1.5.3 等边三角形 基础作业 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学等边三角形同步练，通过知识梳理-课堂作业-课后分层（基础/进阶/拓展）设计，实现概念理解→基础应用→综合探究的知识巩固路径，培养推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|定义、性质、判定|填空形式强化核心概念记忆| |课堂作业|性质应用、判定辨析|选择与证明题结合，巩固基础推理| |课后分层|综合应用到探究创新|基础题结合图形变换提升几何直观，进阶题含动点旋转问题培养推理能力，拓展题需补全图形与证明发展创新意识|

1.5.3等边三角形 知识梳理 1 都相等的三角形叫作等边三角形 2.等边三角形的性质：(1)等边三角形是 用平易，有 条对称轴 (②)等边三角形的各角都等于 3.等边三角形的判定：(1)三个角都 的三角形是等边三角形 (2)有一个角是60°的 三角形是等边三角形 4.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的 答案： 1.三边 2.(1)轴对称3 (2)60 3.(1)相等 (2)等腰 1/11 4.一半 课堂作业 1.等边三角形对称轴的条数是() A.1条 B.2条C.3条 D.4条 答案：C 2.下列条件中，不能得到等边三角形的是() A.有两个内角是60°的三角形B.三边都相等的三角形 C.有一个角是60的等腰三角形D.有两个外角相等的等腰三角形 答案：D 3.如图，在等边△ABC的AC边上取中点D,在BC的延长线上取一点E,使 CE=CD,连接BD,DE求证：∠ABD=∠E 答案：，'△ABC为等边三角形，D是AC边的中，点， 2/11 BD⊥AC,∠DBE=∠ABD=克∠ABC=30 .CD=CE,∴.∠CDE=∠E. :∠ACB=60,且∠ACB为△CDE的外角， .∠CDE+∠E=60°？ .∠CDE=∠E=30°，.∠ABD=∠E. 4.如图，P为AB上一，点，△APC和△BPD都是等边三角形，连接AD, BC.求证：AD=BC. 答案：，△APC和△BPD都是等边三角形， ∴.AP=CP,DP=BP,∠APC=∠DPB=60°， .∠APC+∠CPD=∠DPB+∠CPD,即∠APD=∠CPB AP=CP, 在△PAD和△PCB中， ∠APD=∠CPB, DP=BP, .△PAD≌△PCB(SAS).∴.AD=BC 3/11 课后作业 一、基础作业 1.如图，直线l/Im,等边三角形ABC的两个顶，点B,C分别落在直线l,m上， 若∠ABE=21',则∠ACD的度数是() A.45°B.39°C.29°D.21 答案：B 2.如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E,使 CE=CD.若DE=4:则BD=（） A.2B.3C.4D.5 答案：C 3.如图，在△ABC中，∠B=∠C=30°，AD⊥AB交BC于点D,BC=30, 4/11 则BD= 答案：20 4.如图，等边三角形ABC中，P为BC上一点，且∠1=∠2，则∠3的大小为 答案：60 5.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AB,AC边的垂直平分线 分别交BC于点E,D,连接AE,AD.求证：△AED是等边三角形. 答案：.AB=AC,∠BAC=120°， ∠B=2C=3×180-120=30 :AB,AC边的垂直平分线分别交BC于点E,D, 5/11 .∴.AE=BE,AD=CD .∴.∠BAE=∠B=30°，∠CAD=∠C=30°，∴.∠AED=∠B+∠BAE=60°，∠ADE=∠C+2 .∴.∠DAE=180°-∠AED-∠ADE=60°， ·△ADE是等边三角形 二、进阶作业 6.如图是两块完全一样的含30°角的三角尺，分别记作△ABC和△A1B1C1, 现将两块三角尺重叠在一起，若较长直角边的中点为M,绕中点M转动上面的 三角尺ABC,直角顶点C恰好落在三角尺A1BC1的斜边A1B1上.当 ∠A=30°，B,C=2时，AB的长为（) A.6B.8C.9D.10 答案：B 7.如图，在等边△ABC中，AC=9,点O在AC上，且AO=3,P是AB上一动 6/11 点，连接OP,将线段OP绕，点O逆时针旋转60°得到线段OD,若使点D恰好落在 BC上，则线段AP的长是 答案：6 8.如图，已知点D是等边三角形ABC中边BC的延长线上一点， ∠EBC=∠DAC,CE11AB.求证：△CDE是等边三角形. 答案：，：∠ABE+∠CBE=60°，∠CAD+∠ADC=60°，∠EBC=∠DAC, ∠ABE=∠ADC又CE//AB, ∴.∠ECD=∠ABC=60°，∠BEC=∠ABE. .∴.∠BEC=∠ADC 又BC=AC,∠EBC=∠DAC, .△BCE≌△ACD(AAS) .CE=CD,△CDE是等边三角形， 9.已知△ABC为等边三角形，D为射线BC上一点，∠ADE=60°，DE与 7/11 ∠ACB处的外角平分线交于点E (I)如图①，点D在边BC上，求证：CA=CD+CE: (2)如图②，若点D在BC的延长线上，直接写出CA,CD,CE之间的数量 关系 ② 答案： (I)证明：如图，在AC上截取CM=CD,连接DM :△ABC是等边三角形， .∠ACB=60°， △CDM是等边三角形， .∴.MD=CD=CM,∠CMD=∠CDM=60°， .∠AMD=120°， .∵∠ADE=60, 8/11 .∴.∠ADE=∠MDC,.∠ADM=∠EDC, :DE与∠ACB处的外角平分线交于点E, .∴.∠ACE=60°， .∠DCE=120'=∠AMD:在△ADM和△EDC中， ∠ADM=∠EDC, MD=CD, .△ADM≌△EDC(ASA), ∠AMD=∠ECD, ∴.AM=EC,∴.CA=CM+AM=CD+CE. (2)CA=CE-CD 三、拓展作业 10.如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，E是线段BC上一点，连接 DE,∠DEB=a30'≤a<60,将射线DA绕点D顺时针旋转，得到射线 DQ,F是射线DQ上一点，且DF=DE,连接FE,FC (1)补全图形： (2)求∠EDF的度数： (3)用等式表示线段FE,FC的数量关系，并证明. 9/11 D 答案： (1)补全图形，如图. (2)·△ABC是等边三角形， .∠A=∠B=60° :射线DA绕点D顺时针旋转，得到射线DQ, ∴.∠ADF=a .∠ADE=∠ADF+∠EDF=a+∠EDF, 又.'∠ADE=∠B+∠BED=60°+Q,∴.∠EDF=60° (3)FE=FC 证明：如图，在CA上截取CG,使CG=CE,连接EG,DG :△ABC是等边三角形，.∠ACB=60,AC=BC ∴△EGC是等边三角形. .∴.∠GEC=60°，≥=EC ,∠EDF=60°，DE=DF, 10/11 △兰是等边三角形∠些=60，DE=EF ∴.∠+∠FEG=∠GEC+∠FEG: 即∠DEG=∠FEC ∴.△CEG≌△FEC SAS,∴.DG=FC AC-GC=BC-EC,..AG=BE 点D是AB的中点，AD=DB :∠A=∠B,△BDE≌△ADG(SAS), .DE=DG,.∴.FE=FC 11/111.5.3等边三角形 知识梳理 都相等的三角形叫作等边三角形 2.等边三角形的性质：(1)等边三角形是 用平易，有 条对称轴 (②)等边三角形的各角都等于 3.等边三角形的判定：(1)三个角都 的三角形是等边三角形 (2)有一个角是60°的 三角形是等边三角形 4在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的 课堂作业 1.等边三角形对称轴的条数是() A.1条B.2条C.3条 D.4条 117 2.下列条件中，不能得到等边三角形的是() A.有两个内角是60°的三角形B.三边都相等的三角形 C.有一个角是60的等腰三角形D.有两个外角相等的等腰三角形 3.如图，在等边△ABC的AC边上取中点D,在BC的延长线上取一点E,使 CE=CD,连接BD,DE求证：∠ABD=∠E 4.如图，P为AB上一点，△APC和△BPD都是等边三角形，连接AD, BC.求证：AD=BC. 2/7 课后作业 一、基础作业 1.如图，直线l/Im,等边三角形ABC的两个顶，点B,C分别落在直线l,m上， 若∠ABE=21',则∠ACD的度数是() A.45B.39°C.29D.21 E D 2.如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E,使 CE=CD.若DE=4,则BD=（) A.2B.3C.4D.5 3.如图，在△ABC中，∠B=∠C=30°，AD⊥AB交BC于点D,BC=30, 则BD= 317 4.如图，等边三角形ABC中，P为BC上一点，且∠1=∠2，则∠3的大小为 37 5.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AB,AC边的垂直平分线 分别交BC于，点E,D,连接AE,AD.求证：△AED是等边三角形， 二、进阶作业 6.如图是两块完全一样的含30°角的三角尺，分别记作△ABC和△A1BC1, 现将两块三角尺重叠在一起，若较长直角边的中点为M,绕中点M转动上面的 三角尺ABC,直角顶，点C恰好落在三角尺A1BC1的斜边AB1上.当 ∠A=30°，B1C=2时，AB的长为（） 417 A.6B.8C.9D.10 7.如图，在等边△ABC中，AC=9,,点O在AC上，且AO=3,P是AB上一动 ,点，连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD,若使，点D恰好落在 BC上，则线段AP的长是 8.如图，已知，点D是等边三角形ABC中边BC的延长线上一点， ∠EBC=∠DAC,CE11AB.求证：△CDE是等边三角形. 9.已知△ABC为等边三角形，D为射线BC上一点，∠ADE=60°，DE与 ∠ACB处的外角平分线交于点E 517 (I)如图①，，点D在边BC上，求证：CA=CD+CE: (2)如图②，若点D在BC的延长线上，直接写出CA,CD,CE之间的数量 关系 ② 三、拓展作业 10.如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，E是线段BC上一点，连接 DE,∠DEB=a30'≤&<60)，将射线DA绕点D顺时针旋转a,得到射线 DQ,F是射线DQ上一点，且DF=DE,连接FE,FC. (1)补全图形： (2)求∠EDF的度数： (③)用等式表示线段FE,FC的数量关系，并证明. 6/7 D 7/7