精品解析：重庆市潼南区2025—2026学年度第二学期期末检测八年级数学试题

2025-2026学年度第二学期期末检测 八年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．） 1. 下列式子为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 五边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个函数中是一次函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 在直角三角形中，斜边，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，在平行四边形中，已知，平分，交于点E，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两人在铅球训练中各投掷10次，每次投掷的落地情况如图所示，已知两人10次投掷所得的平均成绩相同，对于方差，的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 周末，小陆一家从家出发开车前往一研学基地游玩，经过服务区休息片刻，然后继续驾车驶往目的地．汽车行驶路程y（千米）与行驶时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，下列判断不正确的是（ ） A. 他们在服务区休息了20分钟 B. 在服务区休息前的行驶速度比休息后快 C. 他们出发80分钟后到达服务区 D. 小陆家距离基地350千米 8. 估算的值在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 9. 如图是放在水平地面上的一个长方体盒子，其中，点是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点，则爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式M：，其中，，，为整数，为正整数，n为自然数，且，下列说法： ①不存在满足条件的单项式； ②满足条件的所有整式中，二次三项式共有4个； ③当时，满足条件的所有整式和为； ④存在两个自然数n，使满足条件的整式M有且仅有7个． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分，请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．） 11. 要使式子有意义，则m的取值范围是______． 12. 如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点C，D分别是的中点，若，则该工件内槽宽的长为_____． 13. 在一次数学学科单元模拟测试中，总分为100分，某校八年级1班学生成绩的箱线图如图所示，则该班学生成绩的下四分位数是______分． 14. 如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 15. 若一次函数的图象不经过第四象限，且关于y的不等式组的解集是，则满足所有条件的整数a之和为______． 16. 若一个四位正整数满足各个数位上的数字互不相等且均不为，且满足，为不大于的正整数，则称为差数，例如：，因为，所以是差数．按照这个规定，最大的差数是______；一个差数，记，，若能被整除，为完全平方数，则满足条件最小的的值是______． 三、解答题（本大题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 在学习了平行四边形的性质后，小明和小红进行了拓展探究，如图，在平行四边形中，点E是上的一点，且，连接． （1）尺规作图：作的平分线交于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）根据（1）中作图，小明同学猜测四边形是菱形，小红同学写出了如下不完整的证明过程，请你帮助他们把证明过程补充完整． 证明：∵平分，∴______ ∵在平行四边形中，，∴，∴______，∴， ∵，∴______，∵在平行四边形中，．∴， ∴四边形是平行四边形，又∵，∴四边形是菱形． 小明和小红经过进一步探究发现，与具有特殊的位置关系，并且与平行四边形的内角大小无关．他们总结出了以下结论：平行四边形的任意一组相邻内角的平分线______． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，直线：与x轴交于点，直线：与y轴交于点． （1）求k，b； （2）将直线向上平移t个单位长度（）得到，若与x轴交于点C，当时，求t的值． 21. 某校举行了“家乡美食及烹饪常识”知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩分别为99，82，99，86，99，93，89，100，91，82． 八年级10名学生中，有3名学生的竞赛成绩分别为92，94，94． 八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 a 93 c 八年级 92 b 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出______，______，______． （2）分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对“家乡美食及烹饪常识”的知识掌握较好？判断并说明理由（写出一条即可）． （3）该校七、八年级参加此次竞赛活动的人数分别为450和500，请你估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀的学生总人数． 22. 如图，在中，，，动点P从点A出发，沿折线运动．到达点B停止运动，设点P的运动路程为x，的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质； （3）结合函数图象，若，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托车锦标赛（）葡萄牙波尔图站组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，点燃了国内消费市场的热情，某经销商计划购进A，B两种型号的机车进行销售．若购进1辆A型机车，2辆B型机车，共需8万元，若购进2辆A型机车，3辆B型机车，共需13万元． （1）求A，B两种型号机车的单价； （2）该经销商计划购进A，B两种型号的机车共50辆，并且购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍．若一辆A型机车的售价为万元，一辆B型机车的售价为万元，怎样进货才能在全部售完时获得最大利润？最大利润是多少？ 24. 某送货员送货的路线如图所示：．已知B在A的北偏东方向处，C在B的正东方处，D在C的南偏东方向，D在A的正东方．（参考数据：，，） （1）求线段的长度；（结果精确到） （2）已知送货员在送货过程中全程保持的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A运送到D，则送货员按既定路线进行运送能否按时送达？（送货员在各站点停留的时间忽略不计） 25. 已知正方形和等腰直角三角形．连接、． （1）点P为线段的中点，连接 ① 如图所示，当点、分别在边、上时，请直接写出与之间的关系； ② 将绕点旋转到图的位置，请写出与之间的数量关系并证明； （2）将△绕点旋转到图的位置，作于点，设、的长分别为、，则的值是 （用含，的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末检测 八年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．） 1. 下列式子为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件：1、被开方数不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数不含分母；据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意． 2. 五边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查n边形内角和公式，直接代入五边形的边数计算即可得到结果； 【详解】解：∵边形的内角和公式为， 五边形的边数， ∴代入公式得. 3. 下列四个函数中是一次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：一次函数的定义为：形如（，为常数，且）的函数叫做一次函数， 选项A中，自变量的次数为，不符合一次函数定义； 选项B中，符合的形式，其中，，满足一次函数定义； 选项C中不是整式函数，不符合一次函数定义； 选项D中不是整式函数，不符合一次函数定义 4. 在直角三角形中，斜边，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵是直角三角形，是斜边，且， ∴． 5. 如图，在平行四边形中，已知，平分，交于点E，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6. 甲、乙两人在铅球训练中各投掷10次，每次投掷的落地情况如图所示，已知两人10次投掷所得的平均成绩相同，对于方差，的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差表示数据的离散程度，方差越小，数据波动越小，结合图形，即可得出结果. 【详解】解：由图可知，乙的数据波动明显小于甲的数据波动， ∴. 7. 周末，小陆一家从家出发开车前往一研学基地游玩，经过服务区休息片刻，然后继续驾车驶往目的地．汽车行驶路程y（千米）与行驶时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，下列判断不正确的是（ ） A. 他们在服务区休息了20分钟 B. 在服务区休息前的行驶速度比休息后快 C. 他们出发80分钟后到达服务区 D. 小陆家距离基地350千米 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图象，结合速度，路程，时间的关系求解即可； 【详解】解：A. 他们在服务区休息了分钟，正确，不符合要求； B. 休息前的速度为，休息后的速度为，故在服务区休息前的行驶速度比休息后快，正确，不符合要求； C. 他们出发80分钟后到达服务区，正确，不符合要求； D. 小陆家距离基地225千米，原说法错误，符合要求； 8. 估算的值在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二次根式的混合运算得出，再估算出，即可得解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴的值在7和8之间． 9. 如图是放在水平地面上的一个长方体盒子，其中，点是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点，则爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照题意，分三种情况展开蚂蚁爬过的面成平面图形，再由勾股定理求解长度，比较各个情况大小即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分三种情况： 将右面向前面展开，如图所示： 在中，，，，则，由勾股定理可得； 将上面向前面展开，如图所示： 在中，，，，则，由勾股定理可得； 将右面向下展开，如图所示： 在中，，，，则，由勾股定理可得； ， ， 则爬行的最短路程为． 10. 已知整式M：，其中，，，为整数，为正整数，n为自然数，且，下列说法： ①不存在满足条件的单项式； ②满足条件的所有整式中，二次三项式共有4个； ③当时，满足条件的所有整式和为； ④存在两个自然数n，使满足条件的整式M有且仅有7个． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】当时，可得，据此可判断①；当时，由M为二次三项式，得到都不为0，据此讨论的值，从而确定对应条件下的值，即可确定符合题意的M的个数，据此可判断②；当时，讨论的值，从而确定对应条件下的值，即可确定符合题意的M的个数，把所有整式求和即可判断③；求出时和时符合题意的M的个数即可判断④． 【详解】解：①当时，，此时， ∵为整数， ∴，即此时，此时M是单项式，故①说法错误； ②当时，则，为正整数，为整数， ∴， ∴， ∵M为二次三项式， ∴都不为0， 当时，，不符合题意； 当时，则，此时中必然有一个数为0，不符合题意； 当时，则，此时则， ∴或或或， ∴满足条件的所有整式中，二次三项式共有4个，故②正确； ③当时， 则，为正整数，为整数， ∴， ∴， 当时，，则， 当时，则，则或， ∴或或或， 此时； 当，则，此时则或或， ∴或或或或或或或， 此时， ， ∴当时，满足条件的所有整式和为，故③错误； ④当时，， ∵为正整数， ∴的值为（有1个值）或3（有2个值）或2（有2个值）或1（有2个值）， ∴此时的总个数为； 当时，， ∵为正整数， ∴的值为2或1， 当时，，此时只有1种， 当时，， 若，则，此时有2种， 若，则，此时有2种， 若，则，此时有2种， ∴总个数为； 存在和两个自然数满足条件，故④正确． 综上，正确的说法共个． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分，请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．） 11. 要使式子有意义，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式的被开方数为非负数，根据二次根式有意义的条件列不等式即可求解． 【详解】解：式子有意义， ， 移项得 ， 系数化为1得 ． 12. 如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点C，D分别是的中点，若，则该工件内槽宽的长为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．直接利用三角形的中位线的性质可得答案． 【详解】解：点，分别是，的中点， ， ， 故答案为：10 13. 在一次数学学科单元模拟测试中，总分为100分，某校八年级1班学生成绩的箱线图如图所示，则该班学生成绩的下四分位数是______分． 【答案】 【解析】 【分析】由箱线图的信息即可得到答案． 【详解】解：由箱线图可知，该班学生成绩的下四分位数是68分． 14. 如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 【答案】是 【解析】 【分析】可证明，则可得到，再由垂线段最短可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 由垂线段最短可知是从A到河边的最近道路． 15. 若一次函数的图象不经过第四象限，且关于y的不等式组的解集是，则满足所有条件的整数a之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】一次函数的图象不经过第四象限，那么该一次函数的图象经过第一、二、三象限或经过第一、三象限，则一次项系数大于0，常数项大于或等于0，据此列不等式组求出a的取值范围；求出不等式组中两个不等式的解集，根据不等式组的解集确定a的取值范围，则可确定a的最终取值范围，进而确定a的取值，进而求和即可． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第四象限， ∴， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为； 解不等式③得， 解不等式④得， ∵关于y的不等式组的解集是， ∴， ∴， 综上所述，， ∴满足所有条件的整数a之和为． 16. 若一个四位正整数满足各个数位上的数字互不相等且均不为，且满足，为不大于的正整数，则称为差数，例如：，因为，所以是差数．按照这个规定，最大的差数是______；一个差数，记，，若能被整除，为完全平方数，则满足条件最小的的值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据差数定义，要找最大的差数，优先让千位尽可能大，再结合数字互不相等且不为的条件，得出最大四位数．根据差数定义和整式变形，结合的整除特征求出的值；再根据满足各个数位上的数字和为完全平方数，推导的关系，采用枚举法，筛选出满足条件的最小四位数即可． 【详解】解：由题意可知，为差数，满足， 要使四位数最大，从开始，则，即， 互不相等且不为， （即要从十位上借一），解得， 当时，，与各个数位上的数字互不相等矛盾，舍去； 当时，，与各个数位上的数字互不相等矛盾，舍去； 当时，，符合题目要求； 按照这个规定，最大的差数是； 设， ∵为差数， ， ∵， ， ， ∵能被整除， 能被整除， 为不大于的正整数， ， ，恒等变形得， ，，且， ， ， ∴， 为整数，且不为， ，则， 即，， 将，代入，得， ，，且互不相等， ， ∵为完全平方数，且为偶数， 的可能取值为或， 当时，则，此时取或， 若取，则，不符合题意，舍去； 若取，则，不符合题意，舍去； 当时，则，此时取或；或；或；或； 若取，则，，； 若取，则，是两位数，不符合题意，舍去； 若取，则，，，不符合题意，舍去； 若取，则，，不符合题意，舍去； 若取，则，，； 若取，则，，不符合题意，舍去； 若取，则，，不符合题意，舍去； 若取，则，，； ， 要使最小，上述三个数只有满足． 三、解答题（本大题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 在学习了平行四边形的性质后，小明和小红进行了拓展探究，如图，在平行四边形中，点E是上的一点，且，连接． （1）尺规作图：作的平分线交于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）根据（1）中作图，小明同学猜测四边形是菱形，小红同学写出了如下不完整的证明过程，请你帮助他们把证明过程补充完整． 证明：∵平分，∴______ ∵在平行四边形中，，∴，∴______，∴， ∵，∴______，∵在平行四边形中，．∴， ∴四边形是平行四边形，又∵，∴四边形是菱形． 小明和小红经过进一步探究发现，与具有特殊的位置关系，并且与平行四边形的内角大小无关．他们总结出了以下结论：平行四边形的任意一组相邻内角的平分线______． 【答案】（1）如图，为所求作： （2）；；；互相垂直 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质与判定定理和菱形的性质与判定定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 20. 如图，直线：与x轴交于点，直线：与y轴交于点． （1）求k，b； （2）将直线向上平移t个单位长度（）得到，若与x轴交于点C，当时，求t的值． 【答案】（1）； （2）4 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，求解即可； （2）设的解析式为，根据题意，得或，由此求解即可． 【小问1详解】 解：直线：与x轴交于点， ， 解得； 直线：与y轴交于点， ， 解得． 【小问2详解】 解：根据题意，得直线：， 将直线向上平移t个单位长度（）得到， 则的解析式为， 令，得， 解得， 与x轴交于点C， 故， ，， 故或， 解得或， ， 故舍去， 故． 21. 某校举行了“家乡美食及烹饪常识”知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩分别为99，82，99，86，99，93，89，100，91，82． 八年级10名学生中，有3名学生的竞赛成绩分别为92，94，94． 八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 a 93 c 八年级 92 b 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出______，______，______． （2）分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对“家乡美食及烹饪常识”的知识掌握较好？判断并说明理由（写出一条即可）． （3）该校七、八年级参加此次竞赛活动的人数分别为450和500，请你估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀的学生总人数． 【答案】（1）92，94，99 （2）解：八年级的学生对“家乡美食及烹饪常识”的知识掌握较好，八年级学生成绩的众数为100，比七年级学生成绩的众数99大 （3）620人 【解析】 【小问1详解】 解：根据题意，得（分）， 根据题意，得第5个，第6个数据的平均数为中位数， （分）， 99出现的次数最多，3次， 故（分）． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意，得（人）．（人）， 在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀的学生总人数为（人）． 答：在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀的学生总人数为620人． 22. 如图，在中，，，动点P从点A出发，沿折线运动．到达点B停止运动，设点P的运动路程为x，的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质； （3）结合函数图象，若，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）； （2）当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） （3）或 【解析】 【分析】（1）分点P在上和上，两种情况，结合三角形面积计算公式，求解即可； （2）根据画图象的基本步骤和性质，求解即可； （3）利用数形结合思想，求解即可． 【小问1详解】 解：当点P在上时， ，，点P的运动路程为x，的面积为y， 根据题意，得，； 当点P在上时， ，，点P的运动路程为x，的面积为y， 根据题意，得 ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意，得当时x的取值范围是或； 23. 2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托车锦标赛（）葡萄牙波尔图站组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，点燃了国内消费市场的热情，某经销商计划购进A，B两种型号的机车进行销售．若购进1辆A型机车，2辆B型机车，共需8万元，若购进2辆A型机车，3辆B型机车，共需13万元． （1）求A，B两种型号机车的单价； （2）该经销商计划购进A，B两种型号的机车共50辆，并且购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍．若一辆A型机车的售价为万元，一辆B型机车的售价为万元，怎样进货才能在全部售完时获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）A型机车的单价为2万元/辆，B型机车的单价为3万元/辆 （2）购进A型机车33辆、B型机车17辆时可获得最大利润，最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）设A型机车的单价为x万元/辆，B型机车的单价为y万元/辆，根据购进1辆A型机车，2辆B型机车，共需8万元，购进2辆A型机车，3辆B型机车，共需13万元建立方程组求解即可； （2）设购进A型机车m辆，全部销售完时获得的利润为W万元，列出W关于m的一次函数关系式，再根据购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍列出不等式求出m的取值范围，最后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A型机车的单价为x万元/辆，B型机车的单价为y万元/辆， 由题意得，， 解得， 答：A型机车的单价为2万元/辆，B型机车的单价为3万元/辆； 【小问2详解】 解：设购进A型机车m辆，全部销售完时获得的利润为W万元， 由题意得，， ∵购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍， ∴， ∴， ∴，且m为整数， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，W有最大值，最大值为， 此时， 答：购进A型机车33辆、B型机车17辆时可获得最大利润，最大利润为万元． 24. 某送货员送货的路线如图所示：．已知B在A的北偏东方向处，C在B的正东方处，D在C的南偏东方向，D在A的正东方．（参考数据：，，） （1）求线段的长度；（结果精确到） （2）已知送货员在送货过程中全程保持的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A运送到D，则送货员按既定路线进行运送能否按时送达？（送货员在各站点停留的时间忽略不计） 【答案】（1） （2）解：送货员按既定路线进行运送能按时送达，理由如下： 根据题意，得， ， ， 故需要时间为， 小于16分钟， 故送货员按既定路线进行运送能按时送达； 【解析】 【分析】（1）根据，计算即可； （2）根据时间，计算比较解答即可，注意单位的统一； 【小问1详解】 解：根据题意，得，，，，，四点共线，，垂足分别为点F，点E， ， 根据平行线间的距离处处相等，得， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 25. 已知正方形和等腰直角三角形．连接、． （1）点P为线段的中点，连接 ① 如图所示，当点、分别在边、上时，请直接写出与之间的关系； ② 将绕点旋转到图的位置，请写出与之间的数量关系并证明； （2）将△绕点旋转到图的位置，作于点，设、的长分别为、，则的值是 （用含，的式子表示）． 【答案】（1）① ； ② 证明：如图，过点作交的延长线于点，连接， ∴， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵点P为线段的中点， ∴ ∴，即 （2） 【解析】 【分析】（1）①证明，得出，，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而可得；延长交于点，设，则，得出，即可证明； ②过点作交的延长线于点，连接，证明得出，进而证明是的中位线，可得，根据平行线的性质，进而可得结论； （2）连接，过点作于点，证明得出，，进而证明，得出，，设，,，进而根据勾股定理表示出，得出，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ ∴， ∵点P为线段的中点， ∴ ∴； ∵ ∴ 如图，延长交于点， 设，则， ∴， ∴， ∴； ②略 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴ 又∵等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∴， 设，,，则 在中， ，即 在中，，即 ∴ ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $