第21章一元二次方程单元综合基础巩固限时训练2026-2027学年第一学期九年级数学人教版

**基本信息** 聚焦一元二次方程核心概念与解法，通过分层题型构建“概念辨析-解法选择-代数推理-实际建模”的逻辑链条，强化运算能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-2、填空10|考查定义、一般形式及参数范围|从一元二次方程定义出发，延伸至二次项系数非零的限定| |解法应用|选择3、计算13|直接开平方法/因式分解法/公式法的选择与应用|依据方程结构特征匹配最优解法，体现算法优化思想| |代数推理|选择4-6、填空11-12、解答14-16|根的判别式、韦达定理的综合应用|通过判别式判断根的情况，利用韦达定理建立根与系数的数量关系| |实际建模|选择7-8、解答17-18|几何面积、销售利润、握手问题的方程构建|将实际问题抽象为一元二次方程模型，培养应用意识与抽象能力|

2026-2027学年第一学期九年级数学（人教版新课标第21章） 一元二次方程单元综合基础巩固限时训练 考试时长：60分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，一定是关于的一元二次方程的为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  2.方程化成一般形式后，若二次项系数为，则常数项为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 此题考查的是一元二次方程的一般形式，将方程化为的形式，再写出常数项即可． 【解答】 解：方程化成一般形式： ， 常数项为． 3.有下列方程：；；，则解上述方程较适合的方法为  (    ) A. 直接开平方法，因式分解法，配方法 B. 因式分解法，分解法，直接开平方法 C. 公式法，直接开平方法，因式分解法 D. 直接开平方法，公式法，因式分解法 【答案】D  4.方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C  【解析】解：，，， ， 所以方程没有实数根． 故选：． 把，，代入进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况． 本题考查了一元二次方程为常数的根的判别式 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 5.若关于的一元二次方程为的解是，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 此题主要考查了一元二次方程解的定义，所谓方程的解，即能够使方程左右两边相等的未知数的值． 已知了一元二次方程的一个实数根，可将其代入该方程中，即可求出的值，然后整体代入即可． 【解答】 解：关于的一元二次方程为的解是， ， ， ， 故选D． 6.若一元二次方程有实数根，则的取值范围是  (    ) A. B. C. 且 D. 且 【答案】D  7.已知菱形的两条对角线的长分别是一元二次方程的两根，则此菱形的面积是  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  8.如图，长方形铁皮的长为，宽为，现在它的四个角上剪去边长为的正方形，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】A  第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.现定义运算“★”，对于任意实数a，b都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5．若x★2＝6，则实数x的值是          ． 【答案】－1或4  10.若关于的方程是一元二次方程，则的值可以是          写出一个即可 【答案】答案不唯一  11.若，是方程的两根，则的值为          ． 【答案】  12.已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为          ． 【答案】  三、计算题：本大题共1小题，共10分。 13.解下列方程： ． 【答案】解：， ， ， ， 或， ，． ， ， ， 即， ， ，．  【解析】本题考查因式分解法解一元二次方程和配方法解一元二次方程． 利用因式分解法求解即可； 利用配方法求解即可． 四、解答题：本题共5小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根和． 求的取值范围 若，求的值． 【答案】(1)由题意,得-4(-2m+5)>.解得m>;  (2)由题意,得+=4,=5-2m. ++=3, 4+5-2m=. 解得m=3, m>, m的值是.  15.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：无论实数取何值，此方程一定有两个实数根； 设此方程的两个实数根分别为，，若，求的值． 【答案】(1)， . 无论实数取何值，此方程一定有两个实数根  (2)此方程的两个实数根分别为，， ，. ， ，即， 整理，得， 解得，. 的值为或  16.本小题分 已知关于的一元二次方程有实数根． 求的取值范围； 若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1)关于的一元二次方程有实数根， ， 解得． 的取值范围是．  (2)方程的两个实数根分别为，， ，． 又， ， 即， 解得或． 由（1）知，， ．  17.本小题分 第届冬季奥林匹克运动会将于年月日在北京开幕，北京成为历史上第一个既举办夏奥会又举办冬奥会的城市某批发商最近订购了一批具有纪念意义的书签进行销售，平均每天可售出张，每张可获利元调查发现，如果每张书签的售价每降价元，平均每天可多售出张批发商要想平均每天获利元，求每张书签应降价多少元． 【答案】解：设每张书签降价元． 根据题意，得． 解得，不合题意，舍去． 答：每张书签应降价元．  【解析】本题主要考查一元二次方程的应用，解答此题的关键是根据题意找到等量关系． 解答此题，设每张书签降价元，根据题意“每张书签的售价每降价元，平均每天可多售出张”可知降价后每天的销量为，再乘以降价后的每张的利润可得元，据此列方程求解即可． 18.本小题分 在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手次． 若参加聚会的人数为，则共握手          次；若参加聚会的人数为，则共握手          次；若参加聚会的人数为为正整数，则共握手          次； 若参加聚会的人共握手次，请求出参加聚会的人数； 嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有个点不含端点，，线段总条数为多少呢？请直接写出结论； 小明提出了另一个数学问题：若在的内部由顶点引出条射线不包括，，所组成的角的总个数能否为？请说明理由． 【答案】(1)3;10;​​​​​​​  (2)设参加聚会的人数为n，由题意， 得， 即n(n-1)＝56， 解得n1＝8，n2＝-7（舍去）．  答：参加聚会的人数为8人；  (3)由线段AB上共有m个点（不含端点A，B）， 则相当于聚会人数为m+2，  则可写出线段条数为；  (4)不能． 理由如下： 假设所组成的角的总个数为32， 则， 即n2+3n-62＝0． ∵此方程无整数解， 故不可能．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级数学（人教版新课标第21章） 一元二次方程单元综合基础巩固限时训练 考试时长：60分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，一定是关于的一元二次方程的为(     ) A. B. C. D. 2.方程化成一般形式后，若二次项系数为，则常数项为(     ) A. B. C. D. 3.有下列方程：；；，则解上述方程较适合的方法为  (     ) A. 直接开平方法，因式分解法，配方法 B. 因式分解法，分解法，直接开平方法 C. 公式法，直接开平方法，因式分解法 D. 直接开平方法，公式法，因式分解法 4.方程的根的情况是(     ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 5.若关于的一元二次方程为的解是，则的值是(     ) A. B. C. D. 6.若一元二次方程有实数根，则的取值范围是  (     ) A. B. C. 且 D. 且 7.已知菱形的两条对角线的长分别是一元二次方程的两根，则此菱形的面积是  (     ) A. B. C. D. 8.如图，长方形铁皮的长为，宽为，现在它的四个角上剪去边长为的正方形，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则的值为(     ) A. B. C. 或 D. 或 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.现定义运算“★”，对于任意实数a，b都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5．若x★2＝6，则实数x的值是           ． 10.若关于的方程是一元二次方程，则的值可以是           写出一个即可 11.若，是方程的两根，则的值为           ． 12.已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为           ． 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 13.解下列方程： ． 四、解答题：本题共5小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根和． 求的取值范围 若，求的值． 15.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：无论实数取何值，此方程一定有两个实数根； 设此方程的两个实数根分别为，，若，求的值． 16.本小题分 已知关于的一元二次方程有实数根． 求的取值范围； 若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 17.本小题分 第届冬季奥林匹克运动会将于年月日在北京开幕，北京成为历史上第一个既举办夏奥会又举办冬奥会的城市某批发商最近订购了一批具有纪念意义的书签进行销售，平均每天可售出张，每张可获利元调查发现，如果每张书签的售价每降价元，平均每天可多售出张批发商要想平均每天获利元，求每张书签应降价多少元． 18.本小题分在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手次． 若参加聚会的人数为，则共握手          次；若参加聚会的人数为，则共握手          次；若参加聚会的人数为为正整数，则共握手          次； 若参加聚会的人共握手次，请求出参加聚会的人数； 嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有个点不含端点，，线段总条数为多少呢？请直接写出结论； 小明提出了另一个数学问题：若在的内部由顶点引出条射线不包括，，所组成的角的总个数能否为？请说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级数学（人教版新课标第21章） 一元二次方程单元综合基础巩固限时训练 考试时长：60分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，一定是关于的一元二次方程的为(     ) A. B. C. D. 2.方程化成一般形式后，若二次项系数为，则常数项为(     ) A. B. C. D. 3.有下列方程：；；，则解上述方程较适合的方法为  (     ) A. 直接开平方法，因式分解法，配方法 B. 因式分解法，分解法，直接开平方法 C. 公式法，直接开平方法，因式分解法 D. 直接开平方法，公式法，因式分解法 4.方程的根的情况是(     ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 5.若关于的一元二次方程为的解是，则的值是(     ) A. B. C. D. 6.若一元二次方程有实数根，则的取值范围是  (     ) A. B. C. 且 D. 且 7.已知菱形的两条对角线的长分别是一元二次方程的两根，则此菱形的面积是  (     ) A. B. C. D. 8.如图，长方形铁皮的长为，宽为，现在它的四个角上剪去边长为的正方形，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则的值为(     ) A. B. C. 或 D. 或 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.现定义运算“★”，对于任意实数a，b都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5．若x★2＝6，则实数x的值是           ． 10.若关于的方程是一元二次方程，则的值可以是           写出一个即可 11.若，是方程的两根，则的值为           ． 12.已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为           ． 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 13.解下列方程： ． 四、解答题：本题共5小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根和． 求的取值范围 若，求的值． 15.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：无论实数取何值，此方程一定有两个实数根； 设此方程的两个实数根分别为，，若，求的值． 16.本小题分 已知关于的一元二次方程有实数根． 求的取值范围； 若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 17.本小题分 第届冬季奥林匹克运动会将于年月日在北京开幕，北京成为历史上第一个既举办夏奥会又举办冬奥会的城市某批发商最近订购了一批具有纪念意义的书签进行销售，平均每天可售出张，每张可获利元调查发现，如果每张书签的售价每降价元，平均每天可多售出张批发商要想平均每天获利元，求每张书签应降价多少元． 18.本小题分在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手次． 若参加聚会的人数为，则共握手          次；若参加聚会的人数为，则共握手          次；若参加聚会的人数为为正整数，则共握手          次； 若参加聚会的人共握手次，请求出参加聚会的人数； 嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有个点不含端点，，线段总条数为多少呢？请直接写出结论； 小明提出了另一个数学问题：若在的内部由顶点引出条射线不包括，，所组成的角的总个数能否为？请说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $