精品解析：河南洛阳市洛宁县2025-2026学年第二学期期末学情调研八年级数学试题

2025-2026学年第二学期期末学情调研八年级 数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，3大题23小题；时间100分钟，满分120分；闭卷考试． 2．本试卷设有答题卡，请将答案写涂在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简分式的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、是最简分式，故此选项符合题意； B、，故此选项不是最简分式，不符合题意； C、，故此选项不是最简分式，不符合题意； D、，故此选项不是最简分式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，熟练掌握此定义是解题的关键． 2. 对于一次函数，下列说法错误的是（ ） A. 随的增大而减小 B. 图象与轴交点为 C. 图象经过第一、二、四象限 D. 图象经过点 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，与坐标轴的交点，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：中，， A. ，随的增大而减小，故该选项正确，不符合题意； B. 当时，，则图象与轴交点为，故该选项正确，不符合题意； C. ∵，则图象经过第一、二、四象限，故该选项正确，不符合题意； D. 当时，，则图象经过点，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了一次函数图象的增减性，求函数值，与坐标轴交点，能正确根据k判断增减性是解题的关键． 3. 2026年“五四”青年节到来之际，为传承五四精神，某校举办了演讲比赛，八（1）班派出6位同学参赛，成绩如下表所示，则下列选项中不正确的是（ ） 参赛选手 1号 2号 3号 4号 5号 6号 成绩/分 98 96 97 90 99 96 A. 6位参赛同学成绩的众数是96分 B. 6位参赛同学成绩的中位数是96.5分 C. 6位参赛同学成绩的平均数是96分 D. 6位参赛同学成绩的方差是10 【答案】D 【解析】 【分析】按照众数、中位数、平均数、方差的定义逐步计算即可找出错误选项． 【详解】解：先将6位同学的成绩从小到大排列得：， ∵96出现次数最多，为2次， ∴众数为96分，A正确； ∵6个数据的中位数为第3，第4个数据的平均数，即分，B正确； ∵平均数分，C正确； ∵方差，D错误． 4. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的性质，特别是图象共存的问题，掌握以上知识是解题的关键．根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项错误，不符合题意； B、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项正确，符合题意； C、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项错误，不符合题意； D、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ∴一次函数的图象经过一、二、三象限，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 5. 如图，点，，分别是各边上的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，首先得到，是的中位线，得到，，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】∵点，，分别是各边上的中点， ∴，是的中位线 ∴， ∴ ∵ ∴． 故选：C． 6. 下列说法中，错误的是（    ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 四个角都相等的四边形是矩形 C. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 D. 邻边相等的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法可以判断出四个选项正误． 【详解】解：、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形正确； B、四个角都相等的四边形是矩形正确； C、两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形正确； D、邻边相等的四边形是正方形错误，例如：菱形邻边也相等； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，关键是熟记各种四边形的判定定理． 7. 如图，在菱形中，E，F分别为边的中点，已知，则菱形的面积是（ ） A. 18 B. 24 C. 27 D. 54 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，菱形的性质，熟练掌握中位线的性质是解题的关键． 根据中位线的性质得出，进而利用菱形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 连接，如图所示： ∵在菱形中，、分别是的中点， ∴， ∴菱形的面积为， 故选：C． 8. 如图，正方形的两条对角线相交于点，点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得∠CBD=∠ACB=45°，再由，可得∠BCE=67.5°，即可求解． 【详解】解：在正方形ABCD中，∠CBD=∠ACB=45°， ∵， ∴， ∴∠ACE=∠BCE-∠ACB=22.5°． 故选：A 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 9. 如图是反比例函数的图象，等腰的直角顶点A恰好在图象上，点B和点C分别落在y轴和x轴上，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，构造一线三等角，然后证得，证得点的横纵坐标相等，将点代入反比例函数中求解． 【详解】解：过点作轴的平行线，交轴于点，过点作交的延长线于点， ， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴点的横纵坐标的绝对值相等， 又∵点在第一象限， ∴点的横纵坐标相等， 设点，，且点在反比例函数上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 10. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（）是液体的密度ρ（）的反比例函数，其图象如图所示（）．下列说法不正确的是（ ） A. h随ρ的增大而减小 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用以及反比例函数图象性质．先根据题中函数图象所给的条件，可设（），将，代入函数解析式，求出k值，从而求得．随后根据反比例函数图象性质逐一分析各个选项的说法，判断正误，得出答案． 【详解】解：∵浸在液体中的高度h（）是液体的密度ρ（）的反比例函数， ∴可设（）， ∵由图象可知，当时，， ∴， ∴． 对于A选项：当时，h随ρ的增大而减小，说法正确，不符合题意； 对于B选项：令，则， 结合函数图象可知，当时，，即该说法正确，不符合题意； 对于C选项：当时，，即该说法正确，不符合题意； 对于D选项：令，则， 解得：， 结合函数图象可知，当时，， ∴该说法不正确，符合题意． 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 将数字用科学记数法表示应为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 如图，一次函数y=﹣x﹣2与y=2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组的解集为_____． 【答案】﹣2＜x＜2 【解析】 【分析】先将点P（n，﹣4）代入y=﹣x﹣2，求出n的值，再找出直线y=2x+m落在y=﹣x﹣2的下方且都在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可． 【详解】∵一次函数y=﹣x﹣2的图象过点P（n，﹣4）， ∴﹣4=﹣n﹣2，解得n=2， ∴P（2，﹣4）， 又∵y=﹣x﹣2与x轴的交点是（﹣2，0）， ∴关于x的不等式组的解集为 故答案为 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确定出n的值，是解答本题的关键． 13. 要做一个平行四边形框架，只要将两根木条AC、BD的中点重叠并用钉子固定，这样四边形ABCD就是平行四边形，这种做法的依据是 _______________________. 【答案】两条对角线分别平分的四边形是平行四边形 【解析】 【详解】解：根据题意得出OA=OC，OB=OD， 所以利用两条对角线分别平分的四边形是平行四边形，可以判定四边形是平行四边形， 故答案为：两条对角线分别平分的四边形是平行四边形． 14. 如图，四边形是菱形，，，于，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高． 由四边形是菱形，，，可求得此菱形的面积与的长，求得答案． 【详解】解：设与交于， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ， ∴，， ∵， ∴ ． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，的长为__________． 【答案】 或 【解析】 【分析】根据题意，分类讨论：当时，可证四边形是正方形，则，得到；当时，可得点A，，C共线，由勾股定理得到，设，则，在中由勾股定理列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 如图所示，当时，为直角三角形， ∴， ∴四边形是矩形， ∵折叠， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴； 如图所示，当时，为直角三角形， ∵折叠， ∴，，， ∴，即点A，，C共线， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，的长为2或5 ． 三、解答题：（本题共8小题，共75分．） 16. 计算及化简： （1）计算：； （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由算术平方根的定义可知，由负整数指数幂的运算法则可知，由指数幂的运算法则可知，再根据有理数的加法法则计算即可； （2）根据分式的运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 随着科技的发展，人工智能已经悄然运用在各行各业．现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分（百分制且得分用表示），然后对数据进行整理和分析，共分为四组：，，，，，下面给出了部分信息．抽取的对甲款人工智能软件的所有评分数据：64，71，74，75，78，78，84，85，85，85，86，89，90，91，93，96，98，99，99，100． 抽取的对乙款人工智能软件的评分数据中组包含的所有数据：91，90，88，88，87，87，87，86． 抽取的对甲、乙两款人工智能软件的评分统计表 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 85.5 104.5 乙 86 87 69.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若此次调查用户对甲款人工智能软件进行了评分的有600名，对乙款人工智能软件进行了评分的有800名，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的用户总人数． 【答案】（1）87，85，20 （2）解：乙款人工智能软件更受用户欢迎，理由： ∵甲款和乙款人工智能软件评分的平均数相同，乙款人工智能软件评分的方差小于甲款的方差， ∴乙款人工智能软件比较稳定， ∴乙款人工智能软件更受用户欢迎； （3）估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意的用户总人数为370人 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数的确定方法，求出，利用组个数除以总数求出即可； （2）利用方差判断稳定性即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：甲中数据出现次数最多的是85， ∴， ∵乙中组数据有：（个），组数据有：（个），组数据有：8个， ∴组数据个数有：（个），从小到大排列位于第10个和第11个数据均为87， ∴，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人） 答：估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意的用户总人数为370人． 18. 如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于，两点，且点的横坐标和点的纵坐标都是，直线交轴于点． （1）求一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）请直接写出反比例函数图象在一次函数图象上方时，的取值范围． 【答案】（1） （2）6 （3）或 【解析】 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的图象与性质等知识，注意数形结合思想的运用． （1）根据点A的横坐标与B点的纵坐标都为，分别代入反比例函数式中即可求得A、B的坐标，再利用待定系数法即可求得直线解析式； （2）由（1）所求直线解析式可求得点M的坐标，再由即可求解； （3）观察函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：反比例函数与一次函数的图象交于，两点，且点的横坐标和点的纵坐标都是， ，， 一次函数的图象过、两点， ， 解得：， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：观察函数图象发现： 当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方． 19. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF． （1）求证：四边形DEFB是平行四边形； （2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长． 【答案】 （1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE//BC，BC＝2DE， ∵CF＝3BF， ∴BC＝2BF， ∴DE＝BF， ∴四边形DEFB是平行四边形； （2）平行四边形DEFB的周长＝ 【解析】 【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，BC＝2DE，再证DE＝BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形； （2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形， ∴BD＝EF， ∵D是AC的中点，AC＝12cm， ∴CD＝AC＝6（cm）， ∵∠ACB＝90°， ∴BD＝＝10（cm）， ∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形DEFB为平行四边形是解题的关键． 20. 如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得，根据平行线的性质，得，；再根据为线段的中点，全等三角形的判定，则，根据矩形的判定，即可； （2）过点作于点，根据勾股定理，求出的长，再根据四边形的面积等于，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积等于， ∵，， ∵点是对角线的中心， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 【点睛】本题考查矩形，平行四边形，全等三角形的知识，解题的关键是矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． 21. 如图，在中，平分交于，作交于点，作交于点． 求证：四边形是菱形． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定，涉及平行四边形的判定和角平分线的性质，以及等角对等边，根据题意可证得四边形为平行四边形，结合角平分线的性质和平行线的性质即可证明为菱形． 【详解】证明：∵， ∴四边形为平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则四边形是菱形． 22. 依据《济南市深化体教融合促进青少年健康发展实施方案》要求，我市推进校园足球、排球普及工程，某中学计划采购一批足球与排球，已知足球单价是排球单价的1.5倍，用960元购买足球的数量比用360元购买排球的数量多7个． （1）求足球和排球的单价各是多少元？ （2）该校计划购买足球和排球共50个，其中排球个，足球数量不少于排球数量的，设购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出最少购买费用． 【答案】（1）足球单价是60元，排球单价是40元 （2）函数关系式为且为整数，最少购买费用是2400元 【解析】 【分析】（1）设排球单价是元，则足球单价是元，再列分式方程求解即可； （2）已知排球个，则足球数量为个，进而可得且为整数，再结合一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设排球单价是元，则足球单价是元， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则足球单价为（元）， 答：足球的单价是60元，排球的单价是40元； 【小问2详解】 解：已知排球个，则足球数量为个， 购买总费用， 因为足球数量不少于排球数量的，所以，解得， 又因为为非负整数，所以且为整数， 对于一次函数，，随的增大而减小， 所以当时，取得最小值，（元）， 答：与的函数关系式为，最少购买费用为2400元． 23. 探究下列问题： （1）如图，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．求证：； （2）如图，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请你利用（1）的结论证明：； （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图3，在四边形中，，，，是线段上一点，且，，，求线段的长度． 【答案】（1）证明：∵正方形， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图，延长，并在延长线上取一点，使得， 由（1）得， ∴，， ∵正方形， ∴， ∵ ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质结合题意即可证明，再根据全等的性质即可求证； （2）延长，并在延长线上取一点，使得，根据（1）的证明方法可得，再运用全等的性质和正方形的性质结合题意，即可证明，最后根据等量代换即可求证； （3）延长，过点作交延长线于点，并在延长线上取一点，使得，先证明四边形为正方形，再根据（1）（2）中的解法分别证明、，通过全等的性质和等量代换可得，最后设，求出，，根据勾股定理即可构造方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，延长，过点作交延长线于点，并在延长线上取一点，使得， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴，， ∵在中，， ∴根据勾股定理，，即， 整理得：， 解得：， ∴线段的长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末学情调研八年级 数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，3大题23小题；时间100分钟，满分120分；闭卷考试． 2．本试卷设有答题卡，请将答案写涂在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于一次函数，下列说法错误的是（ ） A. 随的增大而减小 B. 图象与轴交点为 C. 图象经过第一、二、四象限 D. 图象经过点 3. 2026年“五四”青年节到来之际，为传承五四精神，某校举办了演讲比赛，八（1）班派出6位同学参赛，成绩如下表所示，则下列选项中不正确的是（ ） 参赛选手 1号 2号 3号 4号 5号 6号 成绩/分 98 96 97 90 99 96 A. 6位参赛同学成绩的众数是96分 B. 6位参赛同学成绩的中位数是96.5分 C. 6位参赛同学成绩的平均数是96分 D. 6位参赛同学成绩的方差是10 4. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点，，分别是各边上的中点，，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中，错误的是（    ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 四个角都相等的四边形是矩形 C. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 D. 邻边相等的四边形是正方形 7. 如图，在菱形中，E，F分别为边的中点，已知，则菱形的面积是（ ） A. 18 B. 24 C. 27 D. 54 8. 如图，正方形的两条对角线相交于点，点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是反比例函数的图象，等腰的直角顶点A恰好在图象上，点B和点C分别落在y轴和x轴上，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（）是液体的密度ρ（）的反比例函数，其图象如图所示（）．下列说法不正确的是（ ） A. h随ρ的增大而减小 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 将数字用科学记数法表示应为__________． 12. 如图，一次函数y=﹣x﹣2与y=2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组的解集为_____． 13. 要做一个平行四边形框架，只要将两根木条AC、BD的中点重叠并用钉子固定，这样四边形ABCD就是平行四边形，这种做法的依据是 _______________________. 14. 如图，四边形是菱形，，，于，则_____． 15. 如图，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，的长为__________． 三、解答题：（本题共8小题，共75分．） 16. 计算及化简： （1）计算：； （2）化简： 17. 随着科技的发展，人工智能已经悄然运用在各行各业．现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分（百分制且得分用表示），然后对数据进行整理和分析，共分为四组：，，，，，下面给出了部分信息．抽取的对甲款人工智能软件的所有评分数据：64，71，74，75，78，78，84，85，85，85，86，89，90，91，93，96，98，99，99，100． 抽取的对乙款人工智能软件的评分数据中组包含的所有数据：91，90，88，88，87，87，87，86． 抽取的对甲、乙两款人工智能软件的评分统计表 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 85.5 104.5 乙 86 87 69.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若此次调查用户对甲款人工智能软件进行了评分的有600名，对乙款人工智能软件进行了评分的有800名，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的用户总人数． 18. 如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于，两点，且点的横坐标和点的纵坐标都是，直线交轴于点． （1）求一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）请直接写出反比例函数图象在一次函数图象上方时，的取值范围． 19. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF． （1）求证：四边形DEFB是平行四边形； （2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长． 20. 如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 21. 如图，在中，平分交于，作交于点，作交于点． 求证：四边形是菱形． 22. 依据《济南市深化体教融合促进青少年健康发展实施方案》要求，我市推进校园足球、排球普及工程，某中学计划采购一批足球与排球，已知足球单价是排球单价的1.5倍，用960元购买足球的数量比用360元购买排球的数量多7个． （1）求足球和排球的单价各是多少元？ （2）该校计划购买足球和排球共50个，其中排球个，足球数量不少于排球数量的，设购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出最少购买费用． 23. 探究下列问题： （1）如图，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．求证：； （2）如图，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请你利用（1）的结论证明：； （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图3，在四边形中，，，，是线段上一点，且，，，求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $