25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过基础应用、综合辨析、拓展探究三层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|单一知识点直接应用|单选1-2/填空6-8直接考查韦达定理，夯实概念理解| |综合辨析|跨知识结合（根的定义/几何/参数）|单选3-5结合菱形面积等综合情境，填空9-10深化符号运算| |拓展探究|复杂情境与迁移应用|解答题14通过阅读材料实现知识迁移，适配新授课分层巩固需求|

25．2.4一元二次方程的根与系数的关系 一、单选题 1．已知是方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．20 D．25 2．若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 3．若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 4．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A． B． C． D． 5．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（    ） A．2或6 B．2或8 C．2 D．6 二、填空题 6．已知是一元二次方程的一个根，则此方程的另一根为___． 7．已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 8．已知，是关于的一元二次方程的两个根，则________． 9．已知方程的两根分别为和，则代数式的值为__________． 10．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 三、解答题 11．先化简，再求值：，其中，是方程的两个根． 12．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 13．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围；(2)若方程的两个根为，，且，求的值． 14．阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足且，求的值． 试卷第2页，共2页 试卷第2页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴． 故选：C 2．C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为和，则，． 【详解】解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：C 3．C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 4．C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案． 【详解】解：设方程的两根分别为a，b， ∴， ∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11， ∴，即， ∵菱形对角线垂直且互相平分， ∴该菱形的边长为 ，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出是解题的关键． 5．A 【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可． 【详解】解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根, ∴, ∴ ∵是方程的两个实数根, ∵， 又 ∴ 把代入整理得, 解得, 故选A 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合，找出关于m的一元二次方程． 6．/ 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，即是一元二次方程的两个根，那么，先得出，再进行求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】设是一元二次方程的两个根， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7． 【分析】本题主要考查解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，得到a、b的值为1，，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ∴a、b的值为1，， ∴， 故答案为：． 8． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个根， ， ， 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得：，，把整理可得：，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， ，， ， ． 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ． 故答案为：． 11．， 【分析】先根据分式的混合运算进行化简，然后根据一元二次方程根与系数的关系式得出  ，代入化简结果，即可求解． 【详解】解：原式     ∵，是方程的两个根 ∴      ∴原式. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 12．(1)证明见解析； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【详解】（1）证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 13．(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，把字母和数代入求出的取值范围； （2）根据两根之积为：，把字母和数代入求出的值． 【详解】（1）解：， ∵有两个不相等的实数， ∴， 解得：； （2）∵方程的两个根为，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）． 即：． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，． 14．(1)， (2) (3)的值为或． 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； （2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； （3）解：∵实数s、t满足， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ， ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 试卷第2页，共2页 试卷第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $