精品解析：北京市房山区2025-2026学年度第二学期期末考试（一）七年级数学

2025-2026学年度第二学期期末考试（一） 七年级数学 本试卷共6页，满分100分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 不等式的解集在数轴上表示如图所示，该不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，点E为上一点，，若，则的度数为（ ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 3. 下列式子从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列调查中，适合用普查方法的是（ ） A. 了解我国初中生眼睛近视情况 B. 了解我区市民“五一”出游情况 C. 了解某班学生的校服尺寸大小 D. 了解某种奶制品中蛋白质的含量 6. 如果，是关于，的方程的解，那么的值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 7. 下列命题中正确的是（ ） A. 如果两个角相等，那么这两个角一定是对顶角 B. 如果，那么 C. 如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角相等 D. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 8. 我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问木条长多少尺？设木条长为尺，绳子长为尺，依题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 已知，则的余角为___________． 10. 计算：______． 11. 写出一个以为解的二元一次方程组：______． 12. 计算：____________． 13. 某学校举行歌唱比赛，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的____________．（选填“平均数”、“众数”或“中位数”） 14. 用一组，，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是__________、__________、__________． 15. 如图，请你添加一个条件：__________，使得． 16. 已知关于的不等式的正整数解是1，2，3，则的取值范围是______． 三、解答题（共68分，第17题10分，第18-19题每题5分，第20题10分，第21-25题每题5分，第26题6分，第27题7分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程组：． 19. 解不等式组：． 20. 把下列各式分解因式： （1）； （2）． 21. 小明和小亮玩纸片拼图游戏，发现利用图1中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如，图2可以解释的等式为． （1）图3可以解释的等式为____________； （2）请你利用图1中的三种材料各若干拼出一个正方形来解释，画出你拼出的正方形示意图． 22. 已知，，求代数式的值． 23. 完成下面的证明： 已知：如图，直线，被直线，所截，． 求证：． 证明：____________（平角定义）， （已知）， ____________（同角的补角相等） （____________）． （____________）． （____________）， （等量代换）． 24. 小明与同学一行人计划乘坐次列车由北京北站出发前往八达岭长城游览，返回时计划乘坐次列车．去程购票时有10位同学选择购买二等座车票，有3位同学选择购买一等座车票，共花费370元．返程购票时有5位同学购买二等座车票，有8位同学购买一等座车票，共花费445元．已知去程与返程的同等席位车票价格相同． （1）根据以上信息，求出二等座车票与一等座车票的价格； （2）现有10位同学也计划乘坐次列车前往八达岭长城游览，且他们购买去程车票的费用不超过290元，则他们最多购买一等座车票多少张？ 25. 为了解学生的体质健康情况，某学校对初中各年级学生进行体质健康测试．从七年级和九年级各随机抽取名学生的测试成绩进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．七年级成绩按照如下分数段整理描述这组样本数据： 成绩 人数 ．七年级成绩在这一组的是： ，，，，，，，，，，， ．七年级、九年级成绩的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 七年级 九年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为__________； （2）分别对本次抽取的学生成绩进行等级赋分，不少于分就可以赋予“优秀”等级，七年级赋予“优秀”等级的学生人数为，九年级赋予“优秀”等级的学生人数为，判断，大小，并说明理由． 26. 如图，点在的边上，点，在边上．连接，，过点作交于点，点是线段上任意一点（不与，重合），过点作交线段于点． （1）补全图形； （2）用等式表示与的数量关系，并证明． 27. 定义一种新运算“”：当时，；当时，；当时，．例如：． （1）直接写出__________； （2）若，求的值； （3）若关于的方程的解为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末考试（一） 七年级数学 本试卷共6页，满分100分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 不等式的解集在数轴上表示如图所示，该不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：数轴上的折线从4开始向右延伸，且在4处是实心圆点， 则该不等式的解集为：． 2. 如图，，点E为上一点，，若，则的度数为（ ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求得的度数，再根据两直线平行，内错角相等得出的度数，即可得出答案． 【详解】解：∵，且，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，熟知两直线平行，内错角相等是解本题的关键． 3. 下列式子从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式转化为几个整式乘积的形式的变形叫做因式分解，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A中，是整式乘法运算，不是因式分解，不符合题意； 选项B中，，把多项式变形为几个整式乘积的形式，符合因式分解的定义，符合题意； 选项C中，，等式右边不是几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； 选项D中，，等式左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解的要求，不符合题意． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用合并同类项，积的乘方，单项式乘单项式，单项式除以单项式的法则，逐一计算判断即可． 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C正确； 选项D：，D错误． 5. 下列调查中，适合用普查方法的是（ ） A. 了解我国初中生眼睛近视情况 B. 了解我区市民“五一”出游情况 C. 了解某班学生的校服尺寸大小 D. 了解某种奶制品中蛋白质的含量 【答案】C 【解析】 【分析】本题需根据普查的适用条件判断选项，普查适用于调查范围小，要求结果准确，无破坏性的调查，范围过大或具有破坏性的调查适合抽样调查． 【详解】A、我国初中生总体数量大，范围广，适合抽样调查，不符合题意； B、我区市民总体数量多，调查范围大，适合抽样调查，不符合题意； C、一个班级的学生数量少，且需要准确得到每位学生的校服尺寸，适合普查，符合题意； D、检测奶制品蛋白质含量会破坏样本，具有破坏性，适合抽样调查，不符合题意． 6. 如果，是关于，的方程的解，那么的值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】已知解代入原方程，解一元一次方程即可得到的值． 【详解】∵是关于，的方程的解， ∴将，代入方程得 ， 解得 ． 7. 下列命题中正确的是（ ） A. 如果两个角相等，那么这两个角一定是对顶角 B. 如果，那么 C. 如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角相等 D. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】D 【解析】 【分析】结合对顶角概念，绝对值性质，平行线性质和平行公理推论，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ 相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的两个底角相等但不是对顶角，∴ A选项错误； ∵ 若，则或，例如，但，∴ B选项错误； ∵ 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，不一定相等，∴ C选项错误； ∵ 根据平行公理的推论，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，∴ D选项正确． 8. 我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问木条长多少尺？设木条长为尺，绳子长为尺，依题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题抽象出二元一次方程组，只需根据题意找出两个等量关系，分别列出方程组成方程组即可得到答案． 【详解】∵用绳子量木条时绳子剩余尺，可得绳子长度等于木条长度加上剩余绳子长度， ∴， ∵绳子对折后量木条，木条剩余1尺，可得对折后的绳子长度等于木条长度减去木条剩余长度，对折后绳子长度为， ∴， ∴可列方程组为． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 已知，则的余角为___________． 【答案】50 【解析】 【分析】本题主要考查了余角的定义，掌握余角的定义是做题的关键．如果两个角的和等于，就说这两个角互为余角，据此即可解答． 【详解】解：由题意得，的余角为． 故答案为：50． 10. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据多项式除以单项式的运算法则进行计算． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的运算，掌握多项式除以单项式的运算法则是解题关键． 11. 写出一个以为解的二元一次方程组：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据加减消元法解二元一次方程组，所有满足条件的都可以． 【详解】解：以为解的二元一次方程组为， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了用加减消元解二元一次方程组，掌握加减消元法是关键． 12. 计算：____________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 13. 某学校举行歌唱比赛，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的____________．（选填“平均数”、“众数”或“中位数”） 【答案】中位数 【解析】 【分析】小明需要判断自己的成绩是否在前名，由于名同学成绩各不相同，排序后中位数是第名的成绩，对比自己成绩与中位数即可作出判断． 【详解】解：共有11名参赛同学，成绩各不相同，将成绩按大小排序后，中位数为第名的成绩； 若小明的成绩高于中位数，则成绩在前名，可进入决赛；若小明的成绩低于中位数，则成绩不在前名，不能进入决赛， 平均数反映数据的平均水平，众数是数据中出现次数最多的数，二者都无法直接提供排名信息， 因此，小明需要知道中位数． 14. 用一组，，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是__________、__________、__________． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） ③. （答案不唯一） 【解析】 【分析】只需举出反例说明命题错误即可，根据不等式的性质，当为非正数时，满足，但无法得到，即可完成举例． 【详解】解：当，，时，可得，即，不满足，因此可以说明“如果，那么”是假命题． 15. 如图，请你添加一个条件：__________，使得． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据平行线的判定方法进行解答即可． 【详解】解：添加条件，根据内错角相等，两直线平行，可以判断； 添加条件，根据同旁内角互补，两直线平行，可以判断； 添加条件，根据同旁内角互补，两直线平行，可以判断． 16. 已知关于的不等式的正整数解是1，2，3，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】解关于x的不等式，再根据正整数解得情况列出关于m的不等式求解即可； 【详解】∵， ∴移项得：， ， ， ∵不等式正整数解是1，2，3， ∴， ∴； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，准确计算是解题的关键． 三、解答题（共68分，第17题10分，第18-19题每题5分，第20题10分，第21-25题每题5分，第26题6分，第27题7分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 19. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 20. 把下列各式分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 小明和小亮玩纸片拼图游戏，发现利用图1中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如，图2可以解释的等式为． （1）图3可以解释的等式为____________； （2）请你利用图1中的三种材料各若干拼出一个正方形来解释，画出你拼出的正方形示意图． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用不同的方法表示图3的面积，即可得出等式； （2）将边长为a的正方形1张，长为b，宽为a的长方形纸片2张，和边长为b的正方形纸片1张，拼成边长为的正方形即可． 【小问1详解】 解：图3的面积可表示为：，也可以表示为：， 则 【小问2详解】 解：，将边长为a的正方形1张，长为b，宽为a的长方形纸片2张，和边长为b的正方形纸片1张，拼成边长为的正方形即可， 22. 已知，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【详解】解： ， 把，代入得： 原式． 23. 完成下面的证明： 已知：如图，直线，被直线，所截，． 求证：． 证明：____________（平角定义）， （已知）， ____________（同角的补角相等） （____________）． （____________）． （____________）， （等量代换）． 【答案】；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；对顶角相等 【解析】 【分析】根据平行线的性质以及判定即可求解． 【详解】略 24. 小明与同学一行人计划乘坐次列车由北京北站出发前往八达岭长城游览，返回时计划乘坐次列车．去程购票时有10位同学选择购买二等座车票，有3位同学选择购买一等座车票，共花费370元．返程购票时有5位同学购买二等座车票，有8位同学购买一等座车票，共花费445元．已知去程与返程的同等席位车票价格相同． （1）根据以上信息，求出二等座车票与一等座车票的价格； （2）现有10位同学也计划乘坐次列车前往八达岭长城游览，且他们购买去程车票的费用不超过290元，则他们最多购买一等座车票多少张？ 【答案】（1）二等座车票每张25元，一等座车票每张40元 （2）最多购买一等座车票2张 【解析】 【分析】（1）设二等座车票每张x元，一等座车票每张y元，根据去程购票时有10位同学选择购买二等座车票，有3位同学选择购买一等座车票，共花费370元．返程购票时有5位同学购买二等座车票，有8位同学购买一等座车票，共花费445元，列出方程组，解方程组即可； （2）设买一等座车票m张，则买二等车座票张，根据他们购买去程车票的费用不超过290元，列出不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设二等座车票每张x元，一等座车票每张y元，根据题意得： ， 答：二等座车票每张25元，一等座车票每张40元； 【小问2详解】 解：设买一等座车票m张，则买二等座车票张，根据题意得： ， 解得：， ∵m取整数， ∴m的最大值为2， 即最多购买一等座车票2张． 25. 为了解学生的体质健康情况，某学校对初中各年级学生进行体质健康测试．从七年级和九年级各随机抽取名学生的测试成绩进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．七年级成绩按照如下分数段整理描述这组样本数据： 成绩 人数 ．七年级成绩在这一组的是： ，，，，，，，，，，， ．七年级、九年级成绩的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 七年级 九年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为__________； （2）分别对本次抽取的学生成绩进行等级赋分，不少于分就可以赋予“优秀”等级，七年级赋予“优秀”等级的学生人数为，九年级赋予“优秀”等级的学生人数为，判断，大小，并说明理由． 【答案】（1）； （2）．七年级赋予优秀等级的人数，九年级共抽取个成绩，中位数为，∴九年级成绩从小到大排列后，第个和第个成绩的平均数为，∴第个及以后的成绩均不小于，即九年级赋予优秀等级的人数，∵，∴． 【解析】 【分析】根据中位数的定义确定中位数的位置，结合已知数据计算得到； 先计算出七年级优秀人数，再根据九年级中位数的意义得到九年级优秀人数的范围，即可比较大小． 【小问1详解】 解：由于本次共抽取名七年级学生的成绩，将成绩从小到大排列后，中位数是第个和第个数据的平均数， 又前两个分数段的总人数为，因此第个和第个数据都在这一组， 因此结合该组给出的数据可得，第个数据为，第个数据为， 所以， 故答案为：； 【小问2详解】 略 26. 如图，点在的边上，点，在边上．连接，，过点作交于点，点是线段上任意一点（不与，重合），过点作交线段于点． （1）补全图形； （2）用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） 证明：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）过点B作平行于的直线，与的交点标记为E；再在上取不与B、C重合的点D，过D作平行于的直线，与的交点标记为F即可； （2）依据平行线的性质，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 定义一种新运算“”：当时，；当时，；当时，．例如：． （1）直接写出__________； （2）若，求的值； （3）若关于的方程的解为，求的值． 【答案】（1） （2） 或 （3） 【解析】 【分析】（1）对于新运算类问题，首先判断参与运算的两个数的大小关系，再选择对应的运算规则计算； （2）解含新运算的方程时，分、、三种情况，分别代入对应运算规则列一元一次方程求解，再验证解是否符合对应取值范围； （3）先将代入，先判断和的大小关系，再选择对应运算规则列关于的方程，求解后验证是否满足大小关系条件； 【小问1详解】 根据新定义运算可知， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：①当时，， ∴， 解得，符合题意； ②当时，， 代入右边得，等式成立， ∴符合题意； ③当时，， ∴， 解得， ∵， 故不符合题意，舍去； 综上，的值为或． 【小问3详解】 解：∵方程的解为， ①当时，即， ∴， 整理得， 解得， 当时，满足， 当时，不满足， ∴； ②当时，即， 若，代入成立， 若，则两边同时除以，得， 解得， ∴或， ∴， 代入得， 将代入方程，得，不成立， 将代入方程，得，不成立； ③当时，即， ∴， ∴， ∴， 解得， 当时，不满足，故舍去； 综上，的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $