精品解析：北京市平谷区2025—2026学年度第二学期期末考试样卷 初一数学

2025-2026学年度第二学期期末考试样卷 初一数学 注意事项： 1．本样卷共三大题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在样卷上作答无效；自主命题部分题答案写在自主命题试卷上． 4．在答题卡上，选择题、作图题用铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将答题卡交回． 一、选择题（共16分，每题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意． 1. 已知，下列不等式中，成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 年，天文学家利用韦伯望远镜在系外行星的大气中精确测量了二氧化碳的浓度．分析显示，其中某种微量气体的体积浓度仅为，将该数字改写成小数形式并用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若是关于的二元一次方程的一个解，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4 4. 下列采用的调查方式中，不合适的是（ ） A. 为了了解某条河的水质，采取抽样调查 B. 为了了解某市七年级学生睡眠时间，采取抽样调查 C. 为了了解一批灯泡的使用寿命，采取全面调查 D. 为了了解某班同学的视力情况，采取全面调查 5. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图， ，点，在直线上，点在直线上，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第个图案中的“”的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 计算：________． 10. “与3的和是非负数”用不等式表示为__________． 11. 已知，如果用关于的代数式表示，那么___________． 12. 利用如图中图形面积关系，写出一个正确的等式：________． 13. 用一组，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是________，________． 14. 已知关于x，y的二元一次方程组，则的值是________． 15. 已知：如图，将三角形沿一把损坏的直尺平移得到三角形，下列结论正确的有________． ①； ②点E对应的刻度为5； ③平移的距离为6； ④连接，的长为8． 16. 某家纺公司生产四种针织产品，每种产品货源充足，各产品重量及价格如表： 产品 重量（千克） 价格（元） 在某次展销活动中，根据客户需求，现在想将部分产品做成套装礼盒销售，每个礼盒总重量不超过千克． （1）若每个礼盒中只装同一种产品，则一个礼盒的总价值最高是________元； （2）若每个礼盒中同一种产品最多装件，则一个礼盒的总价值最高是________元． 三、解答题（共68分，第17-22题每题5分；第23-24题每题7分；第25-27题每题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解不等式组： 18. 解方程组： 19. 分解因式：． 20. 计算：． 21. 化简求值：已知，求的值． 22. 已知：如图，，，求证：． 23. 定义：若一个整数能表示成（，是非负整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”； （1）在6，26，99中，是“完美数”的是________； （2）已知（是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值________； （3）如果数，都是“完美数”，求证：也是“完美数”． 24. 某学校组织传统文化知识竞赛，随机抽取了七、八年级各20人的成绩，对数据进行整理、描述和分析下面给出了部分信息： a．七年级20名学生的数据： 64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． b．八年级20名学生的成绩数据的扇形统计图（评分分数用表示，分为4组： A：， B：， C：， D：． c．八年级所抽取的成绩数据中C组包含的所有数据： 84，86，87，87，87，88，90，90． d．七八年级所抽取的成绩数据统计表： 平均数 中位数 众数 七年级 86 八年级 86 87 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中________，________； （2）扇形统计图中，D组对应的圆心角是________； （3）现在要从两个年级中挑选出一个年级参加传统文化节的展示，规定两个年级所抽取的20人中平均分高的年级优先，如果平均分一样，就看两组数据中高于平均分的人数多的年级入选，则入选的年级为________年级；（填“七”或“八”） （4）在此次竞赛中，七年级有200人参加，八年级有300人参加，请通过计算，估计其中成绩为85分以上（含85分）的总人数． 