第十七讲 函数的奇偶性-2026年初高中数学衔接专题讲义

2026年初高中衔接专题讲义 第十七讲 函数的奇偶性（原卷版） 【知识点透析】 一、函数奇偶性的定义 1、奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称 2、偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称。 偶函数的性质：，可避免讨论． 二、判断函数奇偶性的常用方法 1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 2、验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. 4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. 5、分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 三、定义法判断函数奇偶性 判断与的关系时，也可以使用如下结论： 如果或，则函数为偶函数； 如果或，则函数为奇函数． 四、函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【知识点精讲】 题型一 基本函数奇偶性的判断 【例1】下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【例2】．判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】下列函数中是偶函数的是 （   ） A． B． C． D． 【变式2】判断下列函数的奇偶性: （1）; （2）; 【变式3】．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 题型二 抽象函数的奇偶性 【例3】若是定义在上的函数，则下列选项中一定是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【例4】已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． .【变式1】已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【变式2】已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【变式3】．已知为上的奇函数，为上的偶函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．为上的奇函数 B．为上的奇函数 C．为上的偶函数 D．为上的偶函数 题型三 利用奇偶性求值或者比较大小 【例5】．已知函数是奇函数，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【例6】已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【例7】已知是定义在上的函数，且满足；则的值为（    ） A．－5 B． C．－1 D．1 【变式1】设为定义在R上的偶函数，且当时，，则（    ） A．e-1 B．-2e-2 C．2e-1 D．2e-2 【变式2】．已知是上的偶函数，当时，是增函数，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式3】．（2022·江苏无锡高一单元测试）已知定义在上的奇函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4】．已知，且，那么等于（   ） A． B． C． D． 题型四 利用奇偶性求解析式 【例8】已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【例9】．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【例10】已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（     ） A．1 B．5 C．6 D．4 【变式1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．已知函数是定义域为的偶函数，且当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ） A．0 B．2 C． D．1 题型五 利用奇偶性求参数 【例11】若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 【例12】已知是定义域为的偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．已知函数是奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【变式2】若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 【变式3】已知函数为偶函数，则（   ） A．2 B． C． D．5 【变式4】．函数是偶函数，且它的值域为，则__________． 题型六 函数奇偶性质的应用 【例13】若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例14】已知偶函数在区间上单调递减，则满足不等式成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．58．（25-26高三上·江苏无锡·期末）若奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3】．（2022·辽宁朝阳·高三阶段检测）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式5】．已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型七 函数奇偶性与图像 【例15】函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【例16】已知是定义在区间内的奇函数，且在区间内的图象如图所示，则的单调递增区间为（    ）    A． B． C．