25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习以“一元二次方程的根与系数的关系”为核心，通过基础认知、技能应用、综合拓展三层递进设计，覆盖从概念理解到综合探究的巩固路径，培养运算能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|根与系数关系直接应用|选择题1-3直接套用两根和积公式，填空题7明确关系前提条件，强化符号意识| |技能应用|参数问题与逆向构造|填空题10-11结合判别式与相反数条件，解答题13-15训练已知根求参数，发展推理能力| |综合拓展|跨知识点探究证明|解答题17-18含方程根的存在性证明及规律探究，体现数学思维的逻辑性与创新性|

25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习 1、 选择题： 1.若，是一元二次方程的两根，则的值为(    ) A. B. C. D. 2.已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程是(    ) A. B. C. D. 3.若一元二次方程的两根为，，则的值是(    ) A. B. C. D. 4.设，是方程的两个实数根，则的值是(    ) A. B. C. 或 D. 或 5.关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.已知方程的两根分别是和，则代数式的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 7.一元二次方程的根与系数的关系： 若关于的一元二次方程有两根分别为，，则 两根和；两根积． 该关系使用的前提条件是          ． 8.若关于的方程的两根为和，则           ，           ． 9.已知是方程的一个根，则该方程的另一个根为          ，           ． 10.关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为          ． 11.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值为          ． 12.若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为            ． 三、解答题： 13.不解方程，求下列方程两个根的和与积： ； ． 14.设一元二次方程的两根为，，求下列代数式的值：           ，           ； ； ； ． 15.已知关于的方程的根为，． 当时，求的值； 若方程的一个根，求的值与另一个根． 16.已知关于的方程． 若方程总有两个实数根，求的取值范围； 若两实数根、满足，求的值． 17.关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个实数根； 若方程有一根小于，求的取值范围． 18.我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： 若，是方程的两根，则          ，          ；若，是方程的两根，则          ，          ； 已知，满足，，求的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $答案和解析 1.【答案】A 2.【答案】A 3.【答案】A 4.【答案】A 5.【答案】A 解：，X1+X2=4, .∴.X1+3X2=X1+X2+2X2=4+2X2=5’ 1 x22 把x支入X-4x+m=0得：(P-4×+m=0. 解得：m-子此时a=-4-4×1×子-9>0，符合阅意， 故选：A. 6.【答案】B 7.【答案】△≥0 8.【答案】1 -6 9.【答案】2-V3 第1页，共1页 1 10.【答案】0 【解析】本题易忽视4≥0而出错设方程的两根为x,'X:由思意，得x,+X,=0::-(a-2a=0解 得a=0或a=2.当a=2时，方程化为x+1=0,其判别式△=-4<0，此时方程无实数根，故a=2舍去， .a的值为0. 11.【答案】3 解：：关于x的一元二次方程X+2k+3)x+kK=0有两个不相等的实数根， .△=(2k+32-4k2>0 解得：k>-子 :Xx,是方程X2+(2k+3)x+K2=0的实数根， .X1+X2=-2k-3’X1X2=k2, :.1+1=x+x=2k+3=-1 X1 X2 X1X2 k2 解得：k1=3,k2=-1, 经检验，k1=3,k2=-1都是原分式方程的根. 是 ∴.k=3 故答案为3。 12.【答案】3 第2页，共1页 【解析】解：m,n是一元二次方程x+3x-1=0的两个实数根， .∴.m+3m-1=01 .3m-1=-m2 .△=13>0 .∴.m+n=-3' .mtm'n-m(m+n)_-3m =3 3m-13m-1 -m2 故答案为3。 13.【答案】【小题1】 解：原方程化为x2-3x-15=0,∴.a=1,b=-3,c=-15,设方程的两根分别为X1,X2, X+x,=-b=3,x1x=9=-15: 【小题2】 原方程化为3X+4x+1=0,a=3,b=4,c=1,设方程的两根分别为x,x,∴X+X=-b=-4 a 3’ 后号 14.【答案】【小题1】 2 -3 【小题2】 x+x=x1+x22-2x1x2=4+6=10: 【小题3】 第3页，共1页 x1-2x2-2=x1x2-2x1+x2+4=-3-4+4=-3 【小题4】 1+1=X+X2=2=-2 X名Xw-33 15.【答案】【小题1】 解：当a=4时，方程为x2-4x+3=0,.X1+X2=4,X1x2=3.∴.X1+x2+X1X2=7. 【小题2】 .方程的一个根x1=6,.∴.36-6a+a-1=0,解得a=7. ∴.方程为x2-7x+6=0,解得X1=6,X2=1..∴.a=7,另一个根X2为1. 16.【答案】解：(1)：关于x的方程×-2m+1)x+m2+2=0总有两个实数根. ∴.△=[-2(m+1)2-4(m2+2)=8m-4≥0' 解得：m≥号 (2:X1x,为方程X-2m+1)x+m2+2=0的两个根， ∴.x1+X2=2(m+1'x1x2=m+2 .(x1+1)x2+1)=8' .X1X2+(x1+x2+1=8 .∴.m+2+2(m+1)+1=81 整理，得：m+2m-3=0,即m+3)(m-1)=0, 第4页，共1页 解得：m1=-3(不合题意，舍去)，m2=1, m的值为1 17.【答案】【小题1】 证明：△=-k+3到-4×1×2k+2=K2-2k+1=k-12≥0 ∴.方程总有两个实数根 【小题2】 :x=k+3±k-1 X1=k+3+k-1-k+1,X,=k+3k+1=2 2 2 .X1=k+1,X2=2 方程有一个根小于1， .∴.k+1<1. ∴.k<0,即k的取值范围为k<0 18.【答案】【小题1】 3 1 -5 6 【小题2】 解：.a,b满足a-5a+3=0,b2-5b+3=0, .a,b是方程x2-5x+3=0的解. 当ab时，a+b=5,ab=3,.9+b=Q+b2-(a+bP-2ab_5 b a ab ab 如=b时，原式-2综上用述，号+名的宜 19 3 或2 第5页，共1页 到 ExZ25.2.4一元二次方程的根与系数的关系同步练习 一、选择题： 1.若x1,x2是一元二次方程x2-4x-5=0的两根，则x1·x2的值为() A.-5 B.5 C.-4 D.4 2.已知实数x1,x2满足x1+X2=9,x1x2=20,则以x1,x2为根的一元二次方程是() A.x2-9x+20=0B.x2+9x+20=0C.x2+9x-20=0D.x2-9x-20=0 3.若一元二次方程x2-x-2=0的两根为x1,x2,则(1+x1)+x2(1-x1)的值是() A.4 B.2 C.1 D.-2 4.设x1,x2是方程x2-2x-1=0的两个实数根，则2+1的值是(） x1x2 A.-6 B.-5 C.-6或-5 D.6或5 5.关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的两实数根分别为x1,x2,且x1+3x2=5,则m的值为() A￥ Bs ca D.0 6.已知方程x2+2023x-5=0的两根分别是和B,则代数式2+B+2024a的值为() A.0 B.-2018 C.-2023 D.-2024 二、填空题： 7.一元二次方程的根与系数的关系： 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根分别为x1,x2,则 两根和x1+x=一合两根积xx=号 该关系使用的前提条件是。 8.若关于x的方程x2+mx+n=0的两根为-3和2，则m=,n= 9.已知2+√3是方程x2-4x+c=0的一个根，则该方程的另一个根为一，c=」 10.关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为. 11.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+2=0有两个不相等的实数根x1,x2.若号+=-1，则k x1x2 的值为 12.若m,n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个实数根，则m+m2n的值为 3m-1 第1页，共3页 三、解答题： 13.不解方程，求下列方程两个根的和与积： (1)x2-3x=15: (2)3x2+2=1-4x. 14.设一元二次方程x2-2x-3=0的两根为x1,x2,求下列代数式的值： (1)x1+X2=-,X1x2=— (2)x1+x: (3)(x1-2)(x2-2): ④好+号 15.已知关于x的方程x2-ax+a-1=0的根为x1,x2: (1)当a=4时，求x1+x2+x1x2的值； (2)若方程的一个根x1=6,求a的值与另一个根x2: 16.已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2+2=0. (1)若方程总有两个实数根，求m的取值范围： (2)若两实数根x1、x2满足(x1+1)x2+1)=8,求m的值 第2页，共3页 17.关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0. (1)求证：方程总有两个实数根： (2)若方程有一根小于1，求k的取值范围. 18.我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2, 那么由求根公式可推出x1+?=-p,x1x2=q,请根据这一结论，解决下列问题： (1)若a,β是方程x2-3x+1=0的两根，则a+B=,B=一；若2,3是方程x2+mx+n=0 的两根，则m=一’n=一： (2)已知a,b满足a2-5a+3=0,b2-5b+3=0,求号+的值. 第3页，共3页