25.2.3 因式分解法课件2026-2027学年九年级上册数学人教版

该初中数学课件聚焦“因式分解法解一元二次方程”，通过物理上抛物体问题导入，回顾配方法、公式法，自然引出因式分解法，构建旧知到新知的学习支架，帮助学生理解降次与转化思想。 其亮点在于以问题情境培养数学眼光，对比解法发展数学思维，口诀“右化零，左分解，两因式，各求解”助力数学语言表达。如例3通过方程结构选解法，练一练结合三角形三边关系应用，对接中考提升应用意识。学生能掌握解题策略，教师可高效教学。

第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 6. 课堂小结 7. 当堂小练 CONTENTS 9. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 5. 知识点2 用适当的方法解一元二次方程 8. 对接中考 1. 理解因式分解法解一元二次方程的原理，能运用因式分解法解一元二次方程. 2. 体会 “降次” 与 “转化” 的数学思想，能对比因式分解法与配方法、公式法的特点，根据方程结构选择合适的解法. 学习目标 知识回顾 解一元二次方程的基本思路是什么? 降次 我们已经学过哪些解一元二次方程的方法? 1.直接开平方法：形如的方程，用直接开平方法. 2.配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程. 3.公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式 的值，当 时，利用求根公式 求方程的根. 知识回顾 因式分解的方法 1. 提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 2. 公式法：利用平方差公式 利用完全平方公式分解因式. 3. 十字相乘法：利用分解因式. 新课导入 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10m/s 的速度竖直上抛，那么物体经过 x s后的离地高度(单位：m)约为 10x-5x2. 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？ 解：设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m， 即 10x-5x2=0. 问题 思考 已经学习的配方法、公式法可以解吗？ 用配方法或公式法可以解方程，但都不简单，你能想到别的简单方法解这个方程吗？ 新课讲解 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 探究 x(10 - 4.9x) = 0， 观察方程 10x－4.9x2＝0，它有什么特点？你能根据它的特点找到更简便的方法吗？ 10x - 4.9x 2 = 0， x1 = 0，x2 =. x = 0 或10 - 4.9x = 0， a·b=0 a=0或b=0 右边为0 左边可以因式分解 新课讲解 解方程10x－4.9x2＝0时，二次方程是如何降为一次的？ 思考 从上面的解法中，可以发现，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次． 新课讲解 因式分解法 先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于 0的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 . 理论依据： ab=0 a=0或b=0. 降次 结构特征：等号左边是两个因式的乘积，右边是0. 1. 在方程没有化成一般形式前，一般不要对左边进行因式分解. 2. 整理后缺项的一元二次方程用因式分解法求解较简单． 注意 新课讲解 例 解法一：因式分解，得 (x－2)(x＋1)＝0. 于是得 x－2＝0，或x＋1＝0， x1＝2，x2＝－1. 1. 解方程：. 整体思想:公因式x-2 易错点：这里提取公因式x-2后，还剩下1，不是0. 解法二：整理，得x2-x-2=0 因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0. 于是得 x－2＝0，或x＋1＝0， x1＝2，x2＝－1. 解法一用到了整体思想，解法二用到了十字相乘法 新课讲解 例 2. 解方程： 平方差公式 解：移项、合并同类项，得 4x2－1＝0. 因式分解，得 (2x＋1)(2x－1)＝0. 于是得 2x＋1＝0，或2x－1＝0， ,. 新课讲解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤  1. 移项：将方程的右边化为0； 2. 分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； 3. 转化：令两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 4. 求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解. 归纳 右化零，左分解，两因式，各求解． 口诀 新课讲解 练一练 解：(1)因式分解，得x(x＋1)＝0， 于是得x＝0，或x＋1＝0， 即x1＝0，x2＝－1. 1. 用因式分解法解下列方程： (1)x2+x=0； (2)(2x-3)2=(3x-2)2； (3)3x2-6x=-3. (2)解法一： 移项，得(2x-3)2-(3x-2)2 =0. 因式分解，得[(2x-3)+(3x-2)][(2x-3)-(3x-2)]＝0. 即(5x-5)(-x-1)=0， 所以5x-5＝0，或-x-1＝0， x1＝1，x2＝-1. 整体思想 (2)解法二： 整理，得x2-1=0 ， 因式分解，得(x-1)(x+1)=0， 所以x-1＝0，或x+1＝0， x1＝1，x2＝－1. (3)移项、化简，得x2-2x+1=0， 因式分解，得(x-1)2=0， 于是得x-1=0，即x1=x2=1. 2. 已知某一元二次方程的两根分别为， ，则这个方程可能为 ( ) 新课讲解 练一练 A A. B. C. D. 新课讲解 练一练 A. 23 B. 23或33 C. 24 D. 24或30 3. 三角形两边的长分别是7和11，第三边的长是一元二次方程 的一个实数根，则该三角形的周长是 ( ) B 解： ， ， ， , ,. 长为7，11，5的线段和长为7，11，15的线段都能组成三角形， 该三角形的周长是 或. 新课讲解 知识点2 用适当的方法解一元二次方程 配方法： 分别用配方法、公式法和因式分解法解方程 . 解：- x=0， - x+=0+， =， x-=±，x=±+， =，=0. 解：10x-4.9x2=0化为一般式为4.9x2-10x=0. 公式法： ∵ a=4.9，b=-10，c=0. ∴ b2-4ac= (-10)2-4×4.9×0=100. x， =，=0. 解：10x-4.9x2=0， x(10-4.9x) =0， x =0或10-4.9x=0， 因式分解法： =0，=. 新课讲解 方法 理论依据 适用方程 关键步骤 主要特点 直接开平方法 平方根的意义 x2=n (n≥0) 或(ax+b)2=n  (a≠0，n≥0) 型方程. 开平方 求解迅速、准确，但只适用于一些特殊结构的方程. 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程. 配方 解法烦琐，当二次项系数为 1 或常数项较大时，用此法较简单. 公式法 配方 所有一元二次方程. 代入求根公式 对系数进行混合运算，易出现化简不彻底的错误. 因式分解法 若 ab=0， 则 a=0 或 b=0 能化为一边为 0，另一边为两个一次式积的形式的方程. 分解因式 求解迅速、准确，但适用范围较小. 一元二次方程解法的比较 新课讲解 例 直接开平方 公式 配方 因式分解 3. 在下列各题的横线上填写适当的解法. (1) 解方程 ，用____________法较适宜； (2) 解方程 ，用______法较适宜； (3) 解方程 ，用______法较适宜； (4) 解方程 ，用__________法较适宜. 新课讲解 例 解：(1)化简，得 (3x-5)(x+5)=0. 即3x-5=0 或 x+5=0. 所以 x1=，x2=-5. 等式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快. (2)开平方，得 5x + 1 = ±1. 方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法. 解得 x 1= 0 ， x2=. (3) 配方，得 x2-12x+62=4+62， 即 (x - 6)2 =40. 二次项的系数为1，用配方法解题较快. 开平方，得x-6=±2. x1=6+2 ， x2=6-2. (4) 化为一般形式为 3x2 -4x-1=0. ∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0， 二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法. ∴ x=. ∴=, =. 4. 用适当的方法解方程： (1) 3x(x + 5)= 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2=1； (3)x2 - 12x = 4； (4)3x2 = 4x + 1. 新课讲解 解一元二次方程的方法的选择技巧 若一元二次方程可化为 (mx+n)2=p(m≠0，p≥0) 的形式，则宜选用直接开平方法； 若一元二次方程的二次项系数为 1，一次项系数为偶数，则宜选用配方法； 若一元二次方程整理后右边为 0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法； 若直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便，则宜选用公式法. 归纳 新课讲解 例 5. 已知实数 满足，那么 的值为 ( ) A. 或1 B. 1 C. 2 D. 0或2 解：设 , ， 解得，. 当 时，，即，此方程无解； 当 时，，解得， . D 新课讲解 练一练 1. 解下列方程： ； ； ； . 用较简便的方法依次是( ) A. ①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B. ①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法 C. ①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法 D. ①直接开平方法，②③公式法，④因式分解法 A 新课讲解 练一练 2. 用适当的方法解下列一元二次方程： (1)4x2－64＝0； (2)2x2－7x－6＝0； (3)(3x＋2)2－8(3x＋2)＋15＝0. 解：(1)∵ 4x2－64＝0， ∴ x2＝16. ∴ x1＝4，x2＝－4. (2) 2x2－7x－6＝0， ∵a＝2，b＝－7，c＝－6， ∴Δ＝b2－4ac＝97>0， ∴， (3) 因式分解，得 ， 即， ∴， . 新课讲解 练一练 3. 已知方程 和方程的根完全相同，则 ____. 解：， ，. 把 代入方程，得， 解得 . 解方程，得， ， . 课堂小结 因式分解法解一元二次方程 解法步骤 (1)移项：将方程的右边化为0； (2)分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； (3)转化：令每个一次式分别等于0，得到两个一元一次方程； (4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解都是一元二次方程的解. 先对方程ax²+bx+c=0（a≠0）的左边分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 定义 当堂小练 1. 用适当的方法解下列方程： (1)4x2 － 64=0； (2)x2+6x=9； (3)2x2 － 7x =6； (4)(2x+1)2-4x-2=0. 解：(1) 移项，得 4x2=64. 二次项系数化为 1，得 x2=16. 开方，得x=±4，即 x1=4， x2= － 4. (2) 配方，得x2+6x+32=9+32，即(x+3)2=18. 开平方，得x+3=±3，于是x=-3±3. 所以x1=-3+3 ，x2=-3-3. (3) 方程化为2x2-7x-6=0， 此时a=2，b=-7，c=-6， ∴ Δ =b2-4ac=(-7)2-4×2×(-6)=97>0. 方程有两个不相等的实数根 ， 即，. (4) 方程变形，得(2x+1)2-2(2x+1)=0. 左边分解因式，得(2x+1)(2x+1-2)=0，即(2x+1)(2x-1)=0. 于是2x+1=0，或2x-1=0，即， . 当堂小练 2. 解方程 2(x－1) 2=3(x－1)最合适的方法是(     ) A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 D 当堂小练 3. 点 的横、纵坐标恰好是方程的两个根，则经过点 的正比例函数图象一定过 ( ) A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一象限 D. 第四象限 B 解：， ， 或， ， 点 的横、纵坐标恰好是方程的两个根， 点的坐标是或 ， 故经过点 的正比例函数图象一定过第二、四象限. 当堂小练 4. 关于的方程 的两个根，满足，且，则 的值为 ( ) A. B.2 C.3 D.5 D 解：方程变形为 ， 左边分解因式，得， 于是得 或 ， ， ， 又， ，解得 . 当堂小练 5. 设是方程的一个较大的根， 是方程的一个较小的根，则 的值是 ( ) A. B. C. D. 2 解：， ， 或 ， 解得或 是方程 的一个较大的根， ， ， 或， 解得或 是方程的一个较小的根， , . C 当堂小练 6. 定义：如果关于 的一元二次方程满足 ，那么我们称这个方程为“完美方程”. (1) 判断一元二次方程 是否为“完美方程”，并说明理由. (2) 已知是关于的“完美方程”，若 是此方程的一个根，则 的值为多少? 解：(1) 方程 是“完美方程”，理由如下： ，， ， . 一元二次方程 是“完美方程”. (2) 是关于 的“完美方程”, 其中，， , ，即 ， . 原方程可化为 . 是此方程的一个根， ， 即 . 解得或 . 对接中考 1. 一元二次方程 的解是 ( ) A. ， B. ， C. ， D. ， B 解： ， ， 或 ， ， . 对接中考 2. 如图，在菱形中，对角线的长是方程 的一个根，对角线的长为4，则菱形 的面积为 ( ) A.28 B.24 C.18 D.14 D 解：，左边分解因式，得， ， ， ， 菱形 的面积为 . 拓展与延伸 【阅读材料】 #解方程： ， 可将方程变形为 ， 设 ， 则原方程可化为 .① 解得, . 当时， ，无实数根； 当时，，解得 . 原方程的解为， .#1.1.7 换元 转化 (2)【延伸拓展】利用上面的解题方法，解答下列问题： ①解方程： ； 解：令，则原方程可化为 ， 即，解得， . 当时，， 即 ，此方程无实数解； 当时，，即 ， 解得， 原方程的解为， . (1)【解决问题】在由方程 得到方程①的过程中，利用______法达到了降次的目的，体现了______的数学思想. ②已知实数，满足 ，求 的值. 解：设， 则 可化为， 整理得 ，即 ，解得 . . 拓展与延伸 (1) 分解因式 . ①分解二次项与常数项：， . ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： . 这种分解因式的方法称为“ 十字相乘法”. (2) 若，则或 . (3) 故此方程可以这样写出求解过程： ， 左边分解因式，得， 原方程的解为， . 2.【阅读材料】解方程 ，我们可以按下面的方法解答：#1 拓展与延伸 【解决问题】试用上述方法和原理解决下列问题： (1) 二次项系数为1 ； 解：左边分解因式，得 ， 或 ， , . (2) 二次项系数不为1 . 解：左边分解因式，得 ， 或 ， ， . (3) 整体思想 . 解：左边分解因式，得 或 ， ， ． 拓展与延伸 (4) 求字母的值 已知关于的方程 ，若方程有一个根大于2，求 的取值范围. 解：左边分解因式，得 ， 或， ， ， 又 方程有一个根大于2， ， ． (5) 求分式的值 已知，且，求 的值. 解：左边分解因式，得 ， 或， ， ， 又， 或 . $