和 D． 【变式1】函数的图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2】定义在上的函数是奇函数，其部分图象如图所示： 则与的大小关系为_________（填“>”“<”或“=”）. 【变式3】已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么的值域是______.    学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初高中衔接专题讲义 第十七讲 函数的奇偶性（解析版） 【知识点透析】 一、函数奇偶性的定义 1、奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称 2、偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称。 偶函数的性质：，可避免讨论． 二、判断函数奇偶性的常用方法 1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 2、验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. 4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. 5、分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 三、定义法判断函数奇偶性 判断与的关系时，也可以使用如下结论： 如果或，则函数为偶函数； 如果或，则函数为奇函数． 四、函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【知识点精讲】 题型一 基本函数奇偶性的判断 【例1】下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用函数的奇偶性的定义依次判断即可. 【解答过程】对A，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故A不符合题意； 对B，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故B不符合题意； 对C，函数定义域为，关于原点对称，，满足，故C符合题意； 对D，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故D不符合题意. 故选：C. 【例2】．判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)奇函数 (2)既不是奇函数也不是偶函数 (3)既是奇函数又是偶函数 (4)偶函数 【分析】由奇偶性的定义对各个题一一判断即可得出答案. （1） 的定义域是，关于原点对称， 又，所以是奇函数． （2） 因为的定义域为，不关于原点对称， 所以既不是奇函数也不是偶函数． （3） 因为的定义域为，所以， 则既是奇函数又是偶函数． （4） 方法一（定义法）  因为函数的定义域为R，所以函数的定义域关于原点对称． ①当x＞1时，，所以； ②当时，； ③当时，，所以． 综上，可知函数为偶函数． 方法二（图象法）  作出函数的图象，如图所示，易知函数为偶函数． 【变式1】下列函数中是偶函数的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】由偶函数的定义判断即可． 【详解】对于A，函数，定义域关于原点对称， 且，则函数是偶函数； 对于B，函数，定义域为，关于原点对称， 而与不恒等，则函数不是偶函数； 对于C，函数定义域为，关于原点对称， 而与不恒等，则函数不是偶函数； 对于D，函数的定义域不关于原点对称，则函数不是偶函数. 故选：A 【变式2】判断下列函数的奇偶性: （1）; （2）; 【答案】（1）非奇非偶函数 （2）奇函数 【解析】（1）函数的定义域为，不关于原点对称， 所以该函数是非奇非偶函数; （2）函数的定义域为，关于原点对称. ∵ ∴该函数是奇函数。 【变式3】．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的函数，逐一计算各个选项中的函数，并分别判断作答. 【详解】函数， 对于A，，其图象关于原点对称，是奇函数，A是； 对于B，，其图象关于原点不对称，不是奇函数，B不是； 对于C，，其图象关于原点不对称，不是奇函数，C不是； 对于D，，其图象关于原点不对称，不是奇函数，D不是. 故选：A 题型二 抽象函数的奇偶性 【例3】若是定义在上的函数，则下列选项中一定是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数奇偶性的定义即可判断. 【解答过程】不知奇偶性，因此与的关系不确定，与关系不确定，故A错误； 令，，， 所以为偶函数，即为偶函数，故B正确； 也不知其奇偶性，故C错误； 令，，， 所以为奇函数，即为奇函数，故D错误． 故选：B． 【例4】已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、抽象函数的奇偶性 【分析】根据奇函数，偶函数的定义，逐一判断各选项即可. 【详解】选项A：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，A错误. 选项B：设， 由，可知是奇函数，B正确. 选项C：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，C错误. 选项D：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，D错误. .【变式1】已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】D 【解题思路】根据奇偶性的定义判断即可. 【解答过程】因为是定义在上的奇函数，所以； 是定义在上的偶函数，所以， 则，所以为奇函数，故A错误； ，所以为偶函数，故B错误； ，则为非奇非偶函数，故C错误； ，故为偶函数，故D正确. 故选：D. 【变式2】已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【答案】C 【知识点】求抽象函数的解析式、抽象函数的奇偶性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用赋值法求出、及的值，从而判断AB；令，结合的值，可得，从而判断CD. 【详解】对于A，令，则， 又因为，所以， 令，则，解得，故A错误； 对于B，令，则，又， 解得，故B错误； 对于C，令，则有， 又因为，所以， 所以函数为单调递增函数，故C正确； 对于D，由C可知，为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C. 【变式3】．已知为上的奇函数，为上的偶函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．为上的奇函数 B．为上的奇函数 C．为上的偶函数 D．为上的偶函数 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性定义逐项判断可得答案. 【详解】因为为上的奇函数，为上的偶函数， 所以，， 对于A， ，设，则，故错误；     对于B， ，设，则，故错误； 对于C， ，，设，，故错误；对于D，， 设， ，所以为偶函数，故正确. 故选：D. 题型三 利用奇偶性求值或者比较大小 【例5】．已知函数是奇函数，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用 【详解】已知是奇函数，根据奇函数定义有， 当时，，则， 所以. 【例6】已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】由偶函数性质可得，再利用函数单调性即可判断． 【详解】由是定义在上的偶函数，则， 由在上是增函数，则， 所以． 【例7】已知是定义在上的函数，且满足；则的值为（    ） A．－5 B． C．－1 D．1 【答案】C 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】根据是奇函数和的值可得出的值，进一步可求出的值. 【详解】令，则，因为是奇函数，所以. 因为，所以，所以， 所以. 【变式1】设为定义在R上的偶函数，且当时，，则（    ） A．e-1 B．-2e-2 C．2e-1 D．2e-2 【答案】D 【分析】根据偶函数的性质，即可求得答案. 【详解】因为为定义在R上的偶函数，得， 所以，得, 故选:D 【变式2】．已知是上的偶函数，当时，是增函数，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】 利用是上的偶函数可知，，再根据在区间上单调递增即可判断大小. 【详解】利用是上的偶函数可知，， 由于，又在区间上单调递增， 则, 故. 【变式3】．（2022·江苏无锡高一单元测试）已知定义在上的奇函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇偶性可得定义域关于原点对称可求a值，根据奇函数可知二次项系数及常数项均为零可得b，c，于是可得函数解析式，最后利用单调性比较函数值大小． 【详解】解：由题意可得， ， 函数为奇函数， ，解得， 函数， 又函数在上为单调递增函数， 且， ． 故选：D． 【变式4】．已知，且，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】计算得出，结合可得出的值. 【详解】因为，则， ，所以，故. 故选：C. 题型四 利用奇偶性求解析式 【例8】已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】根据奇函数的性质,计算可得. 【详解】由题意，当时，，， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. 【例9】．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】由偶函数的性质即可求解. 【详解】当时，， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 【例10】已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（     ） A．1 B．5 C．6 D．4 【答案】C 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】由奇偶性的定义建立方程组，求解得到，将代入即可得到答案. 【详解】因为①，所以②， 又因为分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以②式可化为③， 联立①③得， 所以. 故选：C. 【变式1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】利用奇函数的性质即可求出时，的解析式. 【详解】由题可知，时，， 取，则，， 由奇函数性质可得：. 【变式2】．已知函数是定义域为的偶函数，且当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】利用偶函数的性质求函数解析式即得. 【详解】当时，，则， ∵函数是定义域为的偶函数，∴， ∴. 故选：A. 【变式3】已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ） A．0 B．2 C． D．1 【答案】A 【知识点】求函数值、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用 【分析】利用奇偶性，结合恒等式可求解，从而可求出结果. 【详解】因为定义域均为且， 所以可得， 又因为是奇函数，是偶函数，所以 即上式可化简为， 再与相加可得， 代入可得， 所以即. 故选：A. 题型五 利用奇偶性求参数 【例11】若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】求函数值、由奇偶性求参数 【详解】为奇函数，，解得， 时，， ，符合题意， ． 【例12】已知是定义域为的偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据偶函数定义域关于原点对称且对称轴为轴可构造方程组求得，进而求得结果. 【详解】是定义域为的偶函数， ，解得：，，. 故选：A. 【变式1】．已知函数是奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】利用奇函数的定义求解. 【详解】因为是分式，定义域为，又函数为奇函数， 所以定义域关于原点对称，， 所以，因为， 所以是奇函数，故. 【变式2】若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义可得，整理化简可求得a的值，即得答案. 【详解】由函数为奇函数，可得， 所以， 所以，化简得恒成立， 所以，即, 经验证，定义域关于原点对称，且满足，故； 【变式3】已知函数为偶函数，则（   ） A．2 B． C． D．5 【答案】D 【知识点】求函数值、由奇偶性求参数 【分析】先根据定义域得到，再验证其为偶函数，最后代入数据计算即可. 【详解】由题意得，则， 由函数 为偶函数，则其定义域关于原点对称，则， 此时，定义域为，关于原点对称， 且，则为偶函数，满足题意. 所以 ． 故选：D． 【变式4】．函数是偶函数，且它的值域为，则__________． 【答案】 【分析】展开，由是偶函数得到或，分别讨论和时的值域，确定，的值，求出结果. 【详解】解：为偶函数， 所以，即或， 当时，值域不符合，所以不成立； 当时，，若值域为，则，所以 . 故答案为：. 题型六 函数奇偶性质的应用 【例13】若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性解不等式、抽象函数的奇偶性 【分析】首先将转化为或，根据函数单调性解和，进而可以求出结果. 【详解】因为， 所以或， 因为在上单调递增，且， 所以， 因为在上为奇函数， 所以在上单调递增，且， 因此， 综上：不等式的解集为. 故选：C. 【例14】已知偶函数在区间上单调递减，则满足不等式成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性解不等式、抽象函数的奇偶性 【分析】根据函数为偶函数及在区间上单调递减，可得在区间上单调递增，进而结合函数的单调性可以将转化为，解可得的取值范围，即可得答案． 【详解】因为偶函数在区间上单调递减， 所以在区间上单调递增， 若，则，解得， 即的取值范围是. 故选：B. 【变式1】．58．（25-26高三上·江苏无锡·期末）若奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据函数的奇偶性转化不等式，利用函数单调性列不等式求的取值范围． 【详解】已知是奇函数，且， ，不等式等价于， 在上单调递减， ，解得，即，故C正确． 故选：C． 【变式2】已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由奇函数的性质结合单调性解抽象不等式可得. 【详解】将不等式变形可得， 因为函数是上单调递增的奇函数，所以不等式等价于， 所以，即的取值范围为. 故选：D 【变式3】．（2022·辽宁朝阳·高三阶段检测）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的奇偶性，再得到时的单调性，利用偶函数比大小的处理方式，转化为，即可求解. 【详解】因为，所以是偶函数， 【变式4】已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据函数的奇偶性和单调性化简不等式，由此求得正确答案. 【详解】依题意，是偶函数， 在上单调递增，在上单调递减， ， 由，得， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 【变式5】．已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据奇偶性与单调性的关系列出不等式求解，注意函数定义域. 【详解】因为已知为上的偶函数，且在上单调递增， 所以不等式，即，解得. 故选：A. 题型七 函数奇偶性与图像 【例15】函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用函数的奇偶性排除两个选项，再利用时函数值的正负即可判断得解. 【解答过程】函数中，，解得，函数的定义域为， 由，得函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除AD； 当时，，排除选项C，选项B符合要求. 故选：B. 【例16】已知是定义在区间内的奇函数，且在区间内的图象如图所示，则的单调递增区间为（    ）    A． B． C．和 D． 【答案】C 【知识点】求函数的单调区间、函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、奇偶函数对称性的应用 【分析】根据奇函数的定义可知区间应关于原点对称，从而可求出a的值，再根据函数图象即可得到其增区间． 【详解】由题意得，且，解得， 由题图得函数在内单调递增， 由奇函数的性质得函数在内单调递增， 因此的单调递增区间为和． 故选：C． 【变式1】函数的图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解题思路】判定函数的奇偶性和正负即可得解. 【解答过程】的定义域为，它关于原点对称，且， 所以是偶函数，排除AB， 当时，，排除C，经检验，D符合题意. 故选：D. 【变式2】定义在上的函数是奇函数，其部分图象如图所示： 则与的大小关系为_________（填“>”“<”或“=”）. 【答案】 【知识点】奇偶函数对称性的应用 【分析】根据奇函数的图象特征可作出函数的图象，结合图象可得出与的大小关系． 【详解】因为是奇函数，所以其图象关于原点对称，如图所示： 观察图象，知． 故答案为：＞． 【变式3】已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么的值域是______.    【答案】 【知识点】奇偶函数对称性的应用、函数奇偶性的应用 【分析】由图象读出当时的取值范围，再由奇函数的性质求出时的取值范围，即可求出函数的值域. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，则， 又当时，的图象如图所示，可知； 所以当时，，则，所以， 综上可得的值域是. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $