第十八讲 幂函数-2026年初高中数学衔接专题讲义

2026年初高中衔接专题讲义 第十八讲 幂函数（解析版） 【知识点透析】 1、幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 2、五个幂函数的图象与性质 （1）在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝ ；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． 注：第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象． （2）五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减 增 增 在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减 3、一般幂函数的图象特征 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． （2）当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． （3）当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减． （4）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． （5）在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 4、幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数． (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式． 5、幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象． ②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象． 6、解决与幂函数有关的综合性问题的方法 首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用． 7、解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝或y＝x3)来判断． 8、比较幂值大小的方法 (1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小． (2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”． 9、利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．　 【知识点精讲】 考点一 幂函数的定义 【例1】下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义排除A； 是非奇非偶的函数，所以排除B; 是偶函数，所以排除C； ，既是幂函数，又是奇函数，所以选D. 【详解】根据幂函数的定义：形如的函数是幂函数，排除A； 的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶的函数，所以排除B; 是偶函数，所以排除C； ，既是幂函数，又是奇函数，所以选D. 故选：D. 【例2】．现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由幂函数的定义即可求解. 【详解】由于幂函数的一般表达式为：； 逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个. 故选：C. 【例3】下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、判断函数是否是幂函数 【分析】根据幂函数的定义及常用函数的单调性计算即可. 【详解】因为形如的函数为幂函数，显然A、C不符合定义，B、D符合幂函数定义； 又在上单调递减，在上单调递增，故D正确， 在上单调递增，在上单调递减，即C错误. 【变式1】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断函数是否是幂函数 【分析】根据幂函数定义判断即可. 【详解】由幂函数的定义可知，是幂函数． 故选：C. 【变式2】下列函数是幂函数且在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断一般幂函数的单调性、判断函数是否是幂函数 【分析】利用幂函数的定义及性质逐项判断即得. 【详解】对于AB，与都是幂函数，在上都单调递增，AB不是； 对于C，函数不是幂函数，C不是； 对于D，函数是幂函数，且在上是减函数，D是. 故选：D 【变式3】．下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 【答案】C 【解题思路】根据幂函数的定义判断即可. 【解答过程】由幂函数定义可知，②④是幂函数， 故选：C. 题型二 幂函数的解析式 【例4】已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 【答案】D 【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式 【详解】由题意得，，则，则. 【例5】已知幂函数在上单调递减，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或． 又在上单调递减，所以，所以． 【变式1】已知幂函数是偶函数，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值、由奇偶性求参数 【分析】根据幂函数和偶函数的定义进行求解即可. 【详解】因为该函数是幂函数， 所以，解得，或， 当时，， 因为， 所以函数不是偶函数，不符合题意； 当时，，此时定义域为全体非零实数， 因为， 所以函数是偶函数，符合题意， 所以. 故选：C 【变式2】幂函数在单调递减，则（    ） A． B． C．3 D．-3 【答案】D 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【详解】由为幂函数可得，即， 又幂函数在单调递减可得，即， 所以. 【变式3】已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（   ） A．1 B．或3 C． D．3 【答案】C 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的定义求出参数的值，再代入检验即可. 【详解】由题意知，即，解得或， ∴当时，，则在上单调递增，符合题意； 当时，，则在上单调递减，不符合题意， ． 【变式4】．已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式． 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性，可知，又，则，再根据函数是偶函数，将分别代入验证可得答案. 【详解】因为幂函数在区间上单调递减，则，得， 又∵，∴或1． 因为函数是偶函数，将分别代入， 当时，，函数为是偶函数，满足条件. 当时，，函数为是偶函数，满足条件. 的解析式为． 题型三 幂函数的定义域 【例6】幂函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求幂函数的定义域 【分析】根据幂函数有意义可直接得到结果. 【详解】，，即的定义域为. 故选：B. 【例7】已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求幂函数的解析式、求与幂函数有关的复合函数定义域 【分析】根据幂函数的图象过点，求出的解析式，从而得到的解析式，求得函数的定义域. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得. 故，则， 所以，所以， 所以函数的定义域是. 故选：D. 【例8】函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 则有，解得且， 因此的定义域是．