21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 课堂限时训练 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根与系数关系，通过基础-中档-提升三层设计，实现从概念理解到综合应用的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|根与系数关系直接应用（求两根和/积、构造方程）|选择/填空题（1-4题、9-10题），强化符号意识与运算能力| |中档|结合判别式/参数的综合应用（根的符号判断、参数求值）|选择/填空题（5-8题、11-12题），培养推理意识与模型意识| |提升|复杂情境下的问题解决（证明、综合求值）|解答题（15-18题），发展创新意识与应用意识|

2026-2027学年第一学期九年级数学（人教版新课标第21章） 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课堂限时训练 考试时长：40分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A  【解析】【分析】 本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键． 先化成一般式后，再求根的判别式． 【解答】 解：原方程可化为：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 2.已知一元二次方程的两根分别是和，则这个一元二次方程是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  3.下列方程中，两个实数根之和等于的方程是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  4.若关于的一元二次方程的两根为，，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  5.若关于的一元二次方程的两根同为负数，则(    ) A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】A  6.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则二次项系数的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 【答案】D  【解析】【分析】 此题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得． 由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式且二次项系数，继而可求得的范围． 【解答】 解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 解得：且， 故选D． 7.已知，是方程的两根，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  8.若一元二次方程的两个根分别为，，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.设，是一元二次方程的两个根，则           ，           ． 【答案】 10.已知一元二次方程的两根为与，则的值为          ． 【答案】  【解析】解：一元二次方程整理得，， 根据题意得，， 所以原式． 故答案为：． 根据根与系数的关系得到，，再把原式变形得到，然后利用整体代入的方法进行计算． 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，． 11.已知是方程的一个根，则该方程的另一个根为          ，           ． 【答案】 12.关于的一元二次方程的两个根为，，且，则的值为          ． 【答案】  【解析】解：，，，，，，． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 不解方程，求下列方程两个根的和与积： ； ． 【答案】(1)解：原方程化为，，，，设方程的两根分别为，，，；  (2)原方程化为，，，，设方程的两根分别为，，，  14.本小题分 若，是一元二次方程的两个实数根，求的值． 【答案】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，，， ，． ． 15.本小题分 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根和． 求的取值范围 若，求的值． 【答案】(1)由题意,得-4(-2m+5)>.解得m>;  (2)由题意,得+=4,=5-2m. ++=3, 4+5-2m=. 解得m=3, m>, m的值是.  16.本小题12分 已知关于的一元二次方程． 若方程有实数根，求实数的取值范围； 若方程的两实数根为，，且满足，求实数的值． 【答案】(1)解：∵方程有实数根， ∴Δ＝(-4)2-4m＝16-4m≥0， 解得m≤4．  (2)∵x1+x2＝4， ∴5x1+2x2＝2(x1+x2)+3x1＝2×4+3x1＝2． ∴x1＝-2． 把x＝-2代入原方程， 得(-2)2-4×(-2)+m＝0， 解得m＝-12．  17.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：无论取何值，方程总有两个实数根 如果方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1)证明:-4ac=-42m=​0, 无论m取何值,方程总有两个实数根; (2)解:由题意得+=m+2,=2m, (+2)(+2)=18, +2(+)+4=18, 2m+2(m+2)+4=18, 整理得4m=10,解得m=. 18.本小题分 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求的取值范围； 若方程的两个根为，，且，求的值． 【答案】(1)∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝22－4（3－k）＝－8＋4k＞0， 解得k＞2  (2)∵方程的两个根为α，β， ∴αβ＝3－k． ∵k2＝αβ＋3k， ∴k2＝3－k＋3k， 解得k1＝3，k2＝－1． ∵k＞2， ∴k＝3  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级数学（人教版新课标第21章） 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课堂限时训练 考试时长：40分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一元二次方程的根的情况是(     ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 2.已知一元二次方程的两根分别是和，则这个一元二次方程是(     ) A. B. C. D. 3.下列方程中，两个实数根之和等于的方程是(     ) A. B. C. D. 4.若关于的一元二次方程的两根为，，且，则的值为(     ) A. B. C. D. 5.若关于的一元二次方程的两根同为负数，则(     ) A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 6.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则二次项系数的取值范围是(     ) A. B. C. 且 D. 且 7.已知，是方程的两根，则的值是(     ) A. B. C. D. 8.若一元二次方程的两个根分别为，，则的值为(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.设，是一元二次方程的两个根，则           ，           ． 10.已知一元二次方程的两根为与，则的值为          ． 11.已知是方程的一个根，则该方程的另一个根为          ，            ． 12.关于的一元二次方程的两个根为，，且，则的值为           ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分不解方程，求下列方程两个根的和与积： ； ． 14.本小题分 若，是一元二次方程的两个实数根，求的值． 15.本小题分 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根和． 求的取值范围 若，求的值． 16.本小题分已知关于的一元二次方程． 若方程有实数根，求实数的取值范围； 若方程的两实数根为，，且满足，求实数的值． 17.本小题分已知关于的一元二次方程． 求证：无论取何值，方程总有两个实数根 如果方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 18.本小题分 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求的取值范围； 若方程的两个根为，，且，求的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级数学（人教版新课标第21章） 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课堂限时训练 考试时长：40分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一元二次方程的根的情况是(     ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 2.已知一元二次方程的两根分别是和，则这个一元二次方程是(     ) A. B. C. D. 3.下列方程中，两个实数根之和等于的方程是(     ) A. B. C. D. 4.若关于的一元二次方程的两根为，，且，则的值为(     ) A. B. C. D. 5.若关于的一元二次方程的两根同为负数，则(     ) A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 6.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则二次项系数的取值范围是(     ) A. B. C. 且 D. 且 7.已知，是方程的两根，则的值是(     ) A. B. C. D. 8.若一元二次方程的两个根分别为，，则的值为(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.设，是一元二次方程的两个根，则           ，           ． 10.已知一元二次方程的两根为与，则的值为          ． 11.已知是方程的一个根，则该方程的另一个根为          ，            ． 12.关于的一元二次方程的两个根为，，且，则的值为           ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分不解方程，求下列方程两个根的和与积： ； ． 14. 本小题分 若，是一元二次方程的两个实数根，求的值． 15.本小题分 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根和． 求的取值范围 若，求的值． 16.本小题分已知关于的一元二次方程． 若方程有实数根，求实数的取值范围； 若方程的两实数根为，，且满足，求实数的值． 17.本小题分已知关于的一元二次方程． 求证：无论取何值，方程总有两个实数根 如果方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 18.本小题分 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求的取值范围； 若方程的两个根为，，且，求的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $