精品解析：河南省南阳市南召县2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

2026年春期七年级期终巩固练习数学 一、选择题（每小题3分；共30分） 1. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 2. 把一元一次方程 去分母，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，数轴上的点与点所表示的数分别为，，则下列不等式成立的是（） A. B. C. D. 4. 若正多边形内角和是，则该正多边形的每个外角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉（ ）条木条? A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 6. 今年，东东的年龄是爷爷年龄的 ．东东发现，12年后，他的年龄将变成爷爷年龄的 ．则东东今年的年龄是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 20 7. 如图是滨河公园里的一小段甬路，该路段是用型号相同的五边形地砖拼铺而成．如果每个五边形有三个内角相等，那么这三个内角都等于（ ） A. 120° B. 108° C. 90° D. 60° 8. 关于x，y的方程组的解满足，则a的值为（ ） A. B. 4 C. 6 D. 9. 如图1，用一条足够长的长方形纸条，打一个结，然后轻轻拉紧，压平就可以得到如图2所示的正五边形是上的一点，连接，已知，则的度数是（　　） A. B. C. D. 10. 已知关于x的不等式组的解集中至少有6个整数解，则整数a的最小值为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每小题3分；共15分） 11. 不等式 解集是_______________． 12. 已知三角形的三边长分别为4，6，a．则a的长可能是_______．（写出一个即可） 13. 如图，已知，若，则的长是______________． 14. 如图， ___________． 15. 在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则___________． 三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10=75分） 16. 计算： （1）解方程组：； （2）解不等式组：． 17. 已知，如图所示，是的角平分线，是的高，且，． （1）求的度数； （2）求的度数． 18. 如图所示，已知，顺时针旋转后与重合． （1）旋转中心是哪一点? ； （2）旋转了多少度? ； （3）线段与线段有什么位置关系?请说明． 19. 如图，在中，． （1）尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若与的周长差为7．若，则的长为 ． 20. 仔细阅读下面的材料，并解答相应的问题． 整体代入法解方程组 在解方程组时，若方程组中未知数的系数关系比较复杂，直接代入会使计算繁琐，这时可以通过对方程进行变形，找到合适的整体间接代入． 例如：解方程组： 解：将方程②变形为，③ 把方程①代入方程③，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为 （1）仿照上述方法解方程组： （2）已知x，y，z满足方程组，直接写出z的值． 21. 如图1，图2，图3的网格均由边长为1的小正方形组成，图1是三国时期吴国的数学家赵爽所绘制的“弦图”，它由四个形状、大小完全相同的直角三角形组成，赵爽利用这个“弦图”对勾股定理作出了证明，是中国古代数学的一项重要成就，请根据下列要求解答问题． （1）图1中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是　 　对称图形（填“轴”或“中心”）． （2）请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在图2，3的方格纸中设计另外两个不同的图案，画图要求： ①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠，不必涂阴影； ②图2中所设计的图案（不含方格纸）必须是轴对称图形而不是中心对称图形；图3中所设计的图案（不含方格纸）必须既是轴对称图形，又是中心对称图形． 22. 根据素材求解下列任务． 采购方案制定 素材一 随着夏季的来临，电风扇成为热销品．某电器超市销售A、B两种型号的电风扇，A型号每台进价为元，B型号每台进价为元； 素材二 以下是近两天的销售情况：第一天A种型号销售3台，B种型号销售5台；第二天A种型号销售4台，B种型号销售10台； 素材三 销售收入：第一天收入元，第二天收入元． （进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本） 问题解决： （1）任务一：求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）任务二：若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）任务三：在任务二的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润不少于元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 23. 【教材呈现】以下是华师版数学七下第92页的部分内容． 如图，在中，．，平分，平分，求的度数． 解：平分（已知）， ， 同理可得___________． （___________）， （等式的性质）___________． （1）对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（填数学理由或数学式）． （2）【拓展延伸】如图1，在中，的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； （3）如图2，在中，角平分线交于点，，交边于点，点在的延长线上，作的平分线交的延长线于点．若，则_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期七年级期终巩固练习数学 一、选择题（每小题3分；共30分） 1. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，通过步骤“移项、合并同类项、系数化为”即可求解．解题的关键是掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为． 【详解】解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， ∴方程的解是． 故选：B． 2. 把一元一次方程 去分母，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：原方程为 ， ∵方程分母为和，最小公倍数是， ∴给方程两边每一项同时乘以去分母，得， ， 化简得 . 3. 如图，数轴上的点与点所表示的数分别为，，则下列不等式成立的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴上点的大小比较以及不等式的基本性质．根据数轴上右边的数总比左边的大，得出a<b，再利用不等式的性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：由数轴可知，点在点的左侧，． A．，，故该选项不成立； B．，，故该选项成立； C．，，故该选项不成立； D．，，故该选项不成立． 故选B． 4. 若正多边形内角和是，则该正多边形的每个外角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据多边形内角和公式求出正多边形的边数，再利用多边形外角和为计算每个外角的度数即可． 【详解】解：设该正多边形的边数为，根据题意，得 ，解得， ∴该正多边形为正八边形， ∴每个外角的度数为， 答：该正多边形的每个外角的度数是． 5. 如图，要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉（ ）条木条? A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条． 【详解】解：过六边形的一个顶点作对角线，有条对角线， ∴至少要钉上3根木条． 6. 今年，东东的年龄是爷爷年龄的 ．东东发现，12年后，他的年龄将变成爷爷年龄的 ．则东东今年的年龄是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】设东东今年年龄为未知数，根据年龄倍数关系表示出爷爷今年年龄，再结合12年后的年龄倍数关系列方程求解． 【详解】解：设东东今年的年龄是岁， 根据题意，得：， 解得 ， 答：东东今年的年龄是9岁． 7. 如图是滨河公园里的一小段甬路，该路段是用型号相同的五边形地砖拼铺而成．如果每个五边形有三个内角相等，那么这三个内角都等于（ ） A. 120° B. 108° C. 90° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】由图中可以看出，这3个内角放在同一顶点处，可组成一个周角，由此即可求出答案． 【详解】解：因为3个内角放在同一顶点处，组成一个周角， 所以每个内角为：． 8. 关于x，y的方程组的解满足，则a的值为（ ） A. B. 4 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知原方程组的解满足，因此先联立与求出的值，再代入含的方程即可计算出的值． 【详解】解∶∵原方程组的解满足且， ∴联立得， 解得， 把代入，得 ， 解得． 9. 如图1，用一条足够长的长方形纸条，打一个结，然后轻轻拉紧，压平就可以得到如图2所示的正五边形是上的一点，连接，已知，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形的内角和定理的应用，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，先求解，，再利用三角形的外角的性质可得答案. 【详解】解：正五边形中， ， ， ∵， ， 故选：B 10. 已知关于x的不等式组的解集中至少有6个整数解，则整数a的最小值为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先解出不等式组的解集，再根据解集中至少有6个整数解确定a的取值范围，即可求出整数a的最小值． 【详解】解：关于x的不等式组， 解①得，解②得， ∴不等式组的解集为， ∵解集中至少有6个整数解， ∴满足条件的整数解为， ∴， ∴整数a的最小值为5． 二、填空题（每小题3分；共15分） 11. 不等式 解集是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】按照移项,系数化为一的步骤即可解题. 【详解】解： 2x6 【点睛】本题考查了解不等式,属于简单题,熟悉解不等式的一般步骤是解题关键. 12. 已知三角形的三边长分别为4，6，a．则a的长可能是_______．（写出一个即可） 【答案】5（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：∵三角形的三边长分别为4，6，， ∴，即， ∴的长可能是5（答案不唯一）． 13. 如图，已知，若，则的长是______________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得到，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 14. 如图， ___________． 【答案】##360度 【解析】 【分析】首先根据三角形外角的定义和性质可得，再由四边形内角和为可得，即可获得答案． 【详解】解：如下图， 则有， ∵， ∴． 15. 在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则___________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“幻方”的定义，可得出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ． 故答案为：13． 三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10=75分） 16. 计算： （1）解方程组：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）方程组的解为 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 将①等号两边同时乘以6，可得， 整理可得③， 由，得，解得 ， 把代入②，得，解得， 则方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为． 17. 已知，如图所示，是的角平分线，是的高，且，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形的高，三角形的内角和定理，角平分线，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再根据三角形的内角和为，即可解答； （2）先求出，再根据三角形的内角和为，即可解答． 【小问1详解】 解：是的高， ， ． 【小问2详解】 是的角平分线． ． ． 18. 如图所示，已知，顺时针旋转后与重合． （1）旋转中心是哪一点? ； （2）旋转了多少度? ； （3）线段与线段有什么位置关系?请说明． 【答案】（1）B （2） （3） 说明：延长与交于O点，如下图， 由旋转的性质可知， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴． 【解析】 【分析】（1）结合图形即可获得答案； （2）根据题意和旋转的性质可得，即可获得答案； （3）延长与交于O点，由旋转的性质可知，易得，进而证明为直角三角形，即可证明结论． 【小问1详解】 解：根据题意，顺时针旋转后与重合， 由图可知，旋转中心是点； 【小问2详解】 ∵顺时针旋转后与重合，且， ∴，即旋转了； 【小问3详解】 略 19. 如图，在中，． （1）尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若与的周长差为7．若，则的长为 ． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，然后连接即可； （2）根据直角三角形斜边上的中线的性质可得，再结合与的周长差为7可得，即可获得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，为边上的中线， ∴， ∵与的周长差为7， ∴ ， 又∵， ∴． 20. 仔细阅读下面的材料，并解答相应的问题． 整体代入法解方程组 在解方程组时，若方程组中未知数的系数关系比较复杂，直接代入会使计算繁琐，这时可以通过对方程进行变形，找到合适的整体间接代入． 例如：解方程组： 解：将方程②变形为，③ 把方程①代入方程③，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为 （1）仿照上述方法解方程组： （2）已知x，y，z满足方程组，直接写出z的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：  将②变形为 ③ 把①代入③，得， 解得  把代入①，得 解得  即原方程组的解为； 【小问2详解】 解：  将②变形为③ 把①代入③，得 整理得 解得． 21. 如图1，图2，图3的网格均由边长为1的小正方形组成，图1是三国时期吴国的数学家赵爽所绘制的“弦图”，它由四个形状、大小完全相同的直角三角形组成，赵爽利用这个“弦图”对勾股定理作出了证明，是中国古代数学的一项重要成就，请根据下列要求解答问题． （1）图1中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是　 　对称图形（填“轴”或“中心”）． （2）请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在图2，3的方格纸中设计另外两个不同的图案，画图要求： ①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠，不必涂阴影； ②图2中所设计的图案（不含方格纸）必须是轴对称图形而不是中心对称图形；图3中所设计的图案（不含方格纸）必须既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】（1）中心 （2） 如图2是轴对称图形而不是中心对称图形； 图3既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【解析】 【分析】（1）利用中心对称图形的意义得到答案即可； （2）①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形不重叠，是轴对称图形； ②所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形． 【小问1详解】 图1中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是中心对称图形， 故答案为：中心； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查利用旋转或轴对称设计方案，关键是理解旋转和轴对称的概念，按要求作图即可． 22. 根据素材求解下列任务． 采购方案制定 素材一 随着夏季的来临，电风扇成为热销品．某电器超市销售A、B两种型号的电风扇，A型号每台进价为元，B型号每台进价为元； 素材二 以下是近两天的销售情况：第一天A种型号销售3台，B种型号销售5台；第二天A种型号销售4台，B种型号销售10台； 素材三 销售收入：第一天收入元，第二天收入元． （进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本） 问题解决： （1）任务一：求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）任务二：若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）任务三：在任务二的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润不少于元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）A型号电风扇的销售单价为元，B型号电风扇的销售单价为元 （2）最多采购A种型号的电风扇台 （3）在（2）条件下超市销售完这台电风扇能实现利润不少于 元的目标，有三种方案，分别为：①A 型号16台，B型号14台；②A型号17台，B型号13台；③A型号18台，B型号12台 【解析】 【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，根据3台型号台型号的电扇收入元，4台型号台型号的电扇收入元，列方程组求解即可； （2）设采购A种型号电风扇台，则采购B种型号电风扇台，根据金额不多于元，列不等式求解即可得出答案； （3）根据利润大于等于1060元，列不等式求出a的取值范围，结合（2）中的取值范围，即可确定方案． 【小问1详解】 解：设A、 B两种型号的电风扇的销售价分别为、元，由题意得 解得： 答：A型号电风扇的销售单价为元，B型号电风扇的销售单价为元． 【小问2详解】 解：设采购A种型号电风扇台，则采购B种型号的电风扇台 则 ， 解得：， 答：最多采购A种型号的电风扇台． 【小问3详解】 解：根据题意得： ， 解得， ∵在（2）的条件下， ∴ ∵为正整数， ∴可取， ∴符合题意的方案为： A型号16台，B型号14台； A型号17台，B型号13台； A型号18台，B型号12台； 答：在（2）条件下超市销售完这30台电风扇能实现利润不少于元的目标，有三种方案，分别为：①A型号台，B型号台；②A型号台，B型号台；③A型号台，B型号台． 23. 【教材呈现】以下是华师版数学七下第92页的部分内容． 如图，在中，．，平分，平分，求的度数． 解：平分（已知）， ， 同理可得___________． （___________）， （等式的性质）___________． （1）对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（填数学理由或数学式）． （2）【拓展延伸】如图1，在中，的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； （3）如图2，在中，角平分线交于点，，交边于点，点在的延长线上，作的平分线交的延长线于点．若，则_______． 【答案】（1）；三角形内角和定理； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）根据角平分线得到，，进而可知，即可求出，根据得到，根据三角形内角和即可得解． 【小问1详解】 解：∵平分（已知）， ∴． 同理可得． ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质） ． 【小问2详解】 由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 即， ； 【小问3详解】 ∵是角平分线，是角平分线 ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $