第4讲 函数的周期性和对称性 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数周期性和对称性核心考点，涵盖周期函数定义、最小正周期、奇偶函数对称性、两函数图象对称等内容，按“定义-结论-题型”逻辑架构梳理，通过知识点预览、核心题型探究、跟踪训练、课时精练四环节，帮助学生构建知识网络，突破综合应用难点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如总结周期性与对称性三大结论，结合2024安康统考等真题分类讲解，设计分层练习。通过引导学生观察函数图象特征、推理周期与对称关系，提升抽象能力与推理意识，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏提供系统指导。

2027年高考一轮复习讲义 第4讲 函数的周期性和对称性 知识点预览 1.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 2.奇函数、偶函数的对称性 (1)若函数y=f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，则函数的图象关于直线x=a对称； (2)若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a+x)，则函数的图象关于点(a，0)对称. (3)若f(x+a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x=a；若f(x+a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(a，0). 3.两个函数图象的对称 (1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称； (2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称； (3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称. 熟记以下结论： 1.熟记函数周期性的三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x+a)=-f(x)，则T=2|a|； (2)若f(x+a)=，则T=2|a|； (3)若f(x+a)=-，则T=2|a|. 2.熟记对称性与周期性之间的三个常用结论 (1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x=a和x=b对称，则函数f(x)的周期为T=2|a-b|； (2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为T=2|a-b|； (3)若函数f(x)的图象关于直线x=a和点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为T=4|a-b|. 探究核心题型 考点一 函数的周期性 例1-1 (2024·安康统考)设f(x)是定义域为R的偶函数，且f(2＋x)＝f(－x)，f ＝，则f 等于(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　C 解析　因为f(x)是定义域为R的偶函数， 所以f(－x)＝f(x)， 故f(2＋x)＝f(－x)＝f(x)， 所以f(x)的一个周期为2， 故f ＝f ＝f ＝f ＝. 例1-2 (2026·长沙模拟)设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)=ax2+2.则f等于(　　) A. B. C.- D.- 答案　B 解析　方法一　f(x+1)为奇函数，故f(-x+1)=-f(x+1)， 又f(x+2)为偶函数，故f(-x+2)=f(x+2)， 在f(-x+2)=f(x+2)中，用x-1代替x得f(-x+3)=f(x+1)， 结合f(-x+1)=-f(x+1)得f(-x+1)=-f(-x+3)， 即f(x)=-f(x+2)，又f(x+2)=-f(x+4)， 故f(x)=f(x+4)，所以f(x)的一个周期为4， 又当x∈[1，2]时，f(x)=ax2+2，且f(-x+1)=-f(x+1)， 则f(1)=-f(1)，则f(1)=0，则a+2=0， 所以a=-2， 则当x∈[1，2]时，f(x)=-2x2+2， 故f=f=f =-f=-=. 方法二　因为f(x+1)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称， 因为f(x+2)为偶函数，所以f(x)的图象关于直线x=2对称， 设f(x)的周期为T，则=2-1=1，所以T=4， 又f(x)的图象关于点(1，0)对称， 所以f(1)=0，解得a=-2， 所以当x∈[1，2]时，f(x)=-2x2+2， 所以f=f=f =-f=. 跟踪训练 1 (多选)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-3)=-f(x)，当x∈[0，3]时，f(x)=x2-3x，则下列结论正确的是(　　) A.f(x+6)=f(x) B.当x∈[-6，-3]时，f(x)=x2-3x-6 C.f(2 023)+f(2 025)=f(2 024) D.函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x= 答案　ACD 解析　因为f(x-3)=-f(x)，所以f(x)=-f(x+3)，则f(x-3)=f(x+3)，所以f(x+6)=f(x)，故A正确； 当x∈[0，3]时，f(x)=x2-3x，则当x∈[-6，-3]时，x+6∈[0，3]，f(x)=f(x+6)=(x+6)2-3(x+6)=x2+9x+18，故B不正确； 由f(x+6)=f(x)，得函数f(x)的一个周期为6，得f(2 023)=f(1+337×6)=f(1)=-2，f(2 025)=f(3+337×6)=f(3)=0，f(2 024)=f(2+337×6)=f(2)=-2，所以f(2 023)+f(2 025)=f(2 024)，故C正确； 由A选项知，f(x)=-f(x+3)，又f(x)=-f(-x)，则f(x+3)=f(-x)，所以函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x=，故D正确. 2. (2023·泸州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且周期为3，又f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)的值是(　　) A．2 024 B．2 023 C．1 D．0 答案　D 解析　因为f(x)的周期为3， f(－1)＝1，则f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝1， 又f(0)＝－2，则f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝－2， 因为函数f(x)在R上的图象关于y轴对称， 所以f(x)为偶函数， 故f(1)＝f(－1)＝1， 则f(1)＋f(2)＋f(3)＝0. 故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)＝675×0＝0. 3. (多选)(2023·深圳模拟)已知非常数函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋2)＋f(x)＝0，f(－x)＝－f(x)，则(　　) A．f(2)＝0 B．f(x＋4)为偶函数 C．f(x)为周期函数 D．f(x)的图象关于点(－4,0)对称 答案　ACD 解析　因为f(x＋2)＋f(x)＝0， 所以f(x)＝－f(x＋2)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的一个周期是4，故C正确； 又f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数，f(0)＝0， 所以f(2)＋f(0)＝0，即f(2)＝0，故A正确； 又f(x)的一个周期为4，且为奇函数， 所以f(x＋4)为奇函数，故B不正确； 因为f(x)的图象关于(0,0)对称，所以f(x)的图象也关于点(－4,0)对称，故D正确． 考点二 函数的对称性 命题点1 自对称中的轴对称 例2-1. (多选)(2025·延边模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对∀x∈R都有f(2-x)=f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)=x2，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)的最大值是1，最小值是0 B.当3≤x≤4时，f(x)=-(x-4)2 C.函数f(x)的图象关于直线x=1对称 D.f(x)在区间(3，5)上单调递增 答案　BCD 解析　因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)， 又对∀x∈R都有f(2-x)=f(x)，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，故C正确； 因为f(2-x)=f(x)=-f(-x)，即f(2+x)=-f(x)，所以f(4+x)=f(x)， 所以f(x)是周期为4的周期函数， 又当x∈[0，1]时，f(x)=x2单调递增，所以f(x)在[-1，0]上单调递增， 则f(x)在[-1，1]上单调递增，由f(x)的图象关于直线x=1对称， 得f(x)在[1，3]上单调递减，所以f(x)在[-1，3]上的最大值是f(1)=1，最小值是f(-1)=-f(1)=-1，故A错误； 当3≤x≤4时，0≤4-x≤1，则f(x)=-f(-x)=-f(4-x)=-(4-x)2，故B正确； 由f(x)在[-1，1]上单调递增，且周期为4，则f(x)在区间(3，5)上单调递增，故D正确. 例2-2. (2024·株洲模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数f(x＋1)为偶函数，当－1≤x≤0时，f(x)＝x3，则f 等于(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　A 解析　由函数f(x＋1)为偶函数， 可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f(2＋x)＝f(－x)， 因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(4＋x)＝f(－2－x)＝－f(2＋x)＝－f(－x)＝f(x)， 可得函数f(x)的周期为4， 所以f ＝f ＝－f ＝－3＝. 命题点2 自对称中的中心对称 例2-3. (多选)下列说法中，正确的是(　　) A.奇函数f(x)满足对∀x∈R都有f(x-4)-f(x)=0，则函数f(x)的图象关于点(4，0)对称 B.函数f(x)=的图象关于点(2，2)中心对称 C.函数f(x)=ln的图象关于点(1，0)对称 D.函数f(x)满足f(x-1)为奇函数，则函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称 答案　AC 解析　对于A，因为f(x-4)-f(x)=0，所以f(x)的一个周期为4，又f(x)为奇函数， 所以f(x)的图象关于点(0，0)对称，因为周期为4，所以f(x)的图象也关于点(4，0)对称，A正确； 对于B，f(x)===2-，其图象可以由y=-的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且y=-的图象关于原点对称，故f(x)=的图象关于点(-2，2)中心对称，B错误； 对于C，因为f(2-x)=ln=ln=ln=-ln=-f(x)， 所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，C正确； 对于D，因为f(x-1)为奇函数， 所以f(x-1)=-f(-x-1)， 所以f(x)=-f(-x-2)，所以函数f(x)的图象关于点(-1，0)中心对称，D错误. 例2-4. (多选)下列说法中，正确的是(　　) A．函数f(x)＝的图象关于点(－2,2)中心对称 B．函数f(x)满足f(2x－1)为奇函数，则函数f(x)关于点(－1,0)中心对称 C．若函数y＝f(x)过定点(0,1)，则函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2) D．函数y＝的图象关于点(3，c)中心对称，则b＋c＝2 答案　ABC 解析　对于A，f(x)＝＝＝2－，其图象可以由y＝－的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且y＝－的图象关于原点对称，故f(x)＝的图象关于点(－2,2)中心对称，A正确； 对于B，因为f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以f(x－1)＝－f(－x－1)， 所以f(x)＝－f(－x－2)，所以函数f(x)关于点(－1,0)中心对称，B正确； 对于C，函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＋1的图象，由于y＝f(x)过定点(0,1)，故函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2)，C正确； 对于D，函数y＝＝＝1＋的图象关于点(3，c)中心对称， 所以解得b＝3，c＝1， 所以b＋c＝4，D不正确． 命题点3 互对称问题 例2-5. 已知函数y=f(x)是定义域为R的函数，则函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象(　　) A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=3对称 C.关于直线y=3对称 D.关于点(3，0)对称 答案　A 解析　设P(x0，y0)为y=f(x+2)图象上任意一点，则y0=f(x0+2)=f(4-(2-x0))， 所以点Q(2-x0，y0)在函数y=f(4-x)的图象上， 而点P(x0，y0)与点Q(2-x0，y0)关于直线x=1对称， 所以函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象关于直线x=1对称. 跟踪训练 1. 已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(－x2)>f(－1)的解集为________． 答案　(－1,1) 解析　∵f(x＋2)是偶函数， ∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称， ∴f(x)的图象关于直线x＝2对称， 又f(x)在[2，＋∞)上单调递减， ∴f(x)在(－∞，2]上单调递增． 又－x2，－1∈(－∞，2]，f(－x2)>f(－1)， ∴－x2>－1，即x2<1， ∴－1<x<1， ∴原不等式的解集为(－1,1)． 2. (2023·郴州检测)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是(　　) A．f(－1)<f(1)<f(2) B．f(1)<f(2)<f(－1) C．f(2)<f(－1)<f(1) D．f(－1)<f(2)<f(1) 答案　D 解析　因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为直线x＝0， 所以f(x)的对称轴为直线x＝1， 又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下， 根据自变量与对称轴的距离可得f(－1)<f(2)<f(1)． 3. (2024·南京模拟)已知函数y＝f(x)的图象既关于直线x＝1对称，又关于点(2,0)对称，且当x∈[0,1]时，f(x)＝，则f(2 024)等于(　　) A. B. C. D．0 答案　D 解析　因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f(－x)＝f(2＋x)， 因为函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称， 所以f(－x)＝－f(4＋x)， 所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝0， 所以f(x)－f(x＋4)＝0，即f(x)＝f(x＋4)， 所以函数f(x)的周期为4， 所以f(2 024)＝f(4×506＋0)＝f(0)＝0. 4. 下列函数与y＝ex的图象关于直线x＝1对称的是(　　) A．y＝ex－1 B．y＝e1－x C．y＝e2－x D．y＝ln x 答案　C 解析　与f(x)＝ex的图象关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x. 课时对点精练 一、单项选择题 1．(2026·唐山模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1,0)对称，则b等于(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 答案　C 解析　∵f(x)的图象关于点(1,0)对称，∴f(x)＋f(2－x)＝0， 又f(2－x)＝(2－x)3＋a(2－x)2＋(2－x)＋b ＝－x3＋(a＋6)x2－(4a＋13)x＋10＋4a＋b， ∴f(x)＋f(2－x)＝(2a＋6)x2－(4a＋12)x＋10＋4a＋2b＝0， ∴解得 2．(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝2－|x|＋，则使得不等式f(2m)<f(m＋1)成立的实数m的取值范围是(　　) A. B. C.∪(1，＋∞) D.∪(1，＋∞) 答案　C 解析　因为f(－x)＝2－|x|＋＝f(x)， 所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称， 又因为当x>0时，y＝2－x和y＝单调递减，所以f(x)＝2－|x|＋在(0，＋∞)上单调递减， 因为f(2m)<f(m＋1)， 所以|m＋1|<|2m|，即(m＋1)2<(2m)2， 展开可得3m2－2m－1>0， 解得m∈∪(1，＋∞)． 3．函数y=-ex与y=e-x的图象(　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 答案　C 解析　根据两函数图象即可判断出其图象关于原点对称. 4．(2025·哈尔滨模拟)函数y＝2－x与y＝－2x的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x轴对称 答案　C 解析　令f(x)＝2x，则－f(－x)＝－2－x， ∵y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称， ∴y＝2－x与y＝－2x的图象关于原点对称． 5．(2025·全国Ⅰ卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x，则f等于(　　) A.- B.- C. D. 答案　A 解析　由题意知f(x)=f(-x)，f(x+2)=f(x)对一切x∈R成立， 于是f=f=f=5-2×=-. 6．(2025·白银模拟) 已知函数f(x)＝2x＋(x∈R)，则f(x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于点(1,0)对称 C．关于直线x＝0对称 D．关于原点对称 答案　A 解析　由已知可得，f(2－x)＝22－x＋＝＋4·＝＋2x＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A项正确； 因为f(2－x)＝2x＋，则f(2－x)≠－f(x)，故B项错误； f(－x)＝2－x＋＝4·2x＋，则f(－x)≠f(x)，故C项错误； 因为f(－x)＝4·2x＋，则f(－x)≠－f(x)，故D项错误． 7. (2025·泰州模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(4-x)，且f(x)在[-2，2]上单调递增.设a=f，b=f，c=f(-13)，则(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 答案　D 解析　定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(4-x)， 则f(x)的图象的一条对称轴是直线x=2， 所以f(x)=f(4-x)=-f(-x)， 则f(x+4)=-f(x)， 则f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，所以f(x)的一个周期是8， 所以b=f=f，c=f(-13)=f(3)=f(1)， 因为f(x)在[-2，2]上单调递增， 所以b=f<c=f(1)<a=f. 8．定义在R上的奇函数f(x+1)与函数g(x-1)的图象关于直线x=1对称，则下列结论错误的是(　　) A.函数f(x)与g(x)的图象关于直线x=1对称 B.函数f(x)的图象关于点(1，0)对称 C.函数g(x-1)的图象关于点(2，0)对称 D.函数g(x)的图象关于点(2，0)对称 答案　D 解析　函数f(x+1)的图象向右平移一个单位长度得到函数f(x)的图象，函数g(x-1)的图象向左平移一个单位长度得到函数g(x)的图象，且函数f(x+1)与g(x-1)的图象关于直线x=1对称，所以函数f(x)与g(x)的图象关于直线x=1对称，故A正确； 因为f(x+1)是奇函数，即f(x+1)的图象关于点(0，0)对称，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，故B正确； 由函数f(x+1)与g(x-1)的图象关于直线x=1对称，且f(x+1)的图象关于点(0，0)对称知，函数g(x-1)的图象关于点(2，0)对称，所以函数g(x)的图象关于点(1，0)对称，故C正确，D错误. 二、多项选择题 9．已知函数y=f(x+1)-2为定义在R上的奇函数，又函数g(x)=，且f(x)与g(x)的函数图象恰好有2 026个不同的交点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，P2 026(x2 026，y2 026)，则下列叙述中正确的是(　　) A.f(x)的图象关于点(2，2)对称 B.g(x)的图象关于点(1，2)对称 C.x1+x2+…+x2 026=2 026 D.y1+y2+…+y2 026=2 026 答案　BC 解析　函数y=f(x+1)-2为定义在R上的奇函数，则有f(-x+1)-2=-f(x+1)+2， 即f(-x+1)+f(x+1)=4， 又=1，=2，所以函数y=f(x)的图象关于点(1，2)对称，无法判断是否关于点(2，2)对称，A选项错误； 函数g(x)==2+，结合反比例函数的性质和函数图象的平移可知，g(x)的函数图象也关于点(1，2)对称，B选项正确； f(x)与g(x)的函数图象的交点关于点(1，2)对称，不妨设x1<x2<…<x2 026， 则有x1+x2 026=x2+x2 025=…=x1 013+x1 014=2， y1+y2 026=y2+y2 025=…=y1 013+y1 014=4， 所以x1+x2+…+x2 026=2 026，C选项正确； y1+y2+…+y2 026=4 052，D选项错误. 10．(2026·毕节模拟) 设函数f(x)＝2x－1＋21－x，则下列说法错误的是(　　) A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增 B．f(x)为奇函数 C．f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．f(x)的图象关于点(1,0)对称 答案　ABD 解析　∵f(x)＝2x－1＋21－x， ∴f(2－x)＝2(2－x)－1＋21－(2－x)＝21－x＋2x－1＝f(x)， 即f(x)＝f(2－x)， 即f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确，A，D错误； ∵f(－1)≠－f(1)，∴f(x)不是奇函数，故B错误． 11. (2023·恩施模拟)定义在R上的函数f(x)，f(x＋1)的图象关于点(－1,0)对称，恒有f(x－1)＝f(3－x)，且f(x)在[1,2]上单调递减，则下列结论正确的是(　　) A．直线x＝1是f(x)的图象的对称轴 B．周期T＝2 C．函数f(x)在[4,5]上单调递增 D．f(5)＝0 答案　AC 解析　因为f(x－1)＝f(3－x)， 所以直线x＝1是f(x)的图象的对称轴，故选项A正确； 因为f(x＋1)的图象关于点(－1,0)对称， 所以函数f(x)的图象关于点(0,0)对称， 又因为f(x)的对称轴为x＝1， 所以f(x)的周期T＝4，故选项B错误； 直线x＝1是f(x)的对称轴，且函数f(x)在[1,2]上单调递减， 所以函数f(x)在[0,1]上单调递增， 又f(x)的周期T＝4， 所以函数f(x)在[4,5]上单调递增，故选项C正确； 因为f(x)的周期T＝4，f(4)＝f(0)＝0， 则f(5)>f(4)＝0，故选项D错误． 三、填空题 12．(2023·苏州模拟)写出一个同时满足条件：①f(x＋2)＝f(x)，②f(1－x)＝f(1＋x)的非常数函数，f(x)＝________. 答案　cos πx(形如acos πx＋b或a＋b或a＋b或a＋b等) 解析　因为f(x＋2)＝f(x)，f(1－x)＝f(1＋x)， 所以函数的周期T＝2，函数的对称轴为直线x＝1， 故可取函数f(x)＝cos πx. 13．(2026·淮南模拟)函数f(x)=(x2+2x)(x2+ax+b)的图象关于直线x=1对称，则a+b=　　　.  答案　2 解析　因为函数f(x)=(x2+2x)(x2+ax+b)的图象关于直线x=1对称，所以f(1+x)=f(1-x)， 所以 即解得 经检验，符合题意，所以a+b=2. 四、解答题 14．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且y=f(x)的图象关于直线x=2对称. (1)证明：f(x)是周期函数；(6分) (2)若当x∈[-2，2]时，f(x)=-x2+1，求当x∈[2，6]时，f(x)的解析式.(6分) (1)证明　因为函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，所以f(x+2)=f(2-x)， 即有f(-x)=f(x+4)， 又函数f(x)是定义在R上的偶函数， 有f(-x)=f(x)， 所以f(x+4)=f(-x)=f(x)， 即f(x)是周期为4的周期函数. (2)解　当x∈[-2，2]时，f(x)=-x2+1， 又f(x)是周期为4的周期函数， 当x∈[2，6]时，x-4∈[-2，2]， 所以f(x)=f(x-4)=-(x-4)2+1， 所以f(x)=-(x-4)2+1=-x2+8x-15，x∈[2，6]. 15．函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数． (1)若f(x)＝x3－3x2，求此函数图象的对称中心； (2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论． 解　(1)设函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为点P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b， 则g(x)为奇函数，故g(－x)＝－g(x)， 故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b， 即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b， 即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b. 整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0，故解得 所以函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为(1，－2)． (2)推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数． 16. (链接教材，人教A版必修第一册P87习题3.2 T13)(14分)函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数. (1)若f(x)=x3-3x2，求此函数图象的对称中心；(9分) (2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论.(5分) 解　(1)设函数f(x)=x3-3x2的图象的对称中心为点P(a，b)，g(x)=f(x+a)-b， 则g(x)为奇函数，故g(-x)=-g(x)， 故f(-x+a)-b=-f(x+a)+b， 即f(-x+a)+f(x+a)=2b， 即[(-x+a)3-3(-x+a)2]+[(x+a)3-3(x+a)2]=2b. 整理得(3a-3)x2+a3-3a2-b=0， 故解得 所以函数f(x)=x3-3x2的图象的对称中心为(1，-2). (2)推论：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数. 17.(多选)(2025·漳州模拟)已知定义在R上的函数f(x)不恒等于0，f(π)=0，且对任意的x，y∈R，都有f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y)，则(　　) A.f(0)=1 B.f(x)是偶函数 C.f(x)的图象关于点(π，0)中心对称 D.2π是f(x)的一个周期 答案　ABC 解析　根据题意，f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y)， 对于A，令y=x，可得f(2x)+f(2x)=2f(2x)f(0)，解得f(0)=1，即A正确； 对于B，令y=-x可得f(2x)+f(-2x)=2f(0)f(2x)=2f(2x)，所以f(2x)=f(-2x)， 即可得对任意的x∈R满足f(x)=f(-x)，即f(x)是偶函数，所以B正确； 对于C，令x=π-y，可得f(2π-2y)+f(2y)=2f(π)f(π-2y)=0， 即f(x)满足f(2π-x)+f(x)=0，因此可得f(x)的图象关于点(π，0)中心对称，即C正确； 对于D，假设2π是f(x)的一个周期，则f(2π)=f(0)=1，又f(2π-x)+f(x)=0，令x=0，得f(2π)+f(0)=0，即f(2π)=-f(0)=-1≠f(0)，故2π不是f(x)的一个周期，即D错误. 18. 设函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)，f(x－2)都为奇函数，则下面结论成立的是(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)＝f(x＋4) D．f(x＋6)为奇函数 答案　D 解析　因为f(x＋2)，f(x－2)都为奇函数，即f(x)关于(－2,0)和(2,0)对称，所以f(－x)＋f(4＋x)＝0，f(－x)＋f(－4＋x)＝0，所以f(－4＋x)＝f(4＋x)，所以f(x)＝f(8＋x)，因为f(x－2)＝－f(－x－2)，所以f(x－2＋8)＝－f(－x－2＋8)，即f(x＋6)＝－f(－x＋6)，所以f(x＋6)为奇函数． 19. (2025·温州模拟)已知函数f(x)＝是定义在R上的偶函数，则m－n等于(　　) A．2 B．0 C．－2 D．－4 答案　D 解析　当x>0时，因为f(x)是偶函数， 所以有f(x)＝f(－x)⇒21＋x－21－x＝m·2－x＋n·2x⇒(2x)2(2－n)＝m＋2， 要想x>0上式恒成立，只需⇒m－n＝－4， 当x<0时，因为f(x)是偶函数， 所以有f(x)＝f(－x)⇒21－x－21＋x＝m·2x＋n·2－x⇒(2－x)2(2－n)＝m＋2， 要想x<0上式恒成立，只需⇒m－n＝－4， 综上所述，m－n＝－4. 2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习讲义 第4讲 函数的周期性和对称性 知识点预览 1.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 2.奇函数、偶函数的对称性 (1)若函数y=f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，则函数的图象关于直线x=a对称； (2)若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a+x)，则函数的图象关于点(a，0)对称. (3)若f(x+a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x=a；若f(x+a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(a，0). 3.两个函数图象的对称 (1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称； (2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称； (3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称. 熟记以下结论： 1.熟记函数周期性的三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x+a)=-f(x)，则T=2|a|； (2)若f(x+a)=，则T=2|a|； (3)若f(x+a)=-，则T=2|a|. 2.熟记对称性与周期性之间的三个常用结论 (1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x=a和x=b对称，则函数f(x)的周期为T=2|a-b|； (2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为T=2|a-b|； (3)若函数f(x)的图象关于直线x=a和点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为T=4|a-b|. 探究核心题型 考点一 函数的周期性 例1-1 (2024·安康统考)设f(x)是定义域为R的偶函数，且f(2＋x)＝f(－x)，f ＝，则f 等于(　　) A．－ B．－ C. D. 例1-2 (2026·长沙模拟)设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)=ax2+2.则f等于(　　) A. B. C.- D.- 跟踪训练 1 (多选)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-3)=-f(x)，当x∈[0，3]时，f(x)=x2-3x，则下列结论正确的是(　　) A.f(x+6)=f(x) B.当x∈[-6，-3]时，f(x)=x2-3x-6 C.f(2 023)+f(2 025)=f(2 024) D.函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x= 2. (2023·泸州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且周期为3，又f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)的值是(　　) A．2 024 B．2 023 C．1 D．0 3. (多选)(2023·深圳模拟)已知非常数函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋2)＋f(x)＝0，f(－x)＝－f(x)，则(　　) A．f(2)＝0 B．f(x＋4)为偶函数 C．f(x)为周期函数 D．f(x)的图象关于点(－4,0)对称 考点二 函数的对称性 命题点1 自对称中的轴对称 例2-1. (多选)(2025·延边模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对∀x∈R都有f(2-x)=f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)=x2，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)的最大值是1，最小值是0 B.当3≤x≤4时，f(x)=-(x-4)2 C.函数f(x)的图象关于直线x=1对称 D.f(x)在区间(3，5)上单调递增 例2-2. (2024·株洲模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数f(x＋1)为偶函数，当－1≤x≤0时，f(x)＝x3，则f 等于(　　) A. B．－ C. D．－ 命题点2 自对称中的中心对称 例2-3. (多选)下列说法中，正确的是(　　) A.奇函数f(x)满足对∀x∈R都有f(x-4)-f(x)=0，则函数f(x)的图象关于点(4，0)对称 B.函数f(x)=的图象关于点(2，2)中心对称 C.函数f(x)=ln的图象关于点(1，0)对称 D.函数f(x)满足f(x-1)为奇函数，则函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称 例2-4. (多选)下列说法中，正确的是(　　) A．函数f(x)＝的图象关于点(－2,2)中心对称 B．函数f(x)满足f(2x－1)为奇函数，则函数f(x)关于点(－1,0)中心对称 C．若函数y＝f(x)过定点(0,1)，则函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2) D．函数y＝的图象关于点(3，c)中心对称，则b＋c＝2 命题点3 互对称问题 例2-5. 已知函数y=f(x)是定义域为R的函数，则函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象(　　) A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=3对称 C.关于直线y=3对称 D.关于点(3，0)对称 跟踪训练 1. 已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(－x2)>f(－1)的解集为________． 2. (2023·郴州检测)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是(　　) A．f(－1)<f(1)<f(2) B．f(1)<f(2)<f(－1) C．f(2)<f(－1)<f(1) D．f(－1)<f(2)<f(1) 3. (2024·南京模拟)已知函数y＝f(x)的图象既关于直线x＝1对称，又关于点(2,0)对称，且当x∈[0,1]时，f(x)＝，则f(2 024)等于(　　) A. B. C. D．0 4. 下列函数与y＝ex的图象关于直线x＝1对称的是(　　) A．y＝ex－1 B．y＝e1－x C．y＝e2－x D．y＝ln x 课时对点精练 一、单项选择题 1．(2026·唐山模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1,0)对称，则b等于(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 2．(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝2－|x|＋，则使得不等式f(2m)<f(m＋1)成立的实数m的取值范围是(　　) A. B. C.∪(1，＋∞) D.∪(1，＋∞) 3．函数y=-ex与y=e-x的图象(　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 4．(2025·哈尔滨模拟)函数y＝2－x与y＝－2x的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x轴对称 5．(2025·全国Ⅰ卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x，则f等于(　　) A.- B.- C. D. 6．(2025·白银模拟) 已知函数f(x)＝2x＋(x∈R)，则f(x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于点(1,0)对称 C．关于直线x＝0对称 D．关于原点对称 7. (2025·泰州模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(4-x)，且f(x)在[-2，2]上单调递增.设a=f，b=f，c=f(-13)，则(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 8．定义在R上的奇函数f(x+1)与函数g(x-1)的图象关于直线x=1对称，则下列结论错误的是(　　) A.函数f(x)与g(x)的图象关于直线x=1对称 B.函数f(x)的图象关于点(1，0)对称 C.函数g(x-1)的图象关于点(2，0)对称 D.函数g(x)的图象关于点(2，0)对称 二、多项选择题 9．已知函数y=f(x+1)-2为定义在R上的奇函数，又函数g(x)=，且f(x)与g(x)的函数图象恰好有2 026个不同的交点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，P2 026(x2 026，y2 026)，则下列叙述中正确的是(　　) A.f(x)的图象关于点(2，2)对称 B.g(x)的图象关于点(1，2)对称 C.x1+x2+…+x2 026=2 026 D.y1+y2+…+y2 026=2 026 10．(2026·毕节模拟) 设函数f(x)＝2x－1＋21－x，则下列说法错误的是(　　) A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增 B．f(x)为奇函数 C．f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．f(x)的图象关于点(1,0)对称 11. (2023·恩施模拟)定义在R上的函数f(x)，f(x＋1)的图象关于点(－1,0)对称，恒有f(x－1)＝f(3－x)，且f(x)在[1,2]上单调递减，则下列结论正确的是(　　) A．直线x＝1是f(x)的图象的对称轴 B．周期T＝2 C．函数f(x)在[4,5]上单调递增 D．f(5)＝0 三、填空题 12．(2023·苏州模拟)写出一个同时满足条件：①f(x＋2)＝f(x)，②f(1－x)＝f(1＋x)的非常数函数，f(x)＝________. 13．(2026·淮南模拟)函数f(x)=(x2+2x)(x2+ax+b)的图象关于直线x=1对称，则a+b=　　　.  四、解答题 14．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且y=f(x)的图象关于直线x=2对称. (1)证明：f(x)是周期函数；(6分) (2)若当x∈[-2，2]时，f(x)=-x2+1，求当x∈[2，6]时，f(x)的解析式.(6分) 15．函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数． (1)若f(x)＝x3－3x2，求此函数图象的对称中心； (2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论． 16. (链接教材，人教A版必修第一册P87习题3.2 T13)(14分)函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数. (1)若f(x)=x3-3x2，求此函数图象的对称中心；(9分) (2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论.(5分) 17.(多选)(2025·漳州模拟)已知定义在R上的函数f(x)不恒等于0，f(π)=0，且对任意的x，y∈R，都有f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y)，则(　　) A.f(0)=1 B.f(x)是偶函数 C.f(x)的图象关于点(π，0)中心对称 D.2π是f(x)的一个周期 18. 设函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)，f(x－2)都为奇函数，则下面结论成立的是(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)＝f(x＋4) D．f(x＋6)为奇函数 19. (2025·温州模拟)已知函数f(x)＝是定义在R上的偶函数，则m－n等于(　　) A．2 B．0 C．－2 D．－4 2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $