1.5等腰三角形 一课一练 2026--2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 苏科版八年级数学上册等腰三角形同步练，新授课使用，含选择12题、填空4题、解答5题共21题。分层梯度从基础概念到综合应用，结合几何直观与推理意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|等腰三角形性质与判定、角度计算|单选题1-3考查角度转化，填空题13分类讨论边长，体现抽象能力| |提升层|轴对称应用、动态问题、三线合一|单选题6最短路径问题，填空题14动点路径分析，培养空间观念与推理意识| |拓展层|全等与旋转综合、网格作图、模型构建|解答题18旋转作图，21正方形模型应用，发展创新意识与模型意识|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026-2027学年苏科版新教材八年级数学上册 · 第一章三角形1.5等腰三角形一课一练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在中，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边对等角 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等腰三角形两底角相等，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】垂线段最短、三线合一、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、垂线段最短、等腰三角形的性质以及三角形的面积， 由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．利用点到直线垂线段最短找出的最小值为是解题的关键． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴垂直平分， ∴， 过点B作于点Q，交于点P， 则此时取最小值，最小值为的长，如图所示． ∵， ∴． 故选：D． 3．日常生活中，我们观察到的池塘水深比实际情况浅一些．如图，眼睛看到的点实际是在更深处的池底点处（点，在一条竖直直线上）．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用邻补角互补求角度、直角三角形的两个锐角互余、对顶角相等 【分析】利用邻补角的性质求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余求出，最后利用对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵点在一条竖直直线上， ， ， ， ∵水面 水平，竖直直线垂直于水面， ， ∴， ∵人眼逆着折射光线看去，感觉光线是从发出的， ∴点在同一直线上， 又∵点在同一直线上， ∴ 和是对顶角， ． 4．如图，在中，，的边经过的中点E，若，则的长为（    ） A．3 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据勾股定理和直角三角形斜边中线的性质求出的长，再结合及线段的和差关系即可求解． 【详解】解：∵在中，，为的中点 ∴ （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ∵， ∴ ∵点在上 ∴ 5．已知与的边与交于点，，，，为的中点，连接，则下列说法正确的有（ ） （1）是个等腰三角形；（2）垂直平分；（3）平分；（4）这个图形是轴对称图形；（5）； A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】利用全等三角形的判定ASA证明△ABE≌△CDE，则AE=CE，可判断（1）；再根据等腰三角形的三线合一性质可判断（2）；根据等腰三角形的等边对等角可求得∠EAC=∠ACB=30°，再由直角三角形的两锐角互余可求得∠DCA=60°，进而可求得∠DCE=∠ACB=30°，利用角平分线的定义可判断（3）；根据轴对称图形的定义可判断（4）；根据角平分线的性质证得DE=EF，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可证得，进而可判断（5）． 【详解】解：在△ABE和△CDE中， ， ∴△ABE≌△CDE（ASA）， ∴AE=CE， ∴△AEC是等腰三角形，故（1）正确； ∵F为AC的中点， ∴EF⊥AC，AF=CF， ∴EF垂直平分AC，故（2）正确； ∵AE=CE， ∴∠EAC=∠ACB=30°， ∵∠D=90°， ∴∠ACD=60°， ∴∠DCE=∠ACB=30°， ∴CE平分∠ACD，故（3）正确； 又∵∠D=90°，EF⊥AC，∠EAC=30°， ∴DE=EF，， ∵AD=AE+DE=3EF， ∴EF= AD，故（5）正确； 根据轴对称图形的定义，这个图形是轴对称图形，EF所在的直线是对称轴， 故（4）正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、轴对称图形的定义，熟练掌握这些知识的联系和运用是解答的关键． 6．如图，等腰三角形的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．8 B．11 C．10 D．12 【答案】B 【知识点】垂线段最短、三线合一 【分析】连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点A关于直线的对称点为点C，，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，． ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点A关于直线的对称点为点C，， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故选B． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，垂线段最短的应用，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 7．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接，并延长交于点，则下列说法：①平分；②；③若、则点D到的距离是1；其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】根据等角对等边证明边相等、作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质与作图、等腰三角形的判定．解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质．根据作图的过程可以判定是的角平分线；利用等角对等边可以证得的等腰三角形；根据点到的距离与相等即可判断． 【详解】解：由作法得平分， ①正确； ∵， ∴，而平分， ∴， ∴， ∴②正确； 在 中，∵， ∴，又点到的距离与相等， ∴点到的距离是1， ∴③正确； 故选：D． 8．如图，在四边形中，垂直平分，垂足为，下列结论不一定成立的是（   ） A． B．平分 C． D． 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】先由垂直平分线的性质得，，，再证明，故平分，进一步可得答案． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，，，故A，C选项成立， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故B选项成立， 没有可证明的条件，故D选项不一定成立． 9．如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（    ） A．4.5 B．5.5 C．6 D． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，中垂线的判定和性质，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．连接交于点O，由题意可证垂直平分，，是等边三角形，是等腰三角形，作差计算即可． 【详解】解：连接交于点O， ∵ ∴垂直平分，是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，是等腰三角形， ∴，， ∴． 故选C． 10．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 11．如图，在△ABC中，平分．若，则等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形、根据等角对等边证明边相等、三角形角平分线的定义 【分析】利用角平分线的性质得到，从而得到，最后根据“在直角三角形中，所对边是斜边的一半”求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的性质、最短路径问题 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点的位置． 根据对称性和等边三角形的性质，过点B作交于点F，连接，此时取得最小值，借助等边三角形的性质得，，即可求解． 【详解】解：过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 13．已知等腰三角形的三边长分别为13，，则该等腰三角形的底边长为_________． 【答案】3或13 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形．分，和三种情况分别求出x的值，从而确定出三角形的三边，再根据三角形的任意两边之和大于第三边进行判断，最后根据三角形的周长的定义即可求解． 【详解】解：分以下三种情况： ①当， 解得， ，， 三角形的三边分别为8、8、13，， ∴此时能组成三角形； ∴底边长为13； ②， 解得， ， 三角形的三边分别为13、13、3，， ∴此时能组成三角形，底边为3； ③， 解得， 综上所述，该三角形的底边等于3或13． 故答案为：3或13 14．如图，在中，，，，点为边上一动点，过点作交于点．当点从点运动到点时，的最大值为______，点运动的路径长为______． 【答案】 【知识点】垂线段最短、斜边的中线等于斜边的一半、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了直角三角形的性质，垂线段最短，取的中点，连接，过点作于点，可得，，由直角三角形的性质得，设，则，得，，即得，进而可得，最后得，解不等式可求出的最大值，又知当点在点时与重合，当点在点时又与重合，即由最大值又回到，据此可求出点运动的路径长，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：取的中点，连接，过点作于点， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设，则， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 即， ∴的最大值为， 当点在点时与重合，当点在点时又与重合，即由最大值又回到， ∴点运动的路径长为＝， 故答案为：，． 15．如图，在中，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是_________． 【答案】7或9/9或7 【知识点】用勾股定理解三角形、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．过点A作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则，利用勾股定理得出得长度，根据三角形面积公式得出长，设，则，表示出，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴在中，，即， 解得，即， 解得或9， 即或9， 故答案为：7或9． 16．如图，在等边三角形中，是中线，将绕点顺时针旋转得到，连接，若的面积为，则的面积为_______． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质、根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定及性质、旋转的性质，平行线的判定，熟练掌握等边三角形的性质和旋转的性质是解题的关键． 通过取中点，连接，先证为等边三角形，得出且，确定为的高，再结合与的关系及的面积求解． 【详解】解：取的中点，连接． ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形． ∵是的中点， ∴（等边三角形三线合一）． ∵是等边三角形，是中线， ∴， ∴（垂直于同一直线的两条直线平行）， ∴是的高． ∵是的中点， ∴． ∵是等边的中线， ∴． 又∵，， ∴． 故答案为：． 三、解答题 17．图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． (1)在图①中，是面积最大的等腰三角形； (2)在图②中，是面积最大的直角三角形； (3)在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2)如图所示，即为所求； (3)如图所示，即为所求． 【知识点】格点图中画等腰三角形、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据面积最大，且为等腰三角形，顶点均在格点上； （2）根据面积最大，且为直角三角形，顶点均在格点上； （3）作个腰长为的等腰直角三角形，顺次连接A、B、C，则即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 18．如图，是等边三角形，D，E两点分别在边AB和AC上，满足，与交于点F． (1)求的度数； (2)以C为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，点N为的中点，连接． ①依题意补全图形； ②若，求k的值． 【答案】(1) (2) ①依题意补全图形如图1所示； ②k的值为2 【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结果； （2）①根据题意画出图形即可；②首先先作辅助线，得到，然后再作辅助线得到，证明出来，再作出辅助线得到，最后推出是等边三角形，即可得到结果． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， 在中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：①略 ②如图2中，由（1）知， ∴， ∴， ∴， 如图2中，延长到Q，使得，连接， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长到P，使得，则是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的综合题，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确找到全等三角形． 19．如图，，E是上的一点，且，，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】根据等角对等边证明边相等、用HL证全等（HL） 【分析】利用等角对等边，推出，再根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴． 20．如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2) 证明：由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 【知识点】利用平移的性质求解、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． （2）略 21．【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 试卷第18页，共24页 试卷第17页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026-2027学年苏科版新教材八年级数学上册 · 第一章三角形1.5等腰三角形一课一练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在中，，则（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 3．日常生活中，我们观察到的池塘水深比实际情况浅一些．如图，眼睛看到的点实际是在更深处的池底点处（点，在一条竖直直线上）．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，的边经过的中点E，若，则的长为（    ） A．3 B．5 C．6 D．10 5．已知与的边与交于点，，，，为的中点，连接，则下列说法正确的有（ ） （1）是个等腰三角形；（2）垂直平分；（3）平分；（4）这个图形是轴对称图形；（5）； A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．如图，等腰三角形的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．8 B．11 C．10 D．12 7．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接，并延长交于点，则下列说法：①平分；②；③若、则点D到的距离是1；其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．如图，在四边形中，垂直平分，垂足为，下列结论不一定成立的是（   ） A． B．平分 C． D． 9．如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（    ） A．4.5 B．5.5 C．6 D． 10．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 11．如图，在△ABC中，平分．若，则等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 12．如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．已知等腰三角形的三边长分别为13，，则该等腰三角形的底边长为_________． 14．如图，在中，，，，点为边上一动点，过点作交于点．当点从点运动到点时，的最大值为______，点运动的路径长为______． 15．如图，在中，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是_________． 16．如图，在等边三角形中，是中线，将绕点顺时针旋转得到，连接，若的面积为，则的面积为_______． 三、解答题 17．图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． (1)在图①中，是面积最大的等腰三角形； (2)在图②中，是面积最大的直角三角形； (3)在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 18．如图，是等边三角形，D，E两点分别在边AB和AC上，满足，与交于点F． (1)求的度数； (2)以C为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，点N为的中点，连接． ①依题意补全图形； ②若，求k的值． 19．如图，，E是上的一点，且，，求证：． 20．如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 21．【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $