北京市十一学校2025-2026学年八年级（下）期末数学试卷（Ⅲ）

**基本信息** 立足八年级下册核心知识，融合生活实践与跨学科情境，突出数学思维与创新应用，如重庆机车订单增长、化学试剂挥发实验等真实问题考查模型意识与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题/16分|二次根式、勾股定理、增长率方程等|第3题以重庆机车夺冠为背景，考查一元二次方程应用，体现时代性| |填空题|10题/20分|几何图形性质、统计量分析、函数综合等|第12题通过汉字输入比赛数据，考查方差与中位数的实际意义，培养数据意识| |解答题|9题/64分|二次函数综合、几何证明、统计建模等|第25题结合化学试剂挥发实验数据，构建函数模型并分析变化趋势，发展应用意识与创新思维|

2025-2026学年北京市十一学校八年级（下）期末数学试卷（Ⅲ） 一、选择题（每题2分，共16分） 1．的计算结果是（　　） A． B． C． D． 2．方圆同学测量旗杆的高度时发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩2米（如图1），绳子末端在地面上离旗杆底部的距离AB为6米（如图2），则旗杆的高度BC为（　　） A．8米 B．10米 C．12米 D．13米 3．今年三月，重庆某机车在国际顶级赛事中夺冠，让“重庆制造”惊艳全球．受此影响，预计五月份的订单将达到4万辆．设这两个月订单的平均月增长率为x，根据题意可列方程为（　　） A．0.8（1+2x）＝4 B．0.8（1+x）＝4 C．0.8（1+x）2＝4 D．0.8（1+x）3＝4 4．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，△AEF为等边三角形，点E，CD上滑动，且E，C，D重合，则四边形AECF的面积是（　　） A． B．4 C．3 D． 5．把数据2，6，12，4，8按从小到大排列后，能使“组内离差平方和”最小的是（　　） A．第一组：2；第二组：4，6，8，12 B．第一组：2，4；第二组：6，8，12 C．第一组：2，4，6；第二组：8，12 D．第一组：2，4，6，8；第二组：12 6．定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x＝y（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡点”．当﹣2≤x≤4时，直线y＝2x+m上有“平衡点”（　　） A．0≤m≤2 B．﹣2≤m≤2 C．﹣4≤m≤2 D．﹣4≤m≤0 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过正方形OABC的顶点A和C（1，﹣2），则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c（a，c为常数，a＜0）的图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，若0≤x2≤m，x2﹣x1≥2，则下列说法错误的是（　　） A．若0＜m＜2，则y2≥c B．若0＜m＜3，则y2＞y1 C．若0＜m≤4，则y2≥c D．若3＜m＜4，则y1＞y2 二、填空题（每题2分，共20分） 9．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是　 　 ． 10．如图，点E是矩形ABCD的对角线AC的延长线上一点，若AC＝2BE，则∠E＝　 　 °． 11．如图，杆秤是我国古代发明的利用杠杆原理来称物品重量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离y与所挂物重x之间满足一次函数关系，此时挂重物为　 　 kg． x/kg 0 1 2 y/cm 2.5 8 13.5 12．某校八年级甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，两个班参加比赛的学生每分钟输入汉字的个数经统计和计算后结果如表： 班级 参加人数 平均数 中位数 方差 甲 55 135 149 191 乙 55 135 151 110 有一位同学根据表格得出如下结论： ①甲、乙两班学生的平均水平相同； ②若规定每分钟输入汉字达150个以上为优秀，则乙班优秀的人数比甲班优秀的人数多； ③乙班学生比赛成绩的波动比甲班学生比赛成绩的波动大． 上述结论正确的是　 　 （填写序号）． 13．若2是关于x的一元二次方程ax2+4ax﹣2＝0（a≠0）的一个根，则一元二次方程a（x﹣1）2+4a（x﹣1）﹣2＝0的根为　 　 ． 14．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣6x+k+3＝0两个不等实数根，且满足5|x1|＝x2+6，则k的值为　 　 ． 15．抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣12＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法： ①ab＞0； ②4a+c＞0； ③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1； ④不等式ax2+bx+c＞kx+c的解集是﹣3＜x＜0； ⑤当x＝1时，二次函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值． 其中正确的有　 　 （填写序号）． 16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，平面上有一点P且满足AP＝2，取BP的中点，连接CG，CG的最大值是　 　 ． 17．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）上的两点，当t﹣1＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+4时，都有y1＞y2，则t的取值范围为　 　 ． 18．某工厂响应绿色环保政策，安排60名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件，B零件生产过程需节能减排，C零件为新材料研发产品．在该时段内，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，扣除各种成本，加工A零件每件获利9元，每件获利64元，每多加工1件；加工C零件每件获利20元，同时每生产一件C零件可获得政府的环保研发补贴3元． （1）当安排28名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为　 　 ； （2）合理安排工人分工使工厂在规定时段内获利最大时，加工B零件的人数为　 　 ． 三、解答题（共64分，其中第19题8分，第20题5分，第21题8分，第22、23题各6分，第24题8分，第25题5分，第26、27、28题各6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 19．解方程： （1）； （2）2（x2+x）2﹣（x2+x）﹣3＝0． 20．已知关于x的方程mx2﹣（2m+2）x+m+2＝0． （1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． （2）若关于x的方程mx2﹣（2m+2）x+m+2＝0根为正整数，求整数m的值． 21．已知：二次函数y＝ax2+bx+c，y与x的一些对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 4 … ax2+bx+c … m 3 n ﹣1 3 … （1）根据表格中的数据，确定二次函数解析式为　 　 ； （2）表格中空白处的值m＝　 　 ，n＝　 　 ； （3）用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数y＝ax2+bx+c的图象，并回答：顶点坐标为　 　 ，对称轴方程为　 　 ； （4）当0＜x≤t时，﹣1≤y＜3，则t的取值范围为　 　 ． 22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AD＝13，BD＝10，求OE的长． 23．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣1，3）和（2，0）． （1）求k，b的值； （2）当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx+4（m≠0），又大于函数的值 24．为提升全体学生的国家安全素养，普及国家安全相关知识，年级在4月15日全民国家安全教育日来临之际，相关资料如下： 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，62，70，81，93 乙：92，93，70，82，75，80，92 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 84.8 70 a 161.36 乙 86.3 b 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）求甲组学生竞赛成绩的第一四分位数Q1＝　 　 ，第三四分位数Q3＝　 　 ，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 25．为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在A、B两种不同的场景下做对比实验，分别收集了试剂挥发过程中剩余质量yA（克）和yB（克）与时间x（分钟）（0≤x≤20）的部分数据： x（分钟） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 yA（克） 21.0 20.5 19.5 18.0 16.0 13.5 10.5 7.0 3.0 yB（克） 21.0 18.5 16.0 13.5 11.0 8.5 m 3.5 1.0 经研究发现，可以分别用函数刻画yA，yB与x之间的关系．场景A下试剂挥发过程中的剩余质量yA与时间x近似满足函数关系：，yB与x近似满足一次函数关系，图象如图所示． （1）写出表中m的值：　 　 ，并在给定的平面直角坐标系中画出场景A下试剂挥发过程中的剩余质量yA（克）与时间x（分钟）的函数图象； （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在场景A下，剩余质量随时间减少的变化趋势是　 　 ； A．匀速变化 B．先快后慢 C．先慢后快 ②查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在场景　 　 （填“A”或“B”）下发挥作用的时间更长； （3）当5≤x≤15时，两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第　 　 分钟（结果保留小数点后一位）． 26．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点． （1）对称轴方程为　 　 ，用含a的代数式表示c，则c＝　 　 ； （2）一次函数y＝2x+3a与y＝|ax2+bx+c|有且只有3个公共点时，求a的值； （3）过点P（t，0）作垂直于x轴的直线分别与一次函数y＝2x+3a，二次函数y＝ax2+bx+c交于E，F两点，满足当﹣1≤t≤1的时候，求a的取值范围． 27．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α＜30°，E． （1）如图1，用等式表示DE和AC之间的数量关系，并证明． （2）如图2，将射线AC绕点A逆时针旋转2α交线段DE于点F． ①依题意补全图形； ②用等式表示AF，EF，DE之间的数量关系 28．在平面直角坐标系xOy中，对于图形M，N给出如下定义：P为图形M上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，记为d（M，N）． 已知：正方形ABCD，其中A（﹣1，1），B（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），D（1，1）． （1）已知点P（0，t）， ①若t＝4，则d（点P，正方形ABCD）＝　 　 ； ②若d（点P，正方形ABCD）＝5，则t＝　 　 ． （2）已知点E（m，3），F（m+1，3），若5＜d（线段EF，正方形ABCD）＜，直接写出m的取值范围． （3）一次函数y＝kx+4k的图象与x轴交于点G，与y轴交于点H，直接写出d（线段GH，正方形ABCD），以及此时k的取值范围． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/4 9:24:01；用户：聂伟；邮箱：15284038568；学号：44743775 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $