1.5 基本不等式（专练）-备战2027年高考数学一轮复习（全国通用）（全国通用）

**基本信息** 聚焦基本不等式的应用与拓展，通过分层题型构建从基础到综合的知识逻辑链，强化数学建模与运算求解能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|8选择+3填空|实际情境（容器造价）、简单条件最值|从“一正二定三相等”概念到直接应用，构建基本不等式求最值的逻辑起点| |综合提升|3多选+4解答|多变量条件、恒成立求参、实际优化问题|通过“1”的代换、变量代换等技巧，深化条件等式与不等式的转化，体现数学思维的严谨性| |拓展延伸|1选择+1解答|权方和不等式应用、函数最值综合|衔接基本不等式变式，拓展知识边界，培养用数学语言表达复杂问题的能力|

1.5 基本不等式（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）要制作一个容积为，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（    ） A．80元 B．160元 C．200元 D．240元 【答案】B 【分析】先根据容器容积求得底面积，建立总造价关于底面边长的函数，再利用基本不等式求解总造价的最小值. 【详解】设长方体底面的长为，宽为，其中. 由容器容积为、高为，可得底面积. 总造价由底面造价和侧面造价两部分组成：底面造价为元；侧面为4个矩形，总面积为， 故侧面造价为元，因此总造价为： 代入得. 根据基本不等式，对任意正实数，有，当且仅当时等号成立. 因此，代入总造价公式得： ， 当且仅当时等号成立，即该容器的最低总造价为160元. 2．（25-26高三上·贵州遵义·期中）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件进行常数代换化简所求式，再结合基本不等式求解最小值并验证取等条件． 【详解】因为，，且， 所以，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 3．（25-26高三上·四川成都·期末）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先表示出，再化简，利用基本不等式可求最小值． 【详解】， ， ， ， ，， 当且仅当即时等号成立， 的最小值为． 4．（25-26高三上·福建厦门·期中）若两个正实数x，y满足，且对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式，先求的最小值，再依题意建立关于的不等式，求解即得的取值范围. 【详解】由题意，， 当且仅当，即时等号成立. 因对任意这样的，使不等式恒成立. 则需使，解得. 5．（2026·湖南株洲·三模）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件对所求表达式变形，结合基本不等式求最小值，即可得取值范围. 【详解】∵， ， 当且仅当，即，时等号成立. 的取值范围是. 6．（25-26高三上·贵州毕节·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（   ） A．1 B． C． D．25 【答案】C 【分析】根据权方和不等式求解即可. 【详解】因为，所以. ， 当且仅当，即（在范围内）时，等号成立. 7．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于函数进行变形得，再利用基本不等式求最值即可． 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最大值为． 8．（25-26高三上·黑龙江大庆·阶段检测）已知，，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 又， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，当，时，原式取得最小值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·广东·期中）下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式结合对勾函数的性质一一判定选项即可. 【详解】对A：当时，， 当且仅当，即时取得等号，故A正确； 对B：， 令，则，令， 又在上单调递增，故， 故的最小值为，也即的最小值为，故B错误； 对C：，当且仅当，即时取得等号； 故当时，的最大值是，故C正确； 对D：当时，，当且仅当，即时取得等号，故，即的最大值是，故D正确. 故选：ACD 10．（25-26高三上·河南·阶段检测）若正实数满足 ，则（     ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】BCD 【分析】根据“1”的变形技巧，基本不等式以及二次函数的性质逐项分析求解即可. 【详解】对于A，由， 则， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值是，故A错误； 对于B，由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值是，故B正确； 对于C，由， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故C正确； 对于D，因为，所以，又，所以， 所以， 设， 由二次函数开口向上，对称轴为：， 所以该二次函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，故D正确. 11．（25-26高三上·浙江宁波·期中）已知，为正实数，，则（   ） A．的最大值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值3 【答案】ACD 【分析】根据已知等式，结合基本不等式的“1”的巧用，分式分离，平方转化等方法逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，，为正实数，，所以， 当且仅当时，的最大值为1，故A正确； 对于B，由于，由A选项可知， 所以，所以的最小值为2，故B不正确； 对于C， ， 因为，为正实数，，所以， 则， 当且仅当，即时，的最小值为，故C正确； 对于D，，当且仅当时，的最小值3，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·上海闵行·期中）设，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立. 故当时，的最小值为. 13．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）已知，均为正数，若，则最小值为________. 【答案】 【分析】利用均值不等式求解即可. 【详解】已知，对已知等式变形得. 将上式代入中化简得. 由基本不等式得， 因此，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 14．（25-26高三上·浙江杭州·期中）若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据基本不等式”1”的代换，可得的最小值，根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】由，得，即， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，则，解得， 则的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·河南南阳·阶段检测）（1）求下列不等式的解集． ①；②；③ （2）若 ，求的最小值． （3）解关于 的不等式： 【答案】（1）①；②或；③或 （2）7 （3）当时，不等式的解集为； 当时，不等式化为，解集为； 当时，不等式的解集为． 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法和绝对值不等式的解法求解； （2）根据均值定理求和的最小值； （3）含参一元二次不等式讨论的范围解不等式. 【详解】（1）①，所以， 则解得， 得到此不等式的解集为； ②，则， 得到的解为， 所以的解集为或； ③，则或， 所以或， 所以的解集为或． （2）因为，由题． 当且仅当，即时取等号； 所以的最小值为7． （3）原不等式可化为， 方程的两根为． 当时，不等式的解集为； 当时，不等式化为，解集为； 当时，不等式的解集为． 16．（2026·上海闵行·一模）某学校计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的运动场地. 因场地的背面靠墙，无须建造费用，设运动场地前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：场地前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 假设甲、乙工程队均不考虑其他因素. (1)若项目由甲工程队完成，则至少要付给甲工程队多少费用？ (2)若乙工程队要确保竞标成功，求实数的取值范围. 【答案】(1)57600元 (2) 【分析】（1）甲工程队整体报价为，利用基本不等式求解即可； （2）若乙队要确保竞标成功则恒成立，先参变量分离化为恒成立，再求函数的最小值即可求解. 【详解】（1）若运动场地前面墙体的长为米（），则左右两面墙宽度为， 则甲工程队整体报价为， ，当且仅当时，“=”成立， 因此至少要付给甲工程队57600元； （2）若乙队要确保竞标成功则， 所以， 则， 因为，所以函数， 函数在上单调递增，故， 故，则，所以实数的取值范围是. 17．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）设a，b，c均为正实数，且． (1)求的最小值； (2)若，求b的最大值． 【答案】(1)9； (2). 【分析】（1）根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案. （2）根据不等式得，再结合条件得，解出即可得到最大值. 【详解】（1）由，得， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. （2）由基本不等式得，，当且仅当时等号成立， 因为， 所以，当且仅当，再结合a，b，c均为正实数， 即时，等号成立， 解得， 又为正实数，所以， 则b的最大值为. 18．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期末）已知. (1)求的最大值； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】(1)将转化为同底，利用基本不等式即可得出的最大值； (2)利用指数式和对数式的互化即可求得关于的函数表达式； (3)转化题干条件，利用“1”的妙用结合基本不等式可求得的最小值， 由恒成立可知的最小值大于，由此可求得的取值范围. 【详解】（1）因为，，所以， 所以，即， 当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为2； （2）当时，，所以； （3）设，，则，， 因为， 当且仅当，时，等号成立，所以的最小值是， 因为恒成立，所以， 解得，即的取值范围是. 19．（25-26高三上·安徽马鞍山·阶段检测）设函数． (1)若，求的解集； (2)解关于的不等式：． (3)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）代入得到二次函数，解一元二次不等式（分析开口方向、判别式）； （2）整理不等式为，分、、讨论（结合因式分解、根的大小比较）； （3）分离参数，再通过化简，利用基本不等式求取值范围. 【详解】（1）由函数， 若，可得， 又由，即不等式，即， 因为，且函数对应的抛物线开口向上， 所以不等式的解集为，即的解集为． （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为． 当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为． 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． （3）由对一切实数恒成立， 即对恒成立， 当时，，所以， ∵，∴， 当且仅当时，即时等号成立，∴． 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5 基本不等式（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）要制作一个容积为，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（    ） A．80元 B．160元 C．200元 D．240元 2．（25-26高三上·贵州遵义·期中）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·四川成都·期末）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·福建厦门·期中）若两个正实数x，y满足，且对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 5．（2026·湖南株洲·三模）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·贵州毕节·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（   ） A．1 B． C． D．25 7．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·黑龙江大庆·阶段检测）已知，，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·广东·期中）下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 10．（25-26高三上·河南·阶段检测）若正实数满足 ，则（     ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 11．（25-26高三上·浙江宁波·期中）已知，为正实数，，则（   ） A．的最大值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·上海闵行·期中）设，则的最小值为_____________． 13．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）已知，均为正数，若，则最小值为________. 14．（25-26高三上·浙江杭州·期中）若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·河南南阳·阶段检测）（1）求下列不等式的解集． ①；②；③ （2）若 ，求的最小值． （3）解关于 的不等式： 16．（2026·上海闵行·一模）某学校计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的运动场地. 因场地的背面靠墙，无须建造费用，设运动场地前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：场地前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 假设甲、乙工程队均不考虑其他因素. (1)若项目由甲工程队完成，则至少要付给甲工程队多少费用？ (2)若乙工程队要确保竞标成功，求实数的取值范围. 17．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）设a，b，c均为正实数，且． (1)求的最小值； (2)若，求b的最大值． 18．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期末）已知. (1)求的最大值； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)若恒成立，求的取值范围. 19．（25-26高三上·安徽马鞍山·阶段检测）设函数． (1)若，求的解集； (2)解关于的不等式：． (3)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $