1.5.4 直角三角形斜边上的中线及三角形面积的计算巩固练习 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦直角三角形斜边上的中线及三角形面积计算，采用“提优点+专题提优”分层设计，通过基础应用到综合迁移的梯度题组，培养几何直观与推理能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |提优点|直角三角形斜边上的中线性质，从基础计算到动态滑动、平移变换及证明|选择填空巩固性质应用，证明题（如第6题）培养逻辑推理能力| |专题提优|三角形面积计算，从单一中线分面积到线段比值、面积法综合应用|操作题（如第2题）发展空间观念，综合题（如第5题）提升模型意识与迁移能力|

1.5.4直角三角形斜边上的中线及三角形 面积的计算 直角三角形斜边上的中线 1如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC=60°，AC=6,则BC的长 是() A.3B.4C.5D.6 答案：A 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10AC=8,BC=6,线段DE的两 个端点D,E分别在边AC,BC上滑动，且DE=4,若M,N分别是DE,AB的中点， 则MN的最小值为() A.2B.3C.3.5D.4 答案：B 解析：如图，连接CM,CN,在△ABC中， ∠ACB=90°，AB=10,AC=8,BC=6.:DE=4,M,N分别是DE,AB的中点， :CN=AB=5,CM=DE=2.:MN≥CN-CM,·当点C,M,N在同一直线上时， MN取最小值，·MN的最小值为5-2=3.故选B. 1/9 D M C B 3.如图，四边形ABCD中，∠ABD=∠ACD=90°，P是边AD的中点.若 BC=3,AD=8,则△BPC的周长为 B 答案：11 4.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm,D是AB的中点.现将 △BCD沿BA方向平移1cm,得到△FG,FG交AC于H,则GH的长等于 cm. FC GD B 答案：3 解析：：∠ACB=90°，D是AB的中点， .CD=AD=DB=4Cm,:∠A=∠ACD.由平移可知 CD//GF,·ACD=∠AHG,·∠A=AHG,AG=GH.由平移性质可得 AG =4-1=3(cm),GH=AG=3 cm. 2/9 5.(I)如图①，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF,CE都是这个三角形的高， P为AC的中点，若∠B=42°，则∠PF的度数为 .(2)(青岛中考)如图②， 在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE,ED,BD 若∠BAD=58,则∠BBD的度数为 ① ② 答案： (1)96° 解析：：CE⊥BA,∠B=42°，·∠BCE=48:AF⊥BC,CE⊥BA,P为AC的中 点， .PF=AC=PC,PE=AC=PC,&PFC=∠PCF,PEC=∠PCE,·∠EPF=2LPCF+2PCE=2 (2)32 解析：：∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点， ÷AE=BE=DE,∠BAE=∠ABE,∠DAE=∠ADE,∠BED=∠BAE+∠ABE+∠DAE+∠ADE=2∠Bk ∠EBD=∠EDB=专×(180°-116)=32°. 6.(I)如图①，P是∠A0B内部任意一点，PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别 是M,N,D是OP的中点，连接DM,DN.求证：∠MDN=2∠MON (2)如图②，在△ABC中，CD,BE分别是AB,AC边上的高，M是边BC的中 点.连接DN,ME,试判断∠DME与∠A之间的数量关系，并说明理由， (3)如图③，将图②的锐角△ABC变为钝角△ABC,其余条件不变，直接写 出∠DME与∠BAC之间的数量关系. 3/9 M ② ③ 答案： (1):PM⊥0A,÷∠0MP=90°在Rt△OMP中，D是0P的中点， .DM=0P=D0,·∠DM0=D0M,nMDP=2∠MOP.同理可知， ∠NDP=2∠NOP,·MDN=∠MDP+∠NDP=2∠MON. (2)∠DME=180°-2LA: 理由如下：：CD,BE分别是AB,AC边上的高，M是BC的中点， :DM=BC,ME=BC,:DM=ME.在△ABC中， ∠ABC+∠ACB=180°-∠A:DM=ME=BM=MC,∴∠BMD+∠CME=(180°-2LABC)+(180°-2 (3)∠DME=2∠BAC-180°. 解析：在△ABC中， ∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC:DM=ME=BM=MC,∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC=2(1 三角形面积的计算 一、根据三角形的中线确定三角形的面积 1.如图，△ABC的面积是16，点D,E,F,G分别是BC,AD,BE,CE的中点， 则四边形AFDG的面积是 答案：8 4/9 解析：因为AD为△ABC中BC边的中线，S△ABC=16,所以 S△ABD=S△AD=S△ABC=专×16=8.因为BE,CE是AD的中线，所以 SAABE=S△BD=S△AD=4,S△ABc=SA0m=S△AD=4,同理， S△AE=SAABE=2,S△ABs=S△ABs=2,SADF=SADE=2,SADEG=SAm=2, 所以S四边形AFDG=S△AE旺十S△AEG十SDE十SADG=8. 2.操作与实践 (I)如图①，请你在△ABC中画一条线段，把△ABC分成面积相等的两部分； (2)如图②，请你按照(1)的方法把四边形ABCD分成面积相等的两部分： (3)利用以上性质尝试在如图③所示的四边形ABCD中作一条线段，把四边形 ABCD分成面积相等的两部分.（无需写出画图步骤和理由） ② ③ 答案： 答案合理即可，如：(I)如图①，取BC的中点D,AD为BC边上的中线，则 BD=CD,根据等底同高的三角形面积相等，得S△ABD=S△A① A ① ② ③ (2)如图②，连接AC,再取AC的中点E,连接BE,DE,所以 SAADE=SADE,S△ABE=S△BE,所以SAADE+SAABE=SA①E+SABCE,所以 S四边形ABD=S四边阳①E 5/9 (3)如图③，连接AC,BD,取AC的中点0，过点0作0E//BD交CD于E,连 接BE,线段BE把四边形ABC①分成面积相等的两部分. 解析：连接OD交BE于F,连接OB,由(I)知，S△DBE=S△BDo(同底等高的三 角形面积相等).因为SADBET=SABDF十S△DEF,S△BD0=S△BDR十S△OBF,所以 S△DE=S△OBr.因为点0是AC的中点，由(2)知，S△AD0=S△D0,S△AB0=S△B0, 所以 S△BE=SAB0十SAOBF+S△E0+SA0E=SAB0+SADER十S△E0+SAOE=S△B0+S△D0,SI边形ABD= 所以S△BE=S四边形A画，即线段BE把四边形ABC①分成面积相等的两部分. 二、根据线段比值关系确定三角形的面积 3.如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为BC上一点，AD=号CD,连接BD ，AE交于点R.若S△AE=S△BD,S△ABC=15,则△ABE的面积为 答案：6 解析：因为AD=CD,所以AD=着AC.因为S△ABc=15,所以 SAABD=SAABC=号X15=6.因为S△AE=S△Bm,所以S△ABE=S△ABD=6. 4.如图，△ABC中，分别延长边AB,BC,CA,使得 BD=AB,CE=2BC,AF=3CA,若△ABC的面积为2，则△DEF的面积为 6/9 答案：36 解析：连接AE,CD,因为BD=AB,所以SAABC-=S△BD=2,则 S△AD=2+2=4.因为AP=3AC,所以FC=4AC,所以 S△Bm=4S△AD=4X4=16.同理可以求得S△AE=2S△ABC=4,则 S△FE=4SA4E=4×4=16,SADE=2SABm=2×2=4,所以 S△DE=S△D+S△sE+S△DE=16+16+4=36 三、根据面积法（面积相等或成比例）确定等量关系 5.(1)【基础知识】我们知道：如果两个三角形的高相同，那么它们的面 积比等于对应底边的比.如图①，点M是△ABC的边BC上一点，试说明： 器-器 (2)【知识应用】如图②，△ABC的边BC上有一点M,N为AM上任意一点， 利用上述结论，猜想二与器之间的关系，请直接写出结论。 (3)【知识迁移】如图③，在△ABC中，D,F分别在边AB,AC上，且 AD=2DB,CF=2AF.若△ABC的面积为1，求四边形ADPF的面积. (4)【知识延伸】如图④，在△ABC中，D,E,F分别在边AB,BC,CA上， 且AD=2DB,BE=2EC,CF=2AF,连接AE,BF,CD,交点为P,Q,M,若 △PQM的面积为1，则△ABC的面积为 719 ② ③ ④ 答案： (I)如图①，过点A作AD⊥BC于点D,则S△ABN=BM·AD, S△AON=CM·AD,所以d MAD ① ② 一器解所：)程，器-微，器微，所以器 (2)SNCN Sw’ 所以二==器 (3)如图②，连接PA,设S△BPD=a,S△AF=b,S△BCP=C.因为 AD=2DB,CF=2AF,所以S△APD=2S△BPD=2a,S△PF=2S△APF=2b, S△AD=2SABD,SABC=2S△ABF,所以 2a+b+2b=2(a+c),2b+c=2(a+2a+b),所以2c=3b,c=6a,所以 2×6a=3b,所以b=4a.因为△ABC的面积为1，所以3a+3b+c=1,即 3a十12a十6a=1,解得a=分.所以S四边形Dr=2a+b=6a=6×京=号， (4)7 解析：如图③，连接PA,QC,设S△PD=m,S△AFQ=n,由(3)得， S因边形ADPF=6m=S△B,S△PF=8m,同理，S△ABQ=6S△AFQ=6n,则 m十6m=n十6n,所以m=n,即S△BPp=S△AQ=m.同理， S△awE=SABPD=S△AR0=m,所以S四边EaNP=6m-m=5m.因为BE=2EC, CF=2AF,所以S△BQE=2S△E0,S△CQF=2 SAAFQ=2m,所以 S△BQc=6m+8m-2m=12m,所以S△BQe=12m×号=8m,所以 8/9 S△PQw=8m-5m=3m=1,所以m=青.所以 S△ABc=m+6m+8m+6m=21m=21×3=7 9/91.5.4直角三角形斜边上的中线及三角形 面积的计算 直角三角形斜边上的中线 1如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC=60°，AC=6,则BC的长 是() A.3B.4C.5D.6 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10,AC=8,BC=6,线段DE的两 个端点D,E分别在边AC,BC上滑动，且DE=4,若M,N分别是DE,AB的中点， 则MN的最小值为() A.2B.3C.3.5D.4 3.如图，四边形ABCD中，∠ABD=∠ACD=90°，P是边AD的中点.若 BC=3,AD=8,则△BPC的周长为. 1/5 4.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm,D是AB的中点.现将 △BCD沿BA方向平移1cm,得到△EFG,FG交AC于H,则GH的长等于 cm GD E B 5.(I)如图①，在△ABC中，∠BAC为钝角，AP,CE都是这个三角形的高， P为AC的中点，若∠B=42°，则∠EPF的度数为 .(2)(青岛中考)如图②， 在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE,ED,BD 若∠BAD=58°，则∠BD的度数为 ① ② 6.(I)如图①，P是∠AOB内部任意一点，PM⊥0A,PNLOB,垂足分别 是M,N,D是OP的中点，连接DM,DN.求证：∠MDN=2∠MON, (2)如图②，在△ABC中，CD,BE分别是AB,AC边上的高，M是边BC的中 ,点.连接DM,ME,试判断DME与∠A之间的数量关系，并说明理由， (3)如图③，将图②的锐角△ABC变为钝角△ABC,其余条件不变，直接写 出∠DME与∠BAC之间的数量关系. 2/5 M ② ③ 三角形面积的计算 一、根据三角形的中线确定三角形的面积 1.如图，△ABC的面积是16，点D,E,F,G分别是BC,AD,BE,CE的中点， 则四边形AFDG的面积是 B 2.操作与实践， (I)如图①，请你在△ABC中画一条线段，把△ABC分成面积相等的两部分： (2)如图②，请你按照(I)的方法把四边形ABCD分成面积相等的两部分： (3)利用以上性质尝试在如图③所示的四边形ABCD中作一条线段，把四边形 ABCD分成面积相等的两部分.（无需写出画图步骤和理由） A D ① ② ③ 3/5 二、根据线段比值关系确定三角形的面积 3.如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为BC上一点，AD=号CD,连接BD ,AE交于点R.若S△AE=S△BD,S△ABC=15,则△ABE的面积为 4.如图，△ABC中，分别延长边AB,BC,CA,使得 BD=AB,CE=2BC,AF=3CA,若△ABC的面积为2，则△DEF的面积为 三、根据面积法（面积相等或成比例）确定等量关系 5.(1)【基础知识】我们知道：如果两个三角形的高相同，那么它们的面 积比等于对应底边的比.如图①，点M是△ABC的边BC上一点，试说明： -毁 (2)【知识应用】如图②，△ABC的边BC上有一点M,N为AM上任意一点， 利用上述结论，猜想需与器之间的关系，请直接写出结论， (3)【知识迁移】如图③，在△ABC中，D,F分别在边AB,AC上，且 AD=2DB,CF=2AF.若△ABC的面积为1，求四边形ADPF的面积. (4)【知识延伸】如图④，在△ABC中，D,E,F分别在边AB,BC,CA上， 且AD=2DB,BE=2EC,CF=2AF,连接AE,BF,CD,交点为P,Q,M,若 △PQM的面积为1，则△ABC的面积为 4/5 ③ a