，则两个连续的奇数的平方差为，利用完全平方公式展开，再合并同类项后得，即可得出结论； （2）①利用完全平方公式展开，再合并同类项后得，即可得出答案； ②利用平方差公式展开得，即可得出答案． 【详解】（1）解：两个连续的奇数的平方差能被8整除，理由如下： 设两个连续的奇数分别为和，m为任意整数， ， ∵m为任意整数， ∴是8的整数倍， 即两个连续的奇数的平方差能被8整除； （2）解：① ， ∵k为任意整数， ∴是整数， ∴的值总能被5整除， 故选：C； ② ， ∴这两个数是15和17． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）若是一个正整数，且除以3余2．判断是否一定能被9整除，并说明理由． 【答案】能被整除，理由见解析 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，整除，掌握完全平方公式是解题的关键． 根据题意设，代入代数式，即可得，即能被整除． 【详解】解：能被整除，理由为： 由题意设（k为正整数）， 则 ， ∴能被整除． 3．（24-25八年级下·陕西安康·期中）甲、乙两人做数字游戏，甲每次选择一个正整数，然后乙根据的值计算代数式的值． (1)填空： ①___________； ②___________． (2)求证：总能被4整除． 【答案】(1)①36，②144 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解题的关键． （1）①先计算乘方，再计算乘法即可得到答案；②先计算乘方，再计算乘法即可得到答案． （2）把原式分解因式得到，再分n是奇数和偶数两种情况进行证明即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）证明： ， ∵n为正整数， ∴当时，（k为正整数），则， ∵一定能被4整除， ∴能被4整除； 当时，则（k为正整数），则， ∵一定能被4整除， ∴能被4整除； 综上所述，能被4整除． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）当为整数时，能被4整除吗？请说明理由． 【答案】能被4整除．理由见解析 【分析】本题考查的是利用平方差公式进行简便运算，因式分解的应用，先按照平方差公式分解因式，再计算即可进行判断． 【详解】解：能被4整除．理由如下：因为， 所以当为整数时，能被4整除． 5．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知多项式能够被整除． (1)求的值． (2)若a，b，c为整数，且，试求b的值． 【答案】(1)41 (2)或 【分析】本题考查整式的乘法、因式分解、解一元一次不等式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解答的关键． （1）根据题意，设商式为，其中d为常数，则，展开后，由对应系数相等求解即可； （2）先根据题意，结合不等式的性质得到，根据d为整数得到或，再分情况求解即可． 【详解】（1）解：多项式能被整除， 设商式为，其中d为常数， 则， 展开得： ， ，，， 则； ； （2）解：由（1）知系数关系：，，， ，b，c为整数， 必须为整数， ， ， 解不等式得：， 为整数， 或， 当时， ，，，且成立； 当时， ，，，且成立； 故当时，b为或． 题型二：因式分解的应用中最值问题 1．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）阅读理解：求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下“配方法”： 因为， 所以．所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当______时，有最小值是______． (2)多项式有最______(填“大”或“小”)值，该值为______． (3)已知，求的最值． 【答案】(1)； (2)大； (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）化成完全平方公式和的形式计算即可； （3）把原式化成再利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：， ， 当时，的值最小，最小值是， ， 当时，的值最小，最小值是， 的最小值是； 故答案为：，； （2）， ， 当时，的值最大，最大值是， ， 当时，的值最大，最大值是； 故答案为：大，； （3）， ， ， ， 当时，的值最小，最小值是， ， 当时，的值最小，最小值是； 的最小值是； 2．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1990， 代数式：的最小值是1990． 例如：分解因式： 解：原式 ． 根据材料用配方法解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数______； (2)分解因式； (3)若，求的最大值； (4)当，为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 (4)当，时，有最小值，最小值为 【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质和配方法的运用，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． （1）根据完全平方公式即可求解； （2）根据例题方法，根据完全平方公式与平方差公式，因式分解，即可求解． （3）模仿题目中的方法，用配方法求最大值即可； （4）模仿题目中的方法，用配方法求最小值即可； 【详解】（1）解：∵多项式是一个完全平方式 ∴， ∴ 故答案为：． （2） （3） ∵， ∴， ∴， 当时，y的最大值为； （4） ， 当，时，原式取最小值． ∴当，时，多项式有最小值． 3．（24-25八年级上·河南新乡·期中）上数学课时，张老师在讲完因式分解 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： 当时， 的值最小，最小值是0， 当 时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当 时，代数式的最小值是 ； (2)知识运用：若 ，当时， y有最 值 （填“大”或“小”），这个值是 (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)3，3 (2)大， (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用及非负数的性质， 解题的关键是能够对二次三项式进行分解因式． （1）利用完全平方公式后即可确定最小值； （2）利用完全平方公式后即可确定当时能取到最大值； （3）首先得到有关的代数式，然后利用完全平方公式确定最小值即可． 【详解】（1）解：； 而 当时， 的值最小，最小值是0， ； ∴当时，有最小值3； （2）解：， 而， 当时， 的值最大，最大值是0， ； ∴当时有最大值； （3）解：∵， ， ， ∴当 时， 的最小值为． 4．（24-25七年级下·江苏南京·期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ， 当时，的值最小，最小值是0． ． 当时，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当___________时，代数式的最小值是___________． (2)知识运用：若，当___________时，有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________． (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)3；4 (2)1；大； (3) 【分析】本题考查因式分解的应用、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式和非负数的性质解答． （1）依据题意得，，进而根据偶次方的非负性求解即可； （2）依据题意得，，进而根据偶次方的非负性求解即可； （3）由，可得，进而，又，故，即，从而可以判断得解． 【详解】（1）． ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是4， ∴的最小值是4． 故答案为：3；4． （2）． ∵， ∴， ∴当时，的值最大，最大值是0， ∴． ∴当时，的值最大，最大值是， ∴当时，有最大值，这个值是． 故答案为：1；大；． （3）∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即． ∴当时，取最小值为． 5．（24-25八年级上·江西赣州·期末）阅读理解：我们常常把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题， 例如：， ∵，∴． (1)这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______． (2)求代数式的最小值，并写出相应的的值． (3)若，试比较、的大小，并说明理由． 【答案】(1)2； (2)当时，代数式的最小值为6 (3)，见解析 【分析】本题主要考查因式分解的应用，完全平方式，解答的关键是对完全平方式的掌握与应用． （1）由题意可得出答案； （2）根据例中的方法，求解即可； （3）求得，即可得出答案． 【详解】（1）解： ∵ ∴ ∴代数式的最小值是2，这时相应的的值是． 故答案为：2；． （2）解： ∵ ∴ ∴当时，的最小值为6． （3）解：． 理由：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 6．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）阅读理解并解答： 我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． (1)例如：①， 是非负数，即，， 则这个代数的最小值是2，这时相应的的值是， ②， 是非负数，即，， 则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是_______； (2)知识再现：当______时，代数式的最小值是______； (3)知识运用：若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______； (4)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)，3 (2)2，1 (3)1，大，3 (4) 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据可得当时，取得最小值，由此即可得； （2）利用完全平方公式可得，根据是非负数求解即可得； （3）利用完全平方公式可得，根据是非负数求解即可得； （4）先根据已知等式可得，再利用完全平方公式可得，根据是非负数求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴这个代数式的最小值是，此时， ∴这个代数式取得最小值时，相应的的值是， 故答案为：，3． （2）解： ， ∵是非负数，即， ∴， ∴当，即时，代数式取得最小值，最小值为1， 故答案为：2，1． （3）解： ， ∵是非负数，即， ∴， ∴当，即时，有最大值，最大值为3， 故答案为：1，大，3． （4）解：， ， 则 ， ∵是非负数，即， ∴， ∴的最小值为． 7．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）1.阅读理解： （1）为了求代数式的值，我们必须知道x的值． 若，则这个代数式的值为________﹔若，则这个代数式的值为_______；…… 可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，尽管如此；把一个代数式进行变形，可以解决求代数式的最大（或最小）值问题． 例如：例如： ∵ ∴ ∴当时，代数式的最小值是，此时的值为． （2）求代数式的最小值，并写出相应的x的值． （3）代数式的最大值为 ． 【答案】（1）6，11；（2）当时，代数式的最小值是5；（3）． 【分析】此题考查了因式分解的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的性质进行解答． （1）把和分别代入代数式中，再进行计算即可得出答案； （2）模仿示例，根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案； （3）模仿示例，根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入中，得：； 若，则这个代数式的值为； 故答案为：6，11； （2）， ， ∴， ∴当时，代数式的最小值是5，相应的x的值是； （3）根据题意得： ， ， ∴， ∴当时，代数式的最大值是，相应的x的值是． 题型三：因式分解解答压轴题 1．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，是“完美数”，理由：因为，所以是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成（，为整数）的形式： ； (2)若可配方成（，为常数），则 ； (3)求代数式的最小值，并求出，的值； (4)已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出一个符合条件的k的值． 【答案】(1) (2) (3)最小值是，， (4) 【分析】本题考查了因式分解的应用、新定义“完美数”概念的理解以及配方法；解题的关键是理解定义正确配方． （1）依据“完美数”的定义，变形即可得； （2）通过将配方得到m，n的值代入计算即可； （3）根据配方得到，即可求解； （4）将配方为，结合“完美数”的定义，令的值可以为0可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解： 故答案为：； （3）解： ； ∵，， 当，时，代数式的最小值为 （4）解：， ， ， ∵x，y是整数， ∴也是整数， ∵S为“完美数”， ∴的值可以为0， ∴． 2．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）数学来于生活，同样数学也服务于生活，请同学们认真阅读下面材料，并完成相应任务． 现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经密切相连，密不可分，而诸如“123456”、 生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如 多项式因式分解的结果为，当时，，，此时可以得到数字密码 2504 或 0425；如多项式，因式分解的结果为， 当 时， ， ，，此时可以得到数字密码 091112 ． 任务一：根据上述方法，当，时，将多项式分解因式后可以形成的数字密码有： （写出三个）； 任务二：一个直角三角形的两直角边分别为 x和 y，且它的周长为 12，面积为 6，斜边长为 5 ，将一个由多项式分解因式后可得到数字密码： (写一个即可)； 任务三：若多项式因式分解后，利用本题的方法，当 时可以得到一个密码 2821 ，求 m 、n 的值． 【答案】任务一：120717；121707，171207；任务二：1225或；任务三： 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，以及用“因式分解”法产生的密码的方法，要熟练掌握． 任务一：首先把分解因式，然后求出当，时，、的值各是多少，写出可以形成的三个数字密码即可． 任务二：由题意得：，求出的值是多少，再根据，求出可得的数字密码为多少即可． 任务三：首先根据密码为2821，可得：当时，，据此求出m、n的值各是多少即可． 【详解】解：任务一：， 当，时，，， 可得数字密码是120717；也可以是121707，171207． 任务二：由题意得：， 解得：， ∴， 而， ∴可得数字密码为1225或． 任务三：∵密码为2821， ∴当时， 而，， ∴， 即：， ∴， 解得． 3．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）先阅读下面的内容，再解决问题， 原题呈现：若求m和n的值． 方法介绍：看到，想：如果添上，恰好就是，这个过程叫作“配方”， 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 方法运用： (1)若，求的值． (2)已知、、是的三边长且各边不相等，其中，c是中最长的边，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，配方法的应用，求整式的值，构成三角形的条件；掌握完全平方公式，构成三角形的条件是解题的关键． （1）根据已知同理可求，求出、的值，代入计算，即可求解； （2）同理求出，，由构成三角形的条件得，即可求解； 【详解】（1）解：， ， ， ，， ，， ； （2）解：， ， ， ， ，， ，， ， ， a、b、c是的三边长且各边不相等， c是中最长的边， ． 4．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）阅读材料，解决问题： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如：分解因式． 原式 ． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解的应用，乘法公式，配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）凑出完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解； （2）利用完全平方进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解：设， 则 ． 5．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）阅读材料：若，求的值． 解：， ， ， ，， ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长都是正整数，且满足，求的最大边的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)的最大边的值为，，，或 (3) 【分析】（1）根据，应用完全平方公式得，根据平方的非负性质求出、的值再代入计算即可； （2）首先根据得，求出、的值；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出的范围，然后再确定的值即可； （3）把代入，得，可得、的值，继而得到的值，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴ 即的值为； （2）∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵的三边长都是正整数，且为最大边， ∴，， ∴， ∴的最大边的值为，，，或； （3）∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的值为． 6．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：分解因式 原式 例如：求代数式的最小值． 原式，当时，有最小值，最小值是 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______求代数式的最小值为______； (2)若，当______时，y有最______值填“大”或“小”，这个值是______； (3)当a，b，c分别为的三边长，且满足时，求的周长． 【答案】(1)； (2)1；大； (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是运用因式分解进行解答． （1）按照配方法将式子进行因式分解；用配方法将式子写成一个完全平方公式和一个常数的和，据此可得该式子有最小值． （2）将y进行因式分解，求出该式子有最大值，求出结果即可； （3）将题中式子进行因式分解，得到三个完全平方公式的和为0，根据完全平方公式的非负性，求出三条边，然后求出周长． 【详解】（1）解： ； ， ， 当时，有最小值，最小值是， 故答案为：；； （2） ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值是， 故答案为：1；大；． （3）， 即， 即， 所以，，， 所以，，， ∴， 答：的周长是． 1．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握因式分解定义是解题的关键．因式分解是把一个多项式化成几个因式乘积的形式． 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的乘积形式． 【详解】解：A选项：，左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解． B选项：，右边虽提取公因式，但结果仍为多项式（含“”），未完全转化为乘积形式，不符合因式分解． C选项：，等式不成立（展开右边为），错误变形，故排除． D选项：，左边二次三项式转化为完全平方形式，即两个相同整式的乘积，符合因式分解的定义． 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知，且，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．4048 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键．先将式子整理变形得，进而得出，即，再将展开，最后整理代入即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 整理，得， 则， 即， ∵， ∴， 即， 由，得， ∴， ∴． 故选：A． 3．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）在多项式中添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，嘉嘉和琪琪的做法如下： 嘉嘉：添加，得到； 琪琪：添加，得到． 则下列判断正确的是（   ） A．只有嘉嘉的做法正确 B．只有琪琪的做法正确 C．嘉嘉和琪琪的做法都正确 D．嘉琪和琪琪的做法都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了利用公式法因式分解，利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：添加，，故嘉嘉的做法正确； 添加，，故琪琪的做法正确， 故选：C． 4．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，有型，型，型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有1块；型为边长为2的正方形，共有2块；型是长为，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠，不留空隙），则下列操作可行的是（   ） A．用全部7块纸板 B．加上3块型纸板 C．拿掉2块型纸板 D．加上1块型纸板 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用，根据各选项，列出代数式，进行因式分解即可． 【详解】解：A、用全部7块纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； B、加上3块型纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； C、拿掉2块型纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； D、加上1块型纸板，总面积为：，即可以拼出一个长为，宽为的大长方形； 故选D． 5．（24-25八年级下·广东茂名·期末）若实数是的三边长，则的结果（    ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系定理、因式分解的应用等知识点，熟练掌握因式分解以及三角形三边关系是解题的关键． 先因式分解，然后后利用三角形三边关系进行分析即可解答． 【详解】解：∵实数是的三边长， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6．（24-25七年级下·北京石景山·期末）有4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式在图形中的应用，因式分解的应用． 先根据多项式的乘法求出，，再根据列出等式，因式分解即可． 【详解】解：由题意可知：， 正方形面积， ∴ ∵ ∴， 即， ∴ ∴或（舍去） 故选：B． 7．（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）已知任意实数满足等式，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，通过作差法可得，分解因式得到，再根据偶次方的非负性可得，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴ ∴，即， 故选：B． 8．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数，满足，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．将等式括号中的代数式配方后，利用完全平方式的非负性确定与的值，即可求出的值． 【详解】， ， 即， ，， ，， 又，且， ，， 解得，， ， ， 得， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·河南郑州·期中）把一段长的铁丝分成两段，将每一段都围成一个最大的正方形，如果这两个正方形的面积之差是，则这两个正方形的边长相差 ． 【答案】3 【分析】本题考查平方差公式的实际应用，设两段铁丝的长分别为，，，根据题意得，即，再根据这两个正方形的面积之差是得，利用平方差公式求解即可． 【详解】解：设两段铁丝的长分别为，，， 根据题意，得， ∴， ∵这两个正方形的面积之差是， ∴， ∴， ∴， ∴， 即这两个正方形的边长相差， 故答案为：3． 10．（24-25七年级下·浙江金华·期末）在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解：原式，这种方法叫做分组分解法．请你用以上方法，写出多项式因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 11．（24-25八年级下·福建宁德·期末）如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是 ． 【答案】84 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式，根据大长方形的周长和面积，得出，，再将代数式变形为，即可求解． 【详解】解：大长方形的周长为12，面积为7 ，， ，， ， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知满足，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式因式分解，代数式求值，由，，，可得，则，，，然后代入求值即可，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是运用公式法，提公因式法分解因式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，平方差公式， （1）运用完全平方公式即可解答， （2）先运用平方差公式，再提公因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（24-25八年级下·河南郑州·期末）阅读下面的材料，解答提出的问题： 已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为，由题意，得： 则 ，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为． 提出问题： (1)已知：二次三项式有一个因式是，求p的值． (2)已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式为，k的值为 【分析】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，多项式乘以多项式，正确假设出另一个因式是解题关键． (1)利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案； (2)利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案． 【详解】（1）解：(1)设另一个因式为，由题意，得： 则 ， ∴， 解得， ∴另一个因式为，p的值为6； （2）设另一个因式为，由题意，得： 则 ， ∴， 解得， ∴另一个因式为，k的值为． 15．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示： (1)因式分解：； (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解的应用，解题的关键是理解十字相乘法中 “常数项为两数之积，一次项系数为两数之和” 的核心关系，并能找出符合条件的因数对． （1）找出乘积为 15 且和为 的两个数，利用十字相乘法分解因式． （2） 列出所有乘积为 的整数对，计算每对的和，得到整数a的所有可能值． 【详解】（1）解：根据十字相乘法，需找到两个数，使其乘积为常数项15，和为一次项系数． ∵ ∴满足条件的数为和， ∴ （2）对于，由十字相乘法可知，需找到整数p、q，使，且． 乘积为的整数对有：， 对应的和分别为：， 故整数a的所有可能值为． 16．（24-25八年级下·甘肃张掖·期末）利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式：              例2：若，求M的最小值．                                 ∵               ∴当时，M的最小值是1． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 【答案】(1)； (2)，； (3)13． 【分析】本题考查因式分解，偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，可解得答案； （2）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，可解得答案； （3）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，求出a、b，再根据两边之和大于第三边的条件判断出c的最大值，可解得答案； 【详解】（1） = = = （2） = = 当 ， 时，多项式有最小值为3 （3）， 变形为 ， 整理得， 根据两边之和大于第三边的判定， 又因为c是正整数，所以 所以周长的最大值= 17．（24-25八年级下·广东深圳·期末）【阅读材料】 我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)填空： ① ② ＝ ． ③ ④． (2)将下列各式因式分解： ① ； ②． 【答案】(1)①1；②1；③9；④9 (2)①；② 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）仿照阅读材料，运用配方法（加上一次项系数一半的平方，再减去该值）将二次三项式转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式因式分解． （2）①仿照阅读材料，运用配方法给加上4再减去4，将转化为与1的差，再利用平方差公式因式分解． ②仿照阅读材料，运用配方法将转化为与4的差，再利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解：：配方法，加再减， 即， 分解得， 所以①，②， ：配方法，加再减， 即， 分解得， 所以③，④． 故答案为：①1；②1；③9；④9； （2）解：①原式=； ②原式． 1 / 84 学科网（北京）股份有限公司 $$