故选：B 【变式1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求与幂函数有关的复合函数定义域、抽象函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】分别分析函数和的定义域限制，列不等式组求解即可． 【详解】由，解得． 故选：D． 【变式2】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求使函数有意义的的取值范围可得答案. 【详解】由已知解得，所以f(x)的定义域为． 故选：B． 【变式3】．5个幂函数：①；②；③；④；⑤.其中定义域为的是（    ） A．只有①② B．只有②③ C．只有②④ D．只有④⑤ 【答案】C 【分析】分别写出所给函数的定义域，然后作出判断即可. 【详解】①的定义域为， ②的定义域为R， ③的定义域为， ④的定义域为R， ⑤的定义域为， 故选：C. 【变式4】．已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为偶函数 D．为减函数 【答案】C 【分析】首先求出幂函数解析式，再根据幂函数的性质一一判断即可. 【详解】解：因为幂函数的图象过点，所以，所以，所以，定义域为，且，即为偶函数，因为，所以，所以，故A错误，B错误，C正确，又 在上单调递减，根据偶函数的对称性可得在上单调递增，故D错误； 故选：C 题型四 幂函数的值域问题 【例9】．若是幂函数，且，则 【答案】9 【分析】设出幂函数解析式，根据解出参数，将代入计算即可. 【详解】解：因为是幂函数，记，因为， 所以，解得，故， 所以. 故答案为：9 【例10】．若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求幂函数的值域、幂函数的奇偶性的应用 【分析】根据幂函数的性质逐一分析每个选项. 【详解】A选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，A选项错误； C选项，，值域为，值域不符合题意，C选项错误； D选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，D选项错误； B选项，，定义域为，定义域关于原点对称， 且，是偶函数，且值域也满足，B选项正确. 故选：B 【例11】．已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由幂函数的图像过点， 可得，解得，所以， 函数， 则， 所以在区间上单调递增， 所以的最小值.故选： 【变式1】．已知幂函数满足，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】设出幂函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答. 【详解】依题意，设，则， 所以. 【变式2】．以下函数，，，中，值域为的函数共（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据四个函数的定义域结合函数的解析式，分别求出四个幂函数的值域即可得答案． 【详解】函数，其定义域为，值域为； 函数的定义域为，值域为； 函数，，函数值域为； 函数，值域为． 值域为的函数共3个． 故选C. 【变式3】已知幂函数，其中，满足下列两个条件：①在区间上是增函数；②对任意的，都有.则当时，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由幂函数的单调性求参数、求幂函数的值域、根据函数是幂函数求参数值、利用函数单调性求最值或值域 【分析】根据已知条件分析求出参数，结合题意分析得出函数的解析式，然后利用函数单调性求值域即可. 【详解】对任意的，都有， 所以函数为奇函数， 又，所以， 当时，满足①不满足②， 当时，满足①和②， 当时，不满足①和②， 所以幂函数为， 又函数在区间上是增函数， 故在上单调递增， 所以， 即函数在上的值域为， 故选：A. 【变式4】已知函数，且． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 【分析】（1）由题目条件代入即可求得，从而求出，即可求出的解析式. （2）由（1）可知，，由二次函数求值域即可求出函数在上的值域. 【详解】（1）因为，所以， 整理得，即或（舍去）， 则，故． （2）由（1）可知，． 因为，所以，，所以． 故在上的值域为． 题型五 幂函数的图像 【例12】函数的大致图象是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【知识点】幂函数图象的判断及应用、判断五种常见幂函数的奇偶性 【详解】函数的定义域为，故C选项错误，D选项错误； 函数是奇函数，所以函数图象关于原点对称，故B选项错误；A选项正确； 【例13】若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】幂函数图象的判断及应用 【分析】由所给图象结合幂函数单调性判断即可得. 【详解】当时，在上单调递增， 且时，当增大时，图象越来越平缓，所以； 当时，在上单调递减， 不妨令，根据题图可得，所以； 综上可得. 【例14】幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 【答案】C 【知识点】幂函数图象的判断及应用、判断一般幂函数的单调性 【详解】幂函数的定义域为，由，得函数是偶函数， 其图象关于轴对称，又，则该函数图象在轴及上方， 而，则函数在上单调递增， 所以幂函数的图象经过第一、二象限，且在第一象限内单调递增. 【变式1】函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、幂函数图象的判断及应用 【分析】根据题意，求得函数的定义域，再求得为偶函数，且在上单调递减，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，则满足，解得， 即函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除BD选项， 又由幂函数的性质，可得在上单调递减， 所以选项A的图象符合题意. 【变式2】已知幂函数的图象过点，则函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据幂函数经过的点得表达式，进而根据幂函数的性质即可结合选项求解. 【详解】设幂函数的解析式为 由幂函数的图象过点，解得 ，其定义域为，且是增函数， 当时，其图象在直线的上方，故 C满足题意. 故选：C 【变式3】图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】幂函数图象的判断及应用 【分析】根据给定的图象，结合幂函数的性质判断即得. 【详解】令图象为的幂函数分别为， 观察图象知，曲线在第一象限内从左到右下降，对应函数在上单调递减，则； 曲线在第一象限内从左到右都上升，对应函数在上都单调递增， 而在时，曲线在直线上方，曲线在直线下方，则， 因此. 故选：D 【变式4】．给出幂函数：①；②；③；④；⑤.其中满足条件的函数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】条件表明函数应是上凸函数，结合幂函数的图象可作答． 【详解】如图，只有上凸函数才满足题中条件，在第一象限内，函数是一条直线，函数，和的图像是凹形曲线，而函数的图像是上凸的，所以只有④满足，其他4个都不满足. 故选：A. 题型六 幂函数的图象过定点问题 【例15】幂函数（是常数）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的图象和性质即可确定答案. 【详解】由题意可知当时，，此时函数值与取何值无关， 故幂函数（是常数）的图象一定经过点， 故选：B 【例16】（多选题）关于幂函数是常数），结论正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过原点 B．幂函数图象都经过点 C．幂函数图象有可能关于轴对称 D．幂函数图象不可能经过第四象限 【答案】BCD 【分析】根据幂函数的性质逐一判断. 【详解】对于A：幂函数不经过原点，A错误 对于B：对于幂函数是常数），当时，，经过点，B正确； 对于C：幂函数的图像关于轴对称，C正确； 对于D：幂函数图象不可能经过第四象限，D正确. 故选：BCD. 【变式1】函数的图象过定点 ． 【答案】 【分析】利用求得正确答案. 【详解】当时，， 所以定点为. 故答案为： 【变式2】已知函数（为不等于0的常数）的图象恒过定点P，则P点的坐标为 . 【答案】 【分析】由幂函数的性质知的图象恒过，即可求出函数的图象恒过的定点. 【详解】因为的图象恒过， 所以的图象恒过定点. 故答案为： 【变式3】函数恒过定点______． 【答案】 【解析】当，即时，，函数恒过定点. 题型七 幂函数的单调性 【例17】．下列四个函数中，在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、判断一般幂函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据题意，结合一次函数，二次函数，反比例函数，分段函数性质判断各选项中函数的单调性. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，，是一次函数，在上单调递增，不符合题意； 对于B，，是二次函数，在上单调递增，不符合题意； 对于C，是反比例函数，在上单调递增，不符合题意； 对于D，，在上单调递减，符合题意. 故选：D. 【例18】已知幂函数，当时，随的增大而减小，则实数的值为 ． 【答案】2 【分析】根据题意要得，且，从而可求出的值 【详解】∵是幂函数， ∴，即，∴或． 当时，，是幂函数，且满足当时，随的增大而减小； 当时，，是幂函数，但不满足当时，随的增大而减小，故舍去． ∴实数的值为2． 故答案为：2 【变式1】函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域、判断与幂函数相关的复合函数的单调性、复合函数的单调性 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】对于函数， 令，解得，所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 【变式2】已知幂函数的图象经过点，则是（   ） A．偶函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递减 C．奇函数，且在上单调递增 D．奇函数，且在上单调递减 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求幂函数的解析式、判断一般幂函数的单调性 【分析】利用待定系数法求出的解析式，根据奇函数定义和幂函数性质判断. 【详解】设，则，所以，故，， 又，所以是奇函数，且在上单调递增. 故选：C. 【变式3】．已知函数的增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先求得函数的定义域，再令，结合的单调性，利用复合函数的单调性求解. 【详解】由， 解得或， 因为在递减，在递增， 又因为在递增， 所以增区间为 故选：A 题型八 利用幂函数单调性解不等式 【例19】已知幂函数（为常数）的图象经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求幂函数的解析式、求幂函数的定义域、判断一般幂函数的单调性、由幂函数的单调性解不等式 【分析】先根据解得，继而确定的定义域与单调性，再结合定义域与单调性，解不等式即可. 【详解】∵幂函数的图象经过点，，解得， 故，. 因为，故在定义域上单调递增， 故由，可得解得. 故选：C. 【例20】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性解不等式 【分析】根据奇偶性定义和幂函数性质得在上单调递增，并将所求不等式化为，利用单调性可得自变量大小关系，进而求得结果. 【详解】的定义域为，， 为定义在上的奇函数； 由幂函数性质知：在上单调递增； 由得：， ，解得：，不等式的解集为. 故选：D. 【例21】已知函数，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、判断与幂函数相关的复合函数的单调性 【分析】根据条件可判断函数是的增函数，且为奇函数；利用函数的奇偶性单调性解不等式即可. 【详解】依题意，函数的定义域为； 因为，所以函数是奇函数； 因为，所以； 根据解析式及幂函数的单调性知函数在上单调递增； 所以，解得；故实数的取值范围是； 故选：A. 【变式1】已知幂函数在上是增函数，.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由幂函数的单调性解不等式、由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】先根据幂函数的概念和单调性求的值，再根据幂函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为幂函数在上是增函数， 所以，所以. 又幂函数是定义在上的增函数， 所以. 故选：C 【变式2】已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求幂函数的解析式、由幂函数的单调性解不等式 【分析】由题意求得，再根据其单调性和奇偶性求解. 【详解】设幂函数， 因为的图象过点， 所以，解得， 所以且在上是增函数，奇函数， 又， 所以， 所以，解得， 故选：B 【变式3】．（2021·陕西榆林高一课时检测）已知幂函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的单调性与定义域可解不等式. 【详解】因为幂函数的定义域为，且是定义域上的减函数， 所以若，则解得. 故选：D. 【变式4】已知函数，则的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、解不含参数的一元二次不等式、判断与幂函数相关的复合函数的单调性 【分析】是上的奇函数且在上递减，即可将原不等式等价转化为，求解即可. 【详解】由于的定义域为，且，故是奇函数， 又因为均为在上的减函数， 则在上单调递减. 从而不等式等价于，即. 此即，即，解得. 故选：B. 题型九 比较幂值大小 【例22】设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性判断. 【详解】因为，，， 又，在上单调递增， 所以． 综上，． 故选：A． 【例23】若， ，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数的单调性和值域，比较算式的大小. 【详解】幂函数在上单调递增，值域为， 由，则，又， 所以. 故选：D 【变式1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由幂函数的单调性比较大小 【分析】借助是增函数，直接得解. 【详解】因为是增函数， 因为，所以， 即. 故选：C 【变式2】比较下列各组数中两个数的大小. (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据幂函数的单调性比较大小 【详解】（1）因为幂函数在上单调递增，且， 所以， （2）因为幂函数在上单调递减，且， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初高中衔接专题讲义 第十八讲 幂函数（原卷版） 【知识点透析】 1、幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 2、五个幂函数的图象与性质 （1）在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝ ；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． 注：第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象． （2）五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减 增 增 在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减 3、一般幂函数的图象特征 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． （2）当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． （3）当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减． （4）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． （5）在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 4、幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数． (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式． 5、幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象． ②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象． 6、解决与幂函数有关的综合性问题的方法 首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用． 7、解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝或y＝x3)来判断． 8、比较幂值大小的方法 (1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小． (2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”． 9、利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．　 【知识点精讲】 考点一 幂函数的定义 【例1】下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】．现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例3】下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列函数是幂函数且在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 题型二 幂函数的解析式 【例4】已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 【例5】已知幂函数在上单调递减，则（    ） A．4 B． C． D． 【变式1】已知幂函数是偶函数，则（   ） A． B． C． D．1 【变式2】幂函数在单调递减，则（    ） A． B． C．3 D．-3 【变式3】已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（   ） A．1 B．或3 C． D．3 【变式4】．已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式． 题型三 幂函数的定义域 【例6】幂函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【例7】已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【例8】函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式2】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3】．5个幂函数：①；②；③；④；⑤.其中定义域为的是（    ） A．只有①② B．只有②③ C．只有②④ D．只有④⑤ 【变式4】．已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为偶函数 D．为减函数 题型四 幂函数的值域问题 【例9】．若是幂函数，且，则 【例10】．若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【例11】．已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是（ ） A．1 B． C． D． 【变式1】．已知幂函数满足，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式2】．以下函数，，，中，值域为的函数共（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】已知幂函数，其中，满足下列两个条件：①在区间上是增函数；②对任意的，都有.则当时，的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数，且． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 题型五 幂函数的图像 【例12】函数的大致图象是（   ） A．B．C． D． 【例13】若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【例14】幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 【变式1】函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知幂函数的图象过点，则函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式3】图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ） A． B． C． D． 【变式4】．给出幂函数：①；②；③；④；⑤.其中满足条件的函数的个数是（    ） A． B． C． D． 题型六 幂函数的图象过定点问题 【例15】幂函数（是常数）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【例16】（多选题）关于幂函数是常数），结论正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过原点 B．幂函数图象都经过点 C．幂函数图象有可能关于轴对称 D．幂函数图象不可能经过第四象限 【变式1】函数的图象过定点 ． 【变式2】已知函数（为不等于0的常数）的图象恒过定点P，则P点的坐标为 . 【变式3】函数恒过定点______． 题型七 幂函数的单调性 【例17】．下列四个函数中，在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【例18】已知幂函数，当时，随的增大而减小，则实数的值为 ． 【变式1】函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知幂函数的图象经过点，则是（   ） A．偶函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递减 C．奇函数，且在上单调递增 D．奇函数，且在上单调递减 【变式3】．已知函数的增区间为（    ） A． B． C． D． 题型八 利用幂函数单调性解不等式 【例19】已知幂函数（为常数）的图象经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例20】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例21】已知函数，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1】已知幂函数在上是增函数，.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．（2021·陕西榆林高一课时检测）已知幂函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数，则的解集为（　　） A． B． C． D． 题型九 比较幂值大小 【例22】设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例23】若， ，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】比较下列各组数中两个数的大小. (1)与； (2)与. 学科网（北京）股份有限公司 $