25.2.4一元二次方程的根与系数的关系（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过具体方程计算两根之和与积引导学生观察规律，衔接已学的方程解法，搭建从具体到抽象的学习支架，为后续代数式求值等应用奠定基础。 其亮点在于从特殊方程到一般推导培养推理能力，融入韦达数学史渗透文化，典例覆盖基础应用到中考真题，分层练习巩固。通过数学眼光发现规律，数学思维严谨证明，数学语言表达应用，助力学生提升抽象与推理能力，方便教师系统教学。

人教版(新教材) 九年级上册 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 第二十五章 一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (1) x2 + 3x − 4 = 0；(2) x2 − 5x + 6 = 0；(3) 2x2 + 3x + 1 = 0. 一元二次方程 两 根 x1 x2 x2 −2x +1 = 0 x2 +3x −10 = 0 2x2 + 3x + 1 = 0 1 1 2 −5 −1 2 1 −3 −10 解下列方程并完成填空： x1 + x2 = ？ x1·x2 = ？ 方程的两根 x1 和 x2 与系数 a，b，c 有什么关系？ 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 一元二次方程 (x − x1)(x − x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？ 若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？ (x − x1)(x − x2) = 0 x2 − (x1 + x2) x + x1·x2 = 0 x2 + px + q = 0 猜想 x1 + x2 = −p， x1·x2 = q 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 证明： 前提：b2 − 4ac≥0 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，那么 满足上述关系的前提条件： △=b2 − 4ac≥0. 注意 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 韦达（1540−1603） 韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一.第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进. 他生于法国的普瓦图.年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码.韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步.韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）. 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”. 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 2 −1 3 0 一元二次方程 x1 + x2 x1 · x2 x2 −2x −1 = 0 2x2 −3x + = 0 2x2 −6x = 0 3x2 =4 不解方程，求出下列方程的两根之和与两根之积： 0 首先判断每个方程的判别式△=b2 − 4ac≥0. 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (1) x2 + 7x + 6 = 0; 解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 − 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = –7 , x1 x2 = 6. 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (2) 2x2 − 3x − 2 = 0. 解：这里 a = 2 , b = −3 , c = −2. Δ= b2 − 4ac = (− 3)2 – 4 × 2 × (−2) = 25 > 0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = −1 . 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知方程x2−(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值. 解： 设方程的另一个根为x1. 把x=2代入方程，得 4−2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= − 2 由根与系数关系，得2x1 ＝−3 k, 即 2 x1 ＝−6 ∴ x1 ＝−3 答：方程的另一个根是−3 , k的值是−2. 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的根与系数的关系 数学语言 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，则 x1 + x2 = – , x1 x2 = . 文字语言 一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 使用条件 1.方程是一元二次方程，即二次项系数不为 0； 2.方程有实数根，即 Δ≥0. 重要结论 1.若一元二次方程 x2+px+q=0 的两根为 x1，x2，则 x1+x2=−p，x1x2=q. 2.以实数 x1，x2 为两根的二次项系数为1的一元二次方程是 x2−(x1+x2)x+x1x2=0. 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知x1、x2是一元二次方程 的两根，则 解：首先化为一般式 则： 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知x1、x2是一元二次方程 的两根，则 解： 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 利用根与系数的关系常见代数式求值 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知 是方程 x2−3x−4＝0 的两个实数根，则 的值为 . 0 解：根据题意得 α+β=3，αβ=−4， 所以原式 = α(α+β)−3α =3α−3α =0． 由题意 是方程 x2−3x−4＝0 的根，则 −3−4＝0，即＝34，所以原式＝34 =4 =−44 =0 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 （2026·四川广安·中考真题）已知x1， x2是关于x的一元二次方程 的两个实数根，且 ，则k的取值范围是_____． 解：由题意，方程的根的判别式 ， 解得 ， 由根与系数的关系可得： ， ， ，代入得： ， 移项，系数化为1得： ， 综上，k的取值范围是 ． 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如果一元二次方程 的两个根互为相反数，那么m=_______. 解：设原一元二次方程的两根为 x1， x2， ∵两根互为相反数，∴ ， 该方程中 ， ，根据根与系数的关系可得 ， 因此得 ，解得 ． 当时，Δ=(m+1)²−4m=4>0，方程有两个实数根， ∴ ． 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 设x1，x2是方程 x2 −2(k − 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4，求k的值. 解：由方程有两个实数根，得Δ= 4(k − 1)2 − 4k2 ≥ 0 即 −8k + 4 ≥ 0，∴k≤ . 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k −1) , x1 x2 =k 2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 4(k −1)2 −2k2 = 2k2 −8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 − 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去. 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解： 已知 有两个不相等的实根； (1)求k的取值范围; (2)是否存在k，使两根的倒数和等于0？ (1) k≠0，且 (2) 则 即k=−1， 故不存在. 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知一元二次方程 的两个根为x1， x2，且x1 + x2 =4 ， ， 那么这个一元二次方程是_____. 解：由题意，根据一元二次方程根与系数的关系可得： ， ∵x1 + x2 =4 ，x1 · x2 =3 ， ∴ ， ∴这个一元二次方程是 ． 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知一元二次方程 的两个根为x1， x2，且x1 + x2 = 4 ， ， 那么这个一元二次方程是_____. 以实数 x1，x2 为两根一元二次方程是 a[x2−(x1+x2)x+x1x2]=0. 因此可设一元二次方程为m(x2−4x+3)=0, 对比 可知，m=1， ∴这个一元二次方程是 ． 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 一元二次方程的根与系数 的关系 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根分别是 x1，x2，那么 x1 + x2 = – , x1 x2 = . 内容 应用 …… 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 一元二次方程 两根异号，则a的取值范围是 （     ） A．a<1 B．a>1 C．a<0 D．0<a<1 解：设方程的两根为 x1，x2 ， ∵两根异号， ∴ ， ， ∴ ，解得： ．∴a的取值范围是 ． 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 若关于x的一元二次方程 两根为 x1，x2 ，且 ，则m的值为( ) A．12 B．±9 C．±12 D．9 解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得 ， ， ∵ ，∴代入得 ，即 ， 解得 或 ， 当 时， ， 当 时， ， ∴ ． 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 已知 x1，x2 是一元二次方程 的两根，则 的值是（     ） A． B． C． D． 解：x1，x2 是一元二次方程 的两根， ， ， ， ∴ ， ， ∴ ． 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 若 x1，x2 是方程 x2+3x−2=0的两个实数根，则 的值为（     ） A．−9 B．−3 C．6 D．−6 解：∵ x1，x2 是方程 x2+3x−2=0的两个实数根， ∴ ， ， ∴ ． 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 设 是方程 的两个根，则 的值为______． 解： 是方程 的根， ，即 ， ∵ 是方程的两个根， ， 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 已知方程 3x2 −19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 解：将x = 1代入方程中： 3 −19 + m = 0. 解得 m = 16, 设另一个根为x1,则： 1 × x1 = ∴x1 = 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 已知x1,x2是方程2x2+2kx+k−1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4； (1)求k的值； (2)求(x1−x2)2的值. 解：(1)根据根与系数的关系 所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得：k=−7； (2)因为k=−7,所以 则： 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 已知关于 x 的一元二次方程 2x2−mx−2m+1=0 的两根的平方和是 ，求 m 的值. 解：设方程的两根分别为 x1，x2，由已知得 因为 ，所以， 所以，解得 m1=−11，m2=3. 当 m= −11时，方程为 2x2+11x+23=0，121−4×2×23=−63<0，方程无实数根，舍； 当 m=3时，方程为 2x2−3x−5=0，Δ=