精品解析：北京市首都师范大学附属中学2025－2026学年第二学期期末练习初二数学

首都师大附中2025—2026学年第二学期期末练习 初二数学 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 3，6，4 B. 3，，4 C. 3，6， D. 3，， 2. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列条件中，不能判定一个四边形是平行四边形的是( ) A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线相互平分 D. 一组对边平行且另一组对边相等 4. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A. 向左平移3个单位，向上平移5个单位 B. 向右平移3个单位，向上平移5个单位 C. 向左平移5个单位，向下平移3个单位 D. 向右平移5个单位，向上平移3个单位 5. 八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（ ） A. 甲组跳绳次数的波动比乙组大 B. 乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C. 甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D. 乙组跳绳次数的最大值大于190 6. 某科技产业园区年的营业收入为亿元，随着各项扶持政策的落实以及创新技术的应用，年的营业收入达到亿元，求该产业园区这两年营业收入的年平均增长率．设该产业园区这两年营业收入的年平均增长率为，依题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，分别为，的中点，点是线段上的点，且，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，直线（，）与x轴、y轴分别交于点A，B，以为对角线作平行四边形，且点N在第一象限，给出下面三个结论： ①对任意k，b，都存在无数个矩形； ②当k，b确定时，若平行四边形为矩形，则当点N在上时，矩形的面积最大； ③当b确定时，若点N在上且平行四边形为菱形，则菱形的面积随k的增大而增大． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第Ⅱ卷（共76分） 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 10. 计算：______． 11. 若一组数据，，，，，的众数为，则这组数据的中位数为______． 12. 如图，在菱形中，，，则________°． 13. 如图（1），在的正方形网格中，小正方形的边长都为1，是网格交点，则图（2）中数轴上的点M所表示的数可能是网格中线段________的长．（填“”“”或“”） 14. 若，是关于x的方程的两个实数根，其中m是常数，则的值可能是________．（写出一个符合条件的即可） 15. 二次函数（a，b，c为常数，）中，x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n 2 n … 若，且点，在该二次函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”） 16. 如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，点F在正方形内，且，且，则线段的长的最小值是________． 三、解答题（本大题共10小题，共60分，第17题8分，第18-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25-26题，每题7分） 17. 解方程： （1） （2） 18. 已知m是方程的根，求代数式的值． 19. 已知二次函数的图象经过，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当时，直接写出y的取值范围． 20. 如图，菱形的对角线，相交于点O，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求线段的长． 21. 在平面直角坐标系中，直线：与直线：． （1）若直线与直线交于点，直接写出k，m的值； （2）过点作垂直于x轴的直线分别交，于点C，D，结合函数图象回答下列问题： ①当时，若，求k的值； ②当时，在点B运动的过程中，若对于n的每一个值，的长恒大于1，直接写出k的取值范围． 22. 某校要从甲、乙、丙三名选手中挑选一人参加第十四届创新应用科普活动．对这三名选手最近10次选拔赛测试成绩（单位：分）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲、乙两名选手10次测试成绩： 甲：85，70，95，80，85，85，75，85，70，90 乙：80，73，85，84，90，82，80，76，80，90 b．甲、乙两名选手10次测试成绩折线图： c．甲、乙两名选手10次测试成绩的平均数、中位数、众数： 选手 平均数 中位数 众数 甲 82 85 q 乙 82 p 80 d．丙选手前9次测试成绩：80，82，79，81，81，83，82，82，80 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中p的值为 ，q的值为 ； （2）在参加选拔的选手中，如果某选手得分的10个数据的方差越小，则认为该选手发挥越稳定．据此推断：甲、乙两位选手中，发挥更稳定的是 （填“甲”或“乙”）； （3）若将丙选手最后一次的测试成绩记为k（k为正整数）．学校按如下方式评估这三名选手的综合实力：首先比较10次测试的平均数，平均数较大者实力更强；若平均数相等，则比较测试成绩不低于90分的次数，次数较多者实力更强．若丙在三位选手中的综合实力排序最靠前，则符合条件的k的最小值为 ． 23. 小明同学结合一次函数图象与性质的探究经验，构造了一个新函数： 他尝试探究该函数的图象与性质，请你帮他补充完整下面的探究过程： （1）当时，化简后的解析式为 ；当时，化简后的解析式为；结合上述分析，在给出的平面直角坐标系中，他画出了该函数在范围内的图象； （2）小明进一步研究发现，当时，该函数中y与x的几组对应值如下表所示： x 1 2 3 4 y m 1 4 ①表中 ； ②结合表中的对应值，在（1）的基础上，补全该函数在范围内的图象； （3）若直线l：（t为常数）与该函数在范围内的图象恰好有三个不同的交点，直接写出常数t的取值范围． 24. 已知抛物线C：（）． （1）直接写出抛物线C的对称轴； （2）若点和均在抛物线C上，且，直接写出n的取值范围； （3）将抛物线C在y轴右侧的部分关于直线翻折，y轴及左侧部分保持不变，得到新图象G．已知点和均在图象G上，求的最小值． 25. 如图，四边形为正方形，点E是对角线上一点，连接，交边于点F． （1）猜想线段与的数量关系，并证明； （2）连接，分别取线段，的中点M，N，连接． ①依题意在图（2）中补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 26. 在平面直角坐标系中，对于菱形和直线（直线不与轴垂直），过菱形的四个顶点，分别存在与直线平行或重合的直线，它们与轴交点的纵坐标的最大值与最小值之差，称为菱形关于直线的“纵影长”，记作．当等于菱形的对角线的长时，称直线为菱形的“等影线”． （1）如图，若菱形的顶点分别为，，，，直线，则菱形关于直线l的“纵影长”为 ，此时直线 （填“是”或“不是”）该菱形的“等影线”； （2）若菱形的顶点分别为，，，，其中，且存在直线是该菱形的“等影线”，求m的取值范围； （3）已知菱形的边长为，点，，，点D在x轴上方．若存在直线l：（）是菱形的“等影线”，且直线与菱形有公共点，直接写出的取值范围（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 首都师大附中2025—2026学年第二学期期末练习 初二数学 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 3，6，4 B. 3，，4 C. 3，6， D. 3，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般式可直接进行求解． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，，； 故选D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 2. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，由此即可判断． 【详解】解：根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数， 因此能表示是的函数的是选项B、C、D中的图象， 不能表示是的函数的是选项A中的图象． 3. 下列条件中，不能判定一个四边形是平行四边形的是( ) A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线相互平分 D. 一组对边平行且另一组对边相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可； 【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、四边形可能是等腰梯形，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定方法，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型． 4. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A. 向左平移3个单位，向上平移5个单位 B. 向右平移3个单位，向上平移5个单位 C. 向左平移5个单位，向下平移3个单位 D. 向右平移5个单位，向上平移3个单位 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴顶点从平移到，需要先向左平移3个单位，再向上平移5个单位． 5. 八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（ ） A. 甲组跳绳次数的波动比乙组大 B. 乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C. 甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D. 乙组跳绳次数的最大值大于190 【答案】C 【解析】 【分析】根据箱线图的特征，分别观察甲、乙两组数据的极差（波动情况）、中位数位置、下四分位数位置及最大值位置，结合选项逐一判断即可． 【详解】解：由箱线图可知：甲组数据的极差约为，乙组数据的极差约为，且甲组箱体长度大于乙组，  则甲组跳绳次数的波动比乙组大， 故A选项说法正确； 甲组中位数（箱体内横线）约为180，乙组中位数约为170，  ，  乙组跳绳次数的中位数比甲组小， 故B选项说法正确； 甲组下四分位数（箱体下边缘）对应数值约为170， 甲组跳绳次数的下四分位数小于180， 故C选项说法错误； 乙组最大值（上须顶端）对应数值约为195，  乙组跳绳次数的最大值大于190， 故D选项说法正确． 6. 某科技产业园区年的营业收入为亿元，随着各项扶持政策的落实以及创新技术的应用，年的营业收入达到亿元，求该产业园区这两年营业收入的年平均增长率．设该产业园区这两年营业收入的年平均增长率为，依题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】本题考查一元二次方程的应用，涉及平均增长率问题． 设年平均增长率为，根据题意得． 【分析】解：设年平均增长率为，则2023年的营业收入为亿元，2024年的营业收入在2023年的基础上再增长一次， ， 故选：A． 7. 如图，在中，，分别为，的中点，点是线段上的点，且，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出，进而得到，根据直角三角形的性质求出． 【详解】解：∵D、E分别为，的中点，， ∴， ， ， ∵， ∵D为的中点， ∴． 8. 如图，直线（，）与x轴、y轴分别交于点A，B，以为对角线作平行四边形，且点N在第一象限，给出下面三个结论： ①对任意k，b，都存在无数个矩形； ②当k，b确定时，若平行四边形为矩形，则当点N在上时，矩形的面积最大； ③当b确定时，若点N在上且平行四边形为菱形，则菱形的面积随k的增大而增大． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线（，）与x轴、y轴分别交于点A，B，结合图象与矩形，菱形的性质逐一分析即可. 【详解】解：①∵直线（，）与x轴、y轴分别交于点A，B， 令， 解得：， ∴, 如图，取的中点，作过的线段，且， ∴四边形是矩形， ∴对任意k，b，都存在无数个矩形；故①符合题意； 如图， ∵矩形的面积为， ∵， ∴当时，矩形的面积最大， 此时不一定在上， ∴②不符合题意； 如图， 同理可得：， ∵点N在上且平行四边形为菱形， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为， ∵， ∴增大，减小，菱形的面积增大， ∴当b确定时，若点N在上且平行四边形为菱形，则菱形的面积随k的增大而增大．说法正确，③符合题意； 综上，①③都是正确的，②错误． 第Ⅱ卷（共76分） 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 10. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的加减，能正确根据二次根式的加减进行计算是解此题的关键． 11. 若一组数据，，，，，的众数为，则这组数据的中位数为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据众数的定义确定的值，再根据中位数的定义计算结果． 【详解】数据，，，，，的众数为， ， 把这组数据从小到大排列为：，，，，，， 这组数据共个数据，中位数为第个和第个数据的平均数，即中位数为． 12. 如图，在菱形中，，，则________°． 【答案】65 【解析】 【分析】由在菱形中，，可得，由，可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13. 如图（1），在的正方形网格中，小正方形的边长都为1，是网格交点，则图（2）中数轴上的点M所表示的数可能是网格中线段________的长．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】利用正方形网格，将三条线段放在三个直角三角形中，利用勾股定理求线段长度，从而判断出点M所表示的数可能是网格中线段的长． 【详解】解：根据正方形网格，得， ， ， ∵， 图（）中数轴上的点大于，小于， ∴点可能是网格中线段的长． 14. 若，是关于x的方程的两个实数根，其中m是常数，则的值可能是________．（写出一个符合条件的即可） 【答案】10（答案不唯一，任意不大于15的数均可） 【解析】 【分析】根据方程有两个实数根，利用根的判别式求出的取值范围，再利用根与系数的关系得到所求代数式与的关系，进而得到所求结果的取值范围，写出范围内任意一个值即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ， 解得， 由根与系数的关系可得，， 则， 故的值可能是10（答案不唯一，任意不大于15的数均可） 15. 二次函数（a，b，c为常数，）中，x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n 2 n … 若，且点，在该二次函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】先根据表格中与的函数值相等求出二次函数的对称轴，再结合判断开口方向，通过比较两点到对称轴的距离大小，即可判断与的大小关系． 【详解】解：由表格可知，当和时，y值相等， 因此二次函数的对称轴直线为． 因为， 所以抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小． 点到对称轴直线的距离为，点到对称轴直线的距离为． 因为， 所以． 当时，，则，即． 当时，，则，即． 因此点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，可得． 16. 如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，点F在正方形内，且，且，则线段的长的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】将正方形绕点顺时针旋转得到正方形，作的中点，连接，利用旋转的性质进一步证明，得到，确定点是在以点为圆心，为半径的圆上运动，利用圆外一点到圆上的最短距离求解． 【详解】解：如图所示，将正方形绕点顺时针旋转得到正方形， 取的中点，连接， ， ∵四边形是边长为2的正方形， ∴， ∵， ∴点共线， ∵, ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵E是的中点，为的中点，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵点为定点，为定长， ∴点是在以点为圆心，半径为半径的圆上运动， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题（本大题共10小题，共60分，第17题8分，第18-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25-26题，每题7分） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴ ∴． 18. 已知m是方程的根，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再把所求代数式变形，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的根， ， ． 19. 已知二次函数的图象经过，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，代入已知两点坐标求解系数，即可得到二次函数解析式； （2）将解析式配方为顶点式，当时，y取得最小值；再计算当，时，分别对应的函数值，即可得到y的取值范围． 【小问1详解】 解：把，代入 得， 解得 ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：将二次函数配方得， 函数的对称轴为直线 ∵ ∴二次函数开口向上， ∴当时，y取得最小值； 当时，， 当时，； 即在时，y的取值范围是． 20. 如图，菱形的对角线，相交于点O，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）证明：∵，， 四边形是平行四边形， 菱形的对角线，交于点， ， 四边形是矩形； （2）． 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质得到，可知四边形是矩形； （2）根据菱形的性质得到，，根据勾股定理求出，根据矩形的性质作答即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 21. 在平面直角坐标系中，直线：与直线：． （1）若直线与直线交于点，直接写出k，m的值； （2）过点作垂直于x轴的直线分别交，于点C，D，结合函数图象回答下列问题： ①当时，若，求k的值； ②当时，在点B运动的过程中，若对于n的每一个值，的长恒大于1，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）将点代入中，求出的值，再将点代入中解出的值； （2）①根据题意，将点的坐标表示出来，再利用距离公式得到的代数式，将代入求解； ②根据过点作垂直于x轴的直线分别交，于点，将点的坐标表示出来，再利用距离公式将的代数式表示出来，将该代数式看作是关于的一次函数的解析式，根据一次函数的增减性求解． 【小问1详解】 解：∵直线与直线交于点， ∴将代入到中， 得， ∴点的坐标为， 将点代入中， 得，解得， ∴． 【小问2详解】 解：①当时，点的坐标为， 过点作垂直于x轴的直线分别交，于点， ∴将代入直线：中，解得， ∴点的坐标为， 将代入直线：中，解得， ∴点的坐标为， 则， 又∵， ∴， ∴； ②∵过点作垂直于x轴的直线分别交，于点， ∴将代入直线：中，解得， ∴点的坐标为， 将代入直线：中，解得， ∴点的坐标为， ∴， 当点在点上方时， ， 将其看作关于的一次函数， ∵当时，恒大于1， ∴随的增大而减小，在时取得最小值大于等于1， ∴，解得， ∴当时，， 当时，恒大于， ∴的取值范围为； 当点在点下方时， ， 将其看作关于的一次函数， ∵当时，恒大于1， ∴随的增大而减小，在时取得最小值大于等于1， ∴，解得， ∴当时，，解得， 无解， ∴该种情况不符合题意； 综上所述，的取值范围为． 22. 某校要从甲、乙、丙三名选手中挑选一人参加第十四届创新应用科普活动．对这三名选手最近10次选拔赛测试成绩（单位：分）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲、乙两名选手10次测试成绩： 甲：85，70，95，80，85，85，75，85，70，90 乙：80，73，85，84，90，82，80，76，80，90 b．甲、乙两名选手10次测试成绩折线图： c．甲、乙两名选手10次测试成绩的平均数、中位数、众数： 选手 平均数 中位数 众数 甲 82 85 q 乙 82 p 80 d．丙选手前9次测试成绩：80，82，79，81，81，83，82，82，80 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中p的值为 ，q的值为 ； （2）在参加选拔的选手中，如果某选手得分的10个数据的方差越小，则认为该选手发挥越稳定．据此推断：甲、乙两位选手中，发挥更稳定的是 （填“甲”或“乙”）； （3）若将丙选手最后一次的测试成绩记为k（k为正整数）．学校按如下方式评估这三名选手的综合实力：首先比较10次测试的平均数，平均数较大者实力更强；若平均数相等，则比较测试成绩不低于90分的次数，次数较多者实力更强．若丙在三位选手中的综合实力排序最靠前，则符合条件的k的最小值为 ． 【答案】（1）81；85 （2）乙 （3）91 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据折线统计图可得乙的成绩波动比甲的成绩波动小，因此乙的方差更小，据此可得答案； （3）分两种情况：丙的平均数大于82和丙的平均数等于82，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：把乙选手10次测试成绩按照从低到高的顺序排列为：73，76，80，80，80，82，84，85，90，90， ∴乙选手10次测试成绩的中位数为，即， ∵甲选手10次测试成绩中，成绩为85的次数最多， ∴甲选手10次测试成绩的众数为85，即； 【小问2详解】 解：由折线统计图可知，乙的成绩波动比甲的成绩波动小，因此乙的方差更小，发挥更稳定； 【小问3详解】 解：∵甲和乙的平均数都为82， ∴当丙的平均数大于82时，丙在三位选手中的综合实力排序最靠前， ∴， ∴， 又∵k为正整数， ∴k的最小值为91； 当丙的平均数等于82时，则， 解得， 此时丙不低于90分的次数仅为1次，而甲、乙不低于90分的次数都是2次，丙排名更靠后，不符合要求， 综上所述，k的最小值为91． 23. 小明同学结合一次函数图象与性质的探究经验，构造了一个新函数： 他尝试探究该函数的图象与性质，请你帮他补充完整下面的探究过程： （1）当时，化简后的解析式为 ；当时，化简后的解析式为；结合上述分析，在给出的平面直角坐标系中，他画出了该函数在范围内的图象； （2）小明进一步研究发现，当时，该函数中y与x的几组对应值如下表所示： x 1 2 3 4 y m 1 4 ①表中 ； ②结合表中的对应值，在（1）的基础上，补全该函数在范围内的图象； （3）若直线l：（t为常数）与该函数在范围内的图象恰好有三个不同的交点，直接写出常数t的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② （3）或 【解析】 【分析】（1）根据x的取值范围得到对应的函数关系式，再化简绝对值即可得到答案； （2）①把代入中求出y的值即可得到m的值；②同（1）求出当时和当时的函数解析式，再结合表格中的数据作图即可； （3）分别求出直线恰好经过点、点和点时t的值，结合函数图象可得答案． 【小问1详解】 解：当时，； 【小问2详解】 解：①当时，， 把代入得， ∴； ②当时，， 当时，， 函数图象见答案； 【小问3详解】 解：当直线恰好经过点时，则， 解得， 当直线恰好经过点时，则，解得， 当直线恰好经过点时，则， 由函数图象可知，当或时，（t为常数）与该函数在范围内的图象恰好有三个不同的交点． 24. 已知抛物线C：（）． （1）直接写出抛物线C的对称轴； （2）若点和均在抛物线C上，且，直接写出n的取值范围； （3）将抛物线C在y轴右侧的部分关于直线翻折，y轴及左侧部分保持不变，得到新图象G．已知点和均在图象G上，求的最小值． 【答案】（1）直线 （2）或 （3）解：， 则抛物线的顶点坐标为， 根据翻折规则可得，当时，设原抛物线上一点， 则翻折后点的纵坐标为， 则， 则图象G的解析式为， ∵， ∴，， 又∵点和均在图象G上， ∴， ， ∴， ∵，开口向上，对称轴为， ∴当时，最小，最小值为． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式求解即可； （2）先求得点关于对称轴的对称点，根据可得，开口方向向下，离对称轴越近函数值越大，再根据确定出的取值范围即可； （3）先求抛物线C的顶点坐标，根据翻折规则，求得翻折后的图象解析式，然后根据的横坐标确定出的位置，从而求出，表示出，利用二次函数的性质，求得最小值即可． 【小问1详解】 解：根据二次函数的对称轴公式可得， 抛物线的对称轴为； 【小问2详解】 解：由（1）得，对称轴为， 则点关于对称轴的对称点为， 由可得，抛物线开口向下， 根据二次函数的性质可得，离对称轴越远，函数值越小， 由可得，到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 可得或； 【小问3详解】 略 25. 如图，四边形为正方形，点E是对角线上一点，连接，交边于点F． （1）猜想线段与的数量关系，并证明； （2）连接，分别取线段，的中点M，N，连接． ①依题意在图（2）中补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）解：，证明如下： 如图，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①解：如图： ②解：，证明如下： 如图，取中点K，连接， ∵N为的中点， ∴， 取中点P，连接，， ∵分别取线段，的中点M，N， ∴，，， ∵，， ∴，， 延长交于R，延长交于S， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴ ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明，得到，，根据多边形内角和求出，可知，即，根据等角对等边证明即可； （2）①根据题意补全图形即可； ②取中点K，连接，可知，取中点P，连接，，根据三角形中位线定理得到，，，，根据正方形的性质及（1）中结论得到，，延长交于R，延长交于S，根据平行线的性质及（1）中结论得到，证明，得到，可知． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 26. 在平面直角坐标系中，对于菱形和直线（直线不与轴垂直），过菱形的四个顶点，分别存在与直线平行或重合的直线，它们与轴交点的纵坐标的最大值与最小值之差，称为菱形关于直线的“纵影长”，记作．当等于菱形的对角线的长时，称直线为菱形的“等影线”． （1）如图，若菱形的顶点分别为，，，，直线，则菱形关于直线l的“纵影长”为 ，此时直线 （填“是”或“不是”）该菱形的“等影线”； （2）若菱形的顶点分别为，，，，其中，且存在直线是该菱形的“等影线”，求m的取值范围； （3）已知菱形的边长为，点，，，点D在x轴上方．若存在直线l：（）是菱形的“等影线”，且直线与菱形有公共点，直接写出的取值范围（用含的式子表示）． 【答案】（1）；不是 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先由、坐标求出对角线的长度；再过四个顶点作直线的平行线，分别求出各平行线与轴交点的纵坐标，用纵坐标最大值减去最小值得到纵影长；最后比较与的长度，即可判断直线是否为等影线； （2）先由、坐标求出对角线，明确等影线需满足，设直线解析式为，将四个顶点分别代入，得到各平行线与轴交点的纵坐标，分、两种情况计算纵影长，结合的条件，分析存在符合条件的时的取值范围即可； （3）先由菱形边长相等与证为等边三角形，得到的长度，作高利用勾股定理求出、两点坐标，设直线解析式为，代入四个顶点得到各平行线与轴交点的纵坐标，消去公共项后分、两种情况表示纵影长，令解出的两个取值，再根据直线与菱形有公共点时介于纵坐标最值之间，代入化简即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解： ∵、， ∴， 如图，过四个顶点作与平行的直线（为），设直线为， 当时，， ∴直线与轴交于， 即为直线与轴交点的纵坐标， 将四个顶点分别代入，可得各平行线与轴交点的纵坐标： ：，解得； ：，解得； ：，解得； ：，解得； ∵与轴交点纵坐标的最大值为，最小值为， ∴纵影长， ∵， ∴直线不是该菱形的“等影线”； 【小问2详解】 解：∵、， ∴， ∵直线是该菱形的“等影线” ∴纵影长， 设直线的解析式为，过菱形各顶点且与平行的直线解析式可设为，则该直线与轴交点的纵坐标为， 将四个顶点分别代入，可得各平行线与轴交点的纵坐标： ：，解得； ：，解得； ：，解得； ：，解得； 纵影长为四个纵坐标的最大值减去最小值，分两种情况讨论： ①当时， ∵最大值为，最小值为 ∴， ∵， ∴，解得， 此时取即可满足，存在符合条件的直线，故成立； ②当时 ∵最大值为，最小值为， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∴， 又， ∴，存在符合条件的直线； 综上，的取值范围是； 【小问3详解】 解：如图，过点作轴，垂足为，连接， ∵四边形是菱形，边长为， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵直线是该菱形的“等影线”， ∴纵影长， ∵是等边三角形，， ∴是的中点，， 中，由勾股定理得 ， ∵点，， ∴点坐标为，点坐标为， 设直线的解析式为，过菱形各顶点且与平行的直线解析式可设为，则该直线与轴交点的纵坐标为， 将四个顶点分别代入，可得各平行线与轴交点的纵坐标： ：，解得； ：，解得； ：，解得； ：，解得； ∵四个纵坐标都含有公共项， ∴最大值与最小值的差（纵影长）与无关，仅由决定，分两种情况讨论： ①当时 ∵越大，的值越小，对应的越小， ∴四个纵坐标中，最小值对应点，最大值对应点， ∴， ∵， ∴，解得（满足）， ∵直线与菱形有公共点时，的取值在四个顶点对应纵坐标的最小值与最大值之间， ∴，即， 把代入化简，得 ； ②当时， ∵越大，的值越大，对应的越大， ∴四个纵坐标中，最小值对应点，最大值对应点， ∴ ∵， ∴，解得（满足）， ∵直线与菱形有公共点时，的取值在四个顶点对应纵坐标的最小值与最大值之间， ∴，即， 把代入化简，得 ； 综上，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $