第25章一元二次方程单元测试卷2026-2027学年新教材人教版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学一元二次方程单元复习卷，全面覆盖定义、解法、根的判别式及应用，通过现实情境与分层设计，强化数学思维与应用意识，适配单元巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|根与系数关系、方程解法|结合菱形边长等几何情境，考查运算能力| |填空题|4/20|配方法、根的判别式|含规律探究题，培养抽象能力与创新意识| |解答题|11/100|公式法、实际应用|设计方阵人数、景区游客下降等真实问题，体现模型意识与应用意识|

第25章一元二次方程试卷(试卷版) 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1.已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）． A．2 B．-2 C．1 D．-1 2. 把一元二次方程化为一般形式为( ) A． B． C． D． 3.解一元二次方程，请你在“”中填入一个整数，使得方程有实数根，则你填入的整数是（ ）． A．6 B．-6 C．8 D．-8 4.方程的解是（     ） A．，． B．，． C．，． D．，． 5.当时，关于x的方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 6.已知m是方程的实数根，则的值为（     ） A．2025 B．-20265 C．2025 D．-2025 7.若关于的一元二次方程的两个实数根都是正数，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8.已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则的值是（     ） A． B． C． D．． 9.一个菱形的边长是方程的一个根，菱形的一条对角线长为6，则该菱形的面积为（     ） A．48 B．24 C．24或48 D．48或40 10．若，其中为实数且，，则（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 12.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为_____． 13.若是关于的一元二次方程（）的解，则代数式的值是_____． 14.数学兴趣小组发现：一个正整数的立方可以写成若干个连续奇数的和，例如：，，，…．他们进一步研究其中连续奇数中的最小奇数的规律时又发现：，，，…． （1）如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是_______； （2）如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是，则的值为_______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.公式法解方程：； 16.选择适当的方法解下列方程：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．若关于x的一元二次方程没有实数根，求k的取值范围. 18.已知方程的两根是、，求的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 20.在合肥五十点中秋季田径运动会的入场式上，初三年级和初二年级的部分学生们精心排成了一个长方形方阵．这个方阵不仅展示了两个学部的相亲相爱，学生们的整齐划一，还蕴含着一些有趣的数学问题．下面是同学甲和乙的对话： 甲：我发现方阵最外层的人数为58人； 乙：我们参加方阵展示的学生一共是234人． 聪明的小颖马上就算出了方阵的排数和列数，请同学们借助方程完成小颖的计算过程． 6、 （本题满分12分） 21.已知关于的方程（为常数），设为方程的两个实数根，且满足，试求的值． 七、（本题满分12分） 22.一元二次方程是初中数学代数板块的核心内容，也是中考的重点考查模块．现以“单元整体”的视角，从定义、解法、根与系数的关系等核心维度，尝试解答下列问题： (1)【概念辨析】若关于的方程是一元二次方程，则的值是____． (2)【解法实践】请从以下三个一元二次方程中任选一个你喜欢的方程进行求解： ①用配方法解：； ②用公式法解：； ③用因式分解法解：． (3)【综合应用】已知，是一元二次方程的两根，请尝试计算的值． 8、 （本题满分14分） 23.安徽省黄山市是全国旅游胜地，2020年受新冠疫情的影响，外来游客在逐年下降．某景区外来游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万． (1)求2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率； (2)在该景区需要建造篱笆花圃，如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图）， ①设花圃垂直于墙的边长为x米，则________（用含x的代数式表示）； ②当为多少米时，所围成花圃面积为105平方米？ ③当________米时，花圃的面积达到最大，最大为________平方米． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章一元二次方程试卷(解析版) 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1.已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）． A．2 B．-2 C．1 D．-1 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和． 【详解】解：由题意得，在一元二次方程中，．答案：B. 2. 把一元二次方程化为一般形式为( ) A． B． C． D． 【分析】化成一元二次方程的一般式的形式. 【详解】解：， ∴， ∴. 3.解一元二次方程，请你在“”中填入一个整数，使得方程有实数根，则你填入的整数是（ ）． A．6 B．-6 C．8 D．-8 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，因为方程有实数根，所以，再结合是整数，即可作答． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴， 即， ∵是整数， ∴可以是．答案：C. 4.方程的解是（     ） A．，． B．，． C．，． D．，． 【分析】因式分解法解一元二次方程 【详解】解： 或 解得，． 答案：A. 5.当时，关于x的方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【分析】将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，根据的条件推导判别式的符号即可得到结论． 【详解】解：， 整理得，， ∴， 又∵， ∴，即， ∴原方程没有实数根．答案：C. 6.已知m是方程的实数根，则的值为（     ） A．2025 B．-20265 C．2025 D．-2025 【分析】利用整体代入法求代数式的值，根据方程根的定义得到满足的等式，变形后整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是方程的实数根， 将代入方程得 ， 整理得 ， ∴．答案：D 7.若关于的一元二次方程的两个实数根都是正数，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据一元二次方程的两个正根推导出，，即可确定点所在的象限． 【详解】解：设一元二次方程的两个正实数根为，，且，， 可得， ∵，， ∴，， ∴，，即， ∵点的横坐标为正，纵坐标为负， ∴点位于第四象限． 答案：D. 8.已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则的值是（     ） A． B． C． D．． 【分析】设方程的两根分别为和，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，先求解的值，再计算，最后验证原方程满足有两个实数根的条件即可． 【详解】解：设一元二次方程的两根分别为，． 根据根与系数的关系可得，． 整理得．变形得． 解得． 将代入得． 验证判别式：，符合题意． 答案：C. 9.一个菱形的边长是方程的一个根，菱形的一条对角线长为6，则该菱形的面积为（     ） A．48 B．24 C．24或48 D．48或40 【分析】先解方程得到边长的可能值，结合三角形三边关系舍去不合理的解，再利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出另一条对角线长，最后计算菱形面积即可． 【详解】解：解方程， 分解因式得， 解得或， ∵菱形对角线互相垂直平分，已知一条对角线长为6，因此该对角线一半长为3， 若菱形边长为3，则，不能构成三角形，舍去； 若菱形边长为5，由勾股定理得另一条对角线的一半长为， ∴另一条对角线长为， ∴菱形面积为． 答案：B. 10．若，其中为实数且，，则（     ） A． B． C． D． 【分析】先对第二个方程变形，整理得到关于的一元二次方程，该方程与已知关于的方程形式相同，结合条件可知和是该一元二次方程的两个不同根，计算可得两者的和． 【详解】解：已知，，且，． 由可得，若，等式左边为，不成立． 将两边同时除以， 得：， 移项整理得：， 因此和都是一元二次方程的根． 对因式分解， 得， 解得方程的两个根为，． ∵，因此和为方程两个不同的根． ． 答案A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 【分析】先把方程的常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形，即可得到要求形式的结果． 【详解】解：， ， ， 即． 12.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为_____． 【分析】根据一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个相等的实数根时，根的判别式的值为，据此列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项，且方程有两个相等的实数根， ， 解得． 13.若是关于的一元二次方程（）的解，则代数式的值是_____． 【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入原方程，求出的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程（）的解， ， 整理得 ， ． 14.数学兴趣小组发现：一个正整数的立方可以写成若干个连续奇数的和，例如：，，，…．他们进一步研究其中连续奇数中的最小奇数的规律时又发现：，，，…． （1）如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是_______； （2）如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是，则的值为_______． 【分析】（1）按照题中规律将写成若干个连续奇数的和即可得到答案； （2）由题中规律得到将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是，结合题中已知条件列一元二次方程求解即可． 【详解】解：（1）由题中规律可得， 如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是 （2）由题意可得规律为， 将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是， 则， ， 为正整数， 和是相邻的两个正整数，则由可知，． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.公式法解方程：； 【分析】用求根公式解一元二次方程，注意方程先化为标准形式. 【详解】解：方程变形为： ，，， ， ∴， 解得，． 16.选择适当的方法解下列方程：． 【分析】用因式分解法解一元二次方程较为方便 【详解】解：， ， ， 或， ，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．若关于x的一元二次方程没有实数根，求k的取值范围. 【分析】先根据一元二次方程定义确定二次项系数的限制，再利用方程无实数根时判别式小于0列不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程 ∴ ∵方程没有实数根， ∴判别式， 整理得 解得． ∴k的取值范围是． 18.已知方程的两根是、，求的值． 【分析】利用一元二次方程根和系数的关系可得，，再把分式通分后代入计算即可求解． 【详解】解：∵方程的两根是、， ∴，， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【分析】（1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等的实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解． （2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路． 【详解】(1)证明：由题意得：， 则：， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． （2）解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 20.在合肥五十点中秋季田径运动会的入场式上，初三年级和初二年级的学生们精心排成了一个长方形方阵．这个方阵不仅展示了两个学部的相亲相爱，学生们的整齐划一，还蕴含着一些有趣的数学问题．下面是同学甲和乙的对话： 甲：我发现方阵最外层的人数为58人； 乙：我们参加方阵展示的学生一共是234人． 聪明的小颖马上就算出了方阵的排数和列数，请同学们借助方程完成小颖的计算过程． 【分析】设方阵的排数为x，列数为y，根据方阵最外层的人数为58人列二元一次方程，用含x的式子表示出y，再根据总人数为234列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设方阵的排数为x，列数为y， 由方阵最外层的人数为58人，得， 变形得， 由参加方阵展示的学生一共是234人，得， 变形得， 解得，， 当时，， 当时，， 综上可得，方阵的排数和列数分别为13和18或18和13． 6、 （本题满分12分） 21.已知关于的方程（为常数），设，为方程的两个实数根，且满足，试求的值． 【分析】将原方程改为一元二次方程的一般形式，再求出其根的判别式的值即可判断；由一元二次方程根与系数的关系可求出，．再将变形为，最后代入，解出k的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴关于x的一元二次方程，无论k取何值时，方程均有两个不相等的实数根； ∵为方程的两个实数根， ∴，． ∵ ∴， ∴ ∴． 将，代入， 得：， 解得：， ∴k的值为或． 七、（本题满分12分） 22.一元二次方程是初中数学代数板块的核心内容，也是中考的重点考查模块．现以“单元整体”的视角，从定义、解法、根与系数的关系等核心维度，尝试解答下列问题： (1)【概念辨析】若关于的方程是一元二次方程，则的值是____． (2)【解法实践】请从以下三个一元二次方程中任选一个你喜欢的方程进行求解： ①用配方法解：； ②用公式法解：； ③用因式分解法解：． (3)【综合应用】已知，是一元二次方程的两根，请尝试计算的值． 【分析】（1）由一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程即可得； （2）根据解一元二次方程的方法解答即可； （3）本题考查根与系数的关系，与一元二次方程解的定义，先利用方程的解的定义对式子进行化简，再由根与系数的关系：，即可得． 【详解】（1）解：由题意，得且，解得； （2）选择方程① 由方程；得： ， ， ， ， ， ∴，； 选择方程② ，，， ， ，； 选择方程③ 或 ，； （3），是一元二次方程的两根， 代入得：，，且，， ． 8、 （本题满分14分） 23.安徽省黄山市是全国旅游胜地，2020年受新冠疫情的影响，外来游客在逐年下降．某景区外来游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万． (1)求2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率； (2)在该景区需要建造篱笆花圃，如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图）， ①设花圃垂直于墙的边长为x米，则________（用含x的代数式表示）； ②当为多少米时，所围成花圃面积为105平方米？ ③当________米时，花圃的面积达到最大，最大为________平方米． 【分析】（1）设平均每年降低的百分率为，根据“游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万”列方程求解即可； （2）①由题意可知垂直于墙的边总长为，上有两个宽1米的门，根据总篱笆长列方程求解即可； ②根据花圃面积列方程求出x的值，根据墙的最大可用长度取合适的值即可； ③先求出x的取值范围，根据花圃面积求出花圃面积，根据平方的非负性作答即可． 【详解】（1）解：设平均每年降低的百分率为， 根据题意可知， 整理得， 即， 解得：（负值舍去）； （2）解：①垂直于墙的边共3段，总长为米，上有两个宽1米的门，门不用篱笆， ∵总篱笆长为34米， ∴， 解得：米； ②由①知米，米， ∵所围成花圃面积为105平方米， ∴， 解得，． 根据墙的最大可用长度可知：， 解得， 即； ③由题意可知， 解得：， 花圃面积平方米， ∵， ∴， ∴当时，取得最大值108平方米． 第1页（共1页） 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