25. 某科技公司生产、两款智能机器人，已知生产台款智能机器人与台款智能机器人共需要万元，生产台款智能机器人与台款智能机器人共需要万元． （1）生产每台A款和每台B款智能机器人各需要多少万元？ （2）现计划用不超过万元的资金生产、两款智能机器人共台，最多可以生产A款智能机器人多少台？ 26. 已知：如图，，点E是位于直线与直线内部一点，点F是上一点，连接，作的平分线与交于点G． （1）判断与的数量关系，并证明； （2）过点E作射线与直线交于点H，依题意补全图形，若，求的度数．（用含的式子表示） 27. 给出如下定义：如果一个一元一次方程的解满足某个一元一次不等式（组），那么就称该方程是该不等式（组）的“伴随方程”． 例如：已知方程和不等式，该方程的解为，当时，成立，则称方程是不等式的“伴随方程”． （1）已知方程，该方程是以下不等式（组） ①，②，③中________的“伴随方程”；（填序号） （2）如果关于的方程是不等式组的“伴随方程”，的取值范围是________； （3）如果方程与方程都是关于的不等式组的“伴随方程”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末考试样卷 初一数学 注意事项： 1．本样卷共三大题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在样卷上作答无效；自主命题部分题答案写在自主命题试卷上． 4．在答题卡上，选择题、作图题用铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将答题卡交回． 一、选择题（共16分，每题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意． 1. 已知，下列不等式中，成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质，逐一判断即可． 【详解】解：A．，，故本选项不符合题意； B．，，故本选项不符合题意； C．，，故本选项符合题意； D．，，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 年，天文学家利用韦伯望远镜在系外行星的大气中精确测量了二氧化碳的浓度．分析显示，其中某种微量气体的体积浓度仅为，将该数字改写成小数形式并用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将百分数转化为普通小数，再根据科学记数法的形式为，其中，为负整数，进行表示即可． 【详解】解：首先把百分数化为普通小数：， ． 3. 若是关于的二元一次方程的一个解，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 直接把代入到方程中求出的值即可． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程的一个解， ∴把代入到方程中，得，解得． 4. 下列采用的调查方式中，不合适的是（ ） A. 为了了解某条河的水质，采取抽样调查 B. 为了了解某市七年级学生睡眠时间，采取抽样调查 C. 为了了解一批灯泡的使用寿命，采取全面调查 D. 为了了解某班同学的视力情况，采取全面调查 【答案】C 【解析】 【分析】根据调查是否具有破坏性，调查范围的大小，判断全面调查和抽样调查的适用场景，选出不合适的调查方式即可． 【详解】解：A． 调查某条河的水质，范围较大，适合抽样调查，调查方式合适． B． 调查某市七年级学生睡眠时间，总体数量多，适合抽样调查，调查方式合适． C． 测试一批灯泡的使用寿命具有破坏性，无法对所有灯泡进行全面调查，应当采用抽样调查，因此选择全面调查的方式不合适． D． 调查某班同学的视力情况，总体数量少，适合全面调查，调查方式合适． 5. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：对选项A，，该项错误； 对选项B，对提取公因式，得，左右两边相等，该项正确； 对选项C，，该项错误； 对选项D，，无法分解，该项错误． 6. 如图， ，点，在直线上，点在直线上，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质．根据“两直线平行，内错角相等”与平角为进行解题即可． 【详解】解：， ， 又 ∴， ， 故选：D． 7. 已知，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算性质，利用同底数幂乘法法则和幂的乘方法则对所求式子变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】根据幂的运算法则对原式变形： ∵ ， 已知 ，， ∴ 代入得原式 ． 8. 观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第个图案中的“”的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从所给的图形中总结出存在的规律，得出第个图案中六边形个数，即可求解． 【详解】解：∵第个图案中六边形的个数为， 第个图案中六边形的个数为， 第个图案中六边形的个数为， ……， ∴第个图案中六边形的个数为； 当时，六边形的个数为． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】运用单项式除法的运算法则，分别对系数和同底数幂进行计算即可得到结果． 【详解】解： ． 10. “与3的和是非负数”用不等式表示为__________． 【答案】x+3≥0 【解析】 【分析】直接利用非负数的定义得出不等关系． 【详解】解：由题意可得：x+3≥0． 故答案为：x+3≥0． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等关系是解题关键． 11. 已知，如果用关于的代数式表示，那么___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了代入消元法． 【详解】解：∵， ∴． 12. 利用如图中图形面积关系，写出一个正确的等式：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据大正方形的面积等于四个长方形的面积加上中间小正方形的面积，列出等式即可． 【详解】解：由图可知，大正方形的边长为，面积为． 四个长方形的长为，宽为，面积之和为． 中间小正方形的边长为，面积为． 大正方形的面积四个长方形的面积中间小正方形的面积． ． 13. 用一组，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】要说明该命题是假命题，只需举出满足条件，但不满足结论的反例即可. 【详解】解：当，时，满足， 计算得，， ∵， ∴， 不满足，因此可以说明命题“如果，那么”是假命题． 故，时，命题“如果，那么”是假命题．（答案不唯一） 14. 已知关于x，y的二元一次方程组，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】观察方程组两个方程，的系数均为2，可先两式相减消去求出，再代入任意方程求出，最后计算． 【详解】解：， ②①得： ， ， ， 解得：， 把代入①： ， ， ， 解得：， ． 15. 已知：如图，将三角形沿一把损坏的直尺平移得到三角形，下列结论正确的有________． ①； ②点E对应的刻度为5； ③平移的距离为6； ④连接，的长为8． 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据平移的性质：平移前后图形的形状和大小不变，对应线段平行且相等，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等，平移距离等于对应点之间的距离．结合直尺上的刻度，分别判断平移距离、点E的平移刻度及线段的长度，进而得到结论． 【详解】由平移的性质可知，平移得到，则对应线段平行且相等，对应点连线长度等于平移距离． 对于①，与是对应线段，根据平移性质，对应线段平行， 所以，故①正确． 对于②，点与点在直尺上，点对应的刻度为14，点对应的刻度为20， 所以． 因为平移， 所以．点对应的刻度为12，且点在点的左侧， 所以点对应的刻度为，故②错误． 对于③，点与点是对应点，点对应的刻度为20，点对应的刻度为12， 所以平移的距离为，故③错误． 对于④，点与点是对应点，根据平移性质，对应点连线的长度等于平移距离， 所以的长为，故④正确． 综上所述，正确的结论有①④． 16. 某家纺公司生产四种针织产品，每种产品货源充足，各产品重量及价格如表： 产品 重量（千克） 价格（元） 在某次展销活动中，根据客户需求，现在想将部分产品做成套装礼盒销售，每个礼盒总重量不超过千克． （1）若每个礼盒中只装同一种产品，则一个礼盒的总价值最高是________元； （2）若每个礼盒中同一种产品最多装件，则一个礼盒的总价值最高是________元． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）分别计算只装同一种产品时，每个礼盒最多可装的包数，计算对应总价值，比较得到最大值； （2）根据每种产品最多装2件的限制，列举所有符合总重量要求的组合，计算总价值后比较得到最大值． 【详解】解：（1）分别计算每种产品的总价值： 产品A：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品B：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品C：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品D：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 比较得，一个礼盒的总价值最高是元； （2）计算单位重量价值（优先选单价高的）： 、（元）， 、（元）， 、（元）， 、（元）， ∵， 即按照单位重量价值从大到小排序为：， 故优先级为． 按照每种最多件：最多件（），最多件（），最多件（），最多件（）， 先装满优先级高的产品，再用剩余重量搭配次优产品： ①件：，价值（元）， 件：，价值（元）， 已用重量：，剩余重量：， 剩余恰好装件，且只装件，符合限制条件， 此时件件件，总重量：（千克），总价值：（元）； ②件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ③件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ④件件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ⑤件件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； 其余符合重量限制的组合总价均低于元，因此最高总价值是元． 三、解答题（共68分，第17-22题每题5分；第23-24题每题7分；第25-27题每题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到原不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得， 故原不等式组的解集为． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【详解】解： 由①得 ． 把③代入②得， 解得 ． 把 代入③得 ． 因此原方程组的解为． 19. 分解因式：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法法则，先分别计算每一项，再合并同类项即可得到结果． 【详解】解： ． 21. 化简求值：已知，求的值． 【答案】 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 22. 已知：如图，，，求证：． 【答案】 证明：， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，牢记判定定理是解题的关键．由平行线的性质可得，再进行等量代换，利用平行线的判定即可证明． 【详解】略 23. 定义：若一个整数能表示成（，是非负整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”； （1）在6，26，99中，是“完美数”的是________； （2）已知（是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值________； （3）如果数，都是“完美数”，求证：也是“完美数”． 【答案】（1） （2）（答案不唯一） （3）证明：，都是“完美数”， 可设，，其中，，，都是非负整数． 对式子变形配方： 整理得． ， ，，，都是非负整数， ，都是整数，平方后均为非负整数． 可以表示为两个非负整数的平方和． 也是“完美数”． 【解析】 【分析】（1）根据定义，逐一验证三个数能否表示为两个非负整数的平方和，即可得到结果． （2）对M进行配方，将其整理为一个完全平方式加常数的形式，只需使常数项为非负整数的平方，即可得到符合条件的k． （3）先将m，n分别表示为两个非负整数的平方和，展开后配方，将整理为两个非负整数的平方和，即可完成证明． 【小问1详解】 解： 对三个数逐一验证： 6无法写成两个非负整数的平方和，不是“完美数”； ，符合“完美数”的定义，是“完美数”． 99无法写成两个非负整数的平方和，不是“完美数”． 【小问2详解】 对配方得： ． 由平方性质可得：，为整数，则必然是非负整数， 根据“完美数”定义，只需是一个非负整数的平方即可． 取，得， 此时，符合要求， 因此是一个符合条件的值，答案不唯一． 【小问3详解】 略 24. 某学校组织传统文化知识竞赛，随机抽取了七、八年级各20人的成绩，对数据进行整理、描述和分析下面给出了部分信息： a．七年级20名学生的数据： 64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． b．八年级20名学生的成绩数据的扇形统计图（评分分数用表示，分为4组： A：， B：， C：， D：． c．八年级所抽取的成绩数据中C组包含的所有数据： 84，86，87，87，87，88，90，90． d．七八年级所抽取的成绩数据统计表： 平均数 中位数 众数 七年级 86 八年级 86 87 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中________，________； （2）扇形统计图中，D组对应的圆心角是________； （3）现在要从两个年级中挑选出一个年级参加传统文化节的展示，规定两个年级所抽取的20人中平均分高的年级优先，如果平均分一样，就看两组数据中高于平均分的人数多的年级入选，则入选的年级为________年级；（填“七”或“八”） （4）在此次竞赛中，七年级有200人参加，八年级有300人参加，请通过计算，估计其中成绩为85分以上（含85分）的总人数． 【答案】（1） （2） （3）八 （4）305人 【解析】 【分析】（1）根据众数定义确定七年级成绩众数；根据中位数定义，结合八年级各组人数，找到排序后第10、11个数据，计算平均数得到中位数． （2）求出D组人数及所占百分比，用百分比乘 即可得到对应圆心角度数． （3）两年级平均分一致，通过对比高于平均分的人数，人数更多的年级更优秀、予以入选，即可解答． （4）利用样本中高分人数占比，分别估算七、八年级高分总人数，相加得到总体高分人数即可． 【小问1详解】 解：∵七年级20个数据中，85出现的次数最多（共4次）， ∴七年级成绩的众数， ∵A组人数：，B组人数：， 第9至16个数据为C组数据，将C组数据从小到大排列：84，86，87，87，87，88，90，90， ∴第10个数据为86，第11个数据为87， ∴八年级成绩的中位数， 【小问2详解】 解：D组人数：， D组人数占总人数的比例：， ∴D组对应的圆心角， 【小问3详解】 解：两个年级的平均分均为86，比较高于平均分的人数： 七年级：高于86分的有89、90、90、94、95、98、98、99、100，共9人； 八年级：C组中高于86分的有6人，D组4人均高于86分，共人． ∵， ∴入选的年级为八年级． 【小问4详解】 解：七年级20人中，85分及以上共14人， 估计七年级200人中85分及以上人数： （人） 八年级20人中，85分及以上共人， 估计八年级300人中85分及以上人数： （人）， ∴成绩为85分以上（含85分）的总人数为（人）． 25. 某科技公司生产、两款智能机器人，已知生产台款智能机器人与台款智能机器人共需要万元，生产台款智能机器人与台款智能机器人共需要万元． （1）生产每台A款和每台B款智能机器人各需要多少万元？ （2）现计划用不超过万元的资金生产、两款智能机器人共台，最多可以生产A款智能机器人多少台？ 【答案】（1）生产每台款智能机器人需要万元，生产每台款智能机器人需要万元 （2）最多可以生产款智能机器人台 【解析】 【分析】（1）根据题干给出的两个总生产费用条件，设未知数列二元一次方程组，求解得到两款机器人的单台生产成本； （2）设款机器人的生产数量，根据总资金不超过万元的限制，列一元一次不等式，结合生产台数为正整数，得到款机器人的最大生产数量． 【小问1详解】 解：设生产每台款智能机器人需要万元，生产每台款智能机器人需要万元， 由题意得：， 解得， 故生产每台款智能机器人需要万元，生产每台款智能机器人需要万元． 【小问2详解】 解：设生产款智能机器人台，则生产款智能机器人台， 由题意得：， 化简得， 解得， 因为为正整数，所以的最大值为， 故最多可以生产款智能机器人台． 26. 已知：如图，，点E是位于直线与直线内部一点，点F是上一点，连接，作的平分线与交于点G． （1）判断与的数量关系，并证明； （2）过点E作射线与直线交于点H，依题意补全图形，若，求的度数．（用含的式子表示） 【答案】（1）证明：，理由如下： ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质，角平分线的定义进行求解即可； （2）过点E作，得到，推导出，得到，继而推导出，，得到，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 27. 给出如下定义：如果一个一元一次方程的解满足某个一元一次不等式（组），那么就称该方程是该不等式（组）的“伴随方程”． 例如：已知方程和不等式，该方程的解为，当时，成立，则称方程是不等式的“伴随方程”． （1）已知方程，该方程是以下不等式（组） ①，②，③中________的“伴随方程”；（填序号） （2）如果关于的方程是不等式组的“伴随方程”，的取值范围是________； （3）如果方程与方程都是关于的不等式组的“伴随方程”，求的取值范围． 【答案】（1）②③ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求解方程得到解，再仿照题目示例，把分别代入三个不等式及不等式组逐一检验，判断该解是否满足对应式子，以此确定哪些式子匹配伴随方程的定义，得出对应序号． （2）先解关于x的方程，用含a的式子表示方程的解，再求解给出的不等式组得到解集，依据伴随方程的定义，让方程的解落在不等式组解集之内，列出关于a的不等式，化简求出a的取值范围． （3）先求出两个一元一次方程的解，再解含参数m的不等式组，写出该不等式组的解集，根据两个解都是不等式组的伴随方程，说明两个解都要在不等式组解集区间内，据此列出关于m的不等式组，求解后取公共部分得到m的取值范围． 【小问1详解】 解：， 移项得， 解得， ①对于不等式： 将代入左边，，不成立， 所以方程不是不等式①的“伴随方程”． ②对于不等式： 将代入左边，，成立， 所以方程是不等式②的“伴随方程”． ③对于不等式组： 把分别代入两个不等式， 成立，成立， 即满足该不等式组， 所以方程是不等式组③的“伴随方程”． 【小问2详解】 解：， 解得， 解不等式， 两边同乘：， 解得， 解不等式， 去括号：， 整理：， 解得， 所以不等式组的解集为， 根据“伴随方程”定义，满足， 即， 不等式两边同时乘，得． 【小问3详解】 解：，解得． 解方程， 两边同乘：，解得， 解不等式，得， 解不等式，得， 则不等式组解集为， 由题意、都在解集范围内，因此列出不等式组： 解： ， ， ， 解，得， 取两个解集公共部分，得 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $