精品解析：河南省南阳市南召县2024-2025学年七年级下学期 期末数学试题

2025年春期七年级期终巩固练习 数学 一、选择题（每小题3分；共30分） 1. 方程的解是（　　） A. B. 3 C. D. 2. 下列数中，能使不等式成立的x的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养人全面发展的一个重要方面，许多体育图标在设计上采用了大胆的对称美学，下列体育图标既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 把某不等式组中的两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是（　　） A. B. C. D. 5. 如图是折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（ ） A. B. C. D. 6. 解方程时，去分母、去括号后，正确的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 正边形的一个外角是，则的值为（　　） A. B. C. D. 8 8. 如图，点在同一直线上，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，点M在内，点M关于射线OA，OB的对称点分别是，，连接，，则（　　） A. 80° B. 70° C. 60° D. 无法确定 10. 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（ ） A 甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B. 甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C. 甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D. 甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出二元一次方程的一个整数解______． 12. 若三元一次方程，当，时，，则的值为________． 13. 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面均为完美的正六边形．如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的一部分蜂巢巢房．则___________． 14. 如图，将直角三角形纸片ABC进行折叠，使直角顶点A落在斜边BC上点E处，并使折痕经过点C，得到折痕CD．若∠CDE=70°，则∠B=______°． 15. 已知关于的不等式组，有下列四个结论： ①若不等式组的解集是，则； ②当时，不等式组无解； ③若不等式组的整数解仅有3个，则的取值范围是； ④若不等式组有解，则 其中正确结论有___________个 三、解答题（分） 16. （1）解方程组： （2）解不等式组 17. 已知有理数m，n满足，且，求k值．三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于m，n的方程组，得到m，n用含k的代数式表示，再代入，就可以求k的值； 乙同学：将原方程组中的两个方程相加，利用得到的式子与的等量关系，求k的值； 丙同学：先解方程组，再求k的值． 请选择其中一名同学的思路，解答此题． 18. 如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，①②③均为顶点都在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫做格点）． （1）图中，①经过一次______变换（填“平移”“轴对称”或“旋转”）可以得到②； （2）图中，③是由①经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是______（填“A”“B”“C”或“D”）； （3）在图中画出①关于直线l成轴对称的图形④． 19. 如图，已知钝角三角形ABC （1）请用尺规作图，在图①中作出∠A的平分线，交BC于点E（保留作图痕迹，不写做法） （2）请用尺规作图，在图②中作出AC边上的高（保留作图痕迹，不写做法） 20. 如图，在中，，，分别是的高和角平分线，，． （1）求的度数． （2）求的度数． （3）探究：如果只知道，那么能得到的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 21. 近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元． （1）该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ （2）若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； 22. 阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． “箭头图”的性质和应用 如图1，我们把四边形称为“箭头图”图案，该图案有这样一个性质：．下面是该性质的证明过程： 证明：如图2，连接并延长到点． ∵是的外角， ∴（根据1）． ∵是的外角， ∴， ∴， ∴． 任务： （1）填空：材料中的根据1是指___________________________________________． （2）你还能想出其他解法吗？请写出解答过程． （3）一个零件的形状如图3所示，按规定应等于才合格，经检验，，，那么这个零件________．（填“合格”或“不合格”） 23. 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点C不与，重合） （1）______（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （2）若，试说明：是"和谐三角形"． 应用拓展】 （3）如图2，点在的边上，连结，过点作交于点，使，在上取点F，连结，使，，若是“和谐三角形”，请求出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春期七年级期终巩固练习 数学 一、选择题（每小题3分；共30分） 1. 方程解是（　　） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程的基本步骤，通过移项和系数化为1求解． 【详解】解：原方程为：． 移项：将常数项移到等号右侧，得， 系数化为1：两边同时乘以，消去的系数，得， 因此，方程的解为， 故选A． 2. 下列数中，能使不等式成立的x的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解不等式，不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键．解不等式，得到，以此判断即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴符合题意的是A 故选A． 3. 体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养人全面发展的一个重要方面，许多体育图标在设计上采用了大胆的对称美学，下列体育图标既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； 故选：C． 4. 把某不等式组中的两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴表示不等式解集，掌握数轴上表示不等式解集的方法是关键． 数轴上表示不等式的解集的方法：小于向左，大于向右，包含端点时用实心点，不包含端点用空心点表示，由此即可求解． 【详解】解：根据图示可得这个不等式组可能是， 故选：A ． 5. 如图是折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系应用．确定第三边的取值范围是解题的关键． 由题意知，，即，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故选：D． 6. 解方程时，去分母、去括号后，正确的结果是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】对原方程按要求去分母，去括号得到变形后的方程，再和每个选项比较，选出正确选项． 【详解】， 去分母，两边同时乘以6为： 去括号为：． 故选：C 【点睛】此题考查解一元一次方程的去分母和去括号，注意去分母是给方程两边都乘以分母的最小公倍数；去括号时，括号前是负号括在括号内的各项要变号． 7. 正边形的一个外角是，则的值为（　　） A. B. C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和为是解题的关键．根据多边形的外角和为，正边形的每个外角都相等，利用外角和除以单个外角度数即可求出边数． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 8. 如图，点在同一直线上，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和线段和差，根据全等三角形的性质得出，，再由线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图，，点M在内，点M关于射线OA，OB的对称点分别是，，连接，，则（　　） A 80° B. 70° C. 60° D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，得出，． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点M关于射线的对称点分别是，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 10. 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（ ） A. 甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B. 甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C. 甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D. 甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱， 【详解】解：根据，可得甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱， 故选：D 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，根据方程组找出等量关系． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出二元一次方程的一个整数解______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先用含有y的式子表示，再根据均为整数，得出一组解． 【详解】解：由题意得：， 均为整数， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的知识，二元一次方程有无数组解，难度不大． 12. 若三元一次方程，当，时，，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了三元一次方程，一元一次方程的应用，关键是能得出关于的一元一次方程．把，，代入三元一次方程得到关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】把，，，代入三元一次方程得： ， 解得：， 故答案为． 13. 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面均为完美的正六边形．如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的一部分蜂巢巢房．则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角问题，正n边形的内角和为，再根据正n边形有n个内角，且每个内角的度数相等计算求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 14. 如图，将直角三角形纸片ABC进行折叠，使直角顶点A落在斜边BC上的点E处，并使折痕经过点C，得到折痕CD．若∠CDE=70°，则∠B=______°． 【答案】50 【解析】 【分析】根据折叠的性质求得∠CDE=∠CDA=70°，得到∠BDE=40°，再利用余角的性质即可求解． 【详解】解：根据折叠的性质得：∠CDE=∠CDA=70°，∠CED=∠A=90°， ∴∠BDE=180°-70°-70°=40°，∠BED=180°-90°=90°， ∴∠B=180°-90°-40°=50°， 故答案为：50． 【点睛】本题考查翻折变换，三角形内角和定理等知识，关键是根据翻折前后对应角相等，利用三角形内角和定理求解即可． 15. 已知关于的不等式组，有下列四个结论： ①若不等式组的解集是，则； ②当时，不等式组无解； ③若不等式组的整数解仅有3个，则的取值范围是； ④若不等式组有解，则 其中正确的结论有___________个 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据对应条件下不等式的解集情况分别求解判断即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：； 若不等式组的解集是，则，解得，故①正确； 当时，， ∴此时原不等式组无解，故②正确； 若不等式组的整数解仅有3个， ∴， ∴，故③错误； 若不等式组有解，则，解得，故④正确； ∴正确的有3个， 故答案为：3． 三、解答题（分） 16. （1）解方程组： （2）解不等式组 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，熟知解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴原方程组的解为． （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 17. 已知有理数m，n满足，且，求k的值．三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于m，n的方程组，得到m，n用含k的代数式表示，再代入，就可以求k的值； 乙同学：将原方程组中的两个方程相加，利用得到的式子与的等量关系，求k的值； 丙同学：先解方程组，再求k的值． 请选择其中一名同学的思路，解答此题． 【答案】见解析 【解析】 【分析】选择一位同学，根据这位同学的思路列出关系式解出答案． 【详解】解：选择丙同学， ， 解得， 将代入， 求得， 【点睛】本题考查解二元一次方程组，以及代数求值，掌握解二元一次方程组的解法是解题的关键． 18. 如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，①②③均为顶点都在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫做格点）． （1）图中，①经过一次______变换（填“平移”“轴对称”或“旋转”）可以得到②； （2）图中，③是由①经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是______（填“A”“B”“C”或“D”）； （3）在图中画出①关于直线l成轴对称的图形④． 【答案】（1）平移 （2）D （3）详见解析 【解析】 【分析】（1）根据平移的特点判定即可． （2）根据旋转的特点判定即可． （3）根据向对称轴作垂直，并延长相等的方法画出轴对称图形即可． 【小问1详解】 ∵①经过一次平移变换可以得到②， 故答案为：平移． 【小问2详解】 根据旋转角相等， 判定③是由①经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是D， 故答案为D． 【小问3详解】 画出轴对称图形如下： 则④即为所求． 【点睛】本题考查了旋转，平移，画轴对称图形，熟练掌握平移性质，旋转的性质，轴对称图形的画法是解题的关键． 19. 如图，已知钝角三角形ABC （1）请用尺规作图，在图①中作出∠A的平分线，交BC于点E（保留作图痕迹，不写做法） （2）请用尺规作图，在图②中作出AC边上的高（保留作图痕迹，不写做法） 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析． 【解析】 【分析】（1）以为圆心，任意长为半径画弧，得到与的两个交点，分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点间的距离的一半为半径画弧，得到两弧的交点，以为端点，过两弧的交点作射线与交于点，即可得到答案； （2）延长，以为圆心，大于到的距离为半径画弧，得与直线的两个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点间的距离的一半为半径画弧，得到两弧的一个交点，以为端点，过两弧交点作射线与直线交于点，则线段即为所求作的上的高． 【详解】解：（1）如图①，射线即为所求作的的角平分线， （2）如图②，线段是所求作的的上的高， 【点睛】本题考查的是角平分线的作图，垂线的作图，掌握角平分线的作图，垂线的作图的基本方法是解题的关键． 20. 如图，在中，，，分别是的高和角平分线，，． （1）求的度数． （2）求的度数． （3）探究：如果只知道，那么能得到的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理可求出的度数，再结合角平分线的定义即可求出的度数； （2）在Rt中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合可求出的度数； （3）设，则，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，可用含的代数式表示出的度数，在Rt，利用三角形内角和定理可用含的代数式表示出的度数，再结合可求出的度数． 【小问1详解】 在中，，， ∴． ∵平分， ∴； 【小问2详解】 在Rt中，，， ∴， ∴； 【小问3详解】 能， 理由：设，则， ∴． ∵平分， ∴． 在Rt，， ∴， 故若只知道，也能得到． 【点睛】本题考查了三角形内角和定义、列代数式以及角平分线的定义，解题的关键是：（1）利用三角形内角和定理及角平分线的定义，求出的度数；（2）利用三角形内角和定理，求出的度数；（3）利用三角形内角和定理及角平分线的定义，利用含的代数式表示出和的度数． 21. 近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元． （1）该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ （2）若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； 【答案】（1）该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要0.2万元和0.3万元； （2）一共有4种方案，分别为：方案①新建个地上充电桩，43个地下充电桩；方案②新建个地上充电桩，42个地下充电桩；方案③新建个地上充电桩，41个地下充电桩；方案④新建个地上充电桩，40个地下充电桩． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元，根据“1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元”列方程组求解即可； （2）设新建m个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个，根据“不超过16.3万元的资金，地下充电桩的数量不少于40个”列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元， 依题意得，， 解得， 答：该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要0.2万元和0.3万元； 小问2详解】 解：设新建个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个， 由题意得， 解得， ∴整数m的值为17，18，19，20． 一共有4种方案，分别为： 方案①新建个地上充电桩，43个地下充电桩； 方案②新建个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案③新建个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案④新建个地上充电桩，40个地下充电桩． 22. 阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． “箭头图”的性质和应用 如图1，我们把四边形称为“箭头图”图案，该图案有这样一个性质：．下面是该性质的证明过程： 证明：如图2，连接并延长到点． ∵是的外角， ∴（根据1）． ∵是的外角， ∴， ∴， ∴． 任务： （1）填空：材料中的根据1是指___________________________________________． （2）你还能想出其他解法吗？请写出解答过程． （3）一个零件的形状如图3所示，按规定应等于才合格，经检验，，，那么这个零件________．（填“合格”或“不合格”） 【答案】（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和 （2）见解析 （3）不合格 【解析】 【分析】（1）根据三角形的外角性质即可解答； （2）延长交于点E，如图，根据三角形的外角性质证明即可； （3）根据材料中的性质即可判断． 【小问1详解】 材料中的根据1是指：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和； 故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和 【小问2详解】 延长交于点E，如图， 则， ∴； 【小问3详解】 由“箭头图”图案的性质得：， ∵，，， ∴， ∴， ∵按规定应等于才合格， ∴这个零件不合格； 故答案为：不合格． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和是解题的关键． 23. 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点C不与，重合） （1）______（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （2）若，试说明：是"和谐三角形"． 【应用拓展】 （3）如图2，点在的边上，连结，过点作交于点，使，在上取点F，连结，使，，若是“和谐三角形”，请求出的度数． 【答案】（1）不是；（2）见解析；（3）或 【解析】 【分析】（）根据，得到，求得，得到不是“和谐三角形”； （）因为是的一个外角，得到，求出，，所以，所以得到是“和谐三角形”； （）由，，得到，可以证明，得到，而，得到，由，得到，根据是“和谐三角形”，即可求解； 【详解】解：（）∵， ∴， ∵， ∴， ∵中不存在一个角是另外一个角的4倍， ∴不是“和谐三角形”； （）∵是的一个外角， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴是“和谐三角形”； （）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是“和谐三角形”， ∴或， 当时，， 解得：； 当时， 解得：； 综上分析可知：或． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，同角的补角相等，平行线的判定与性质，理解“和谐三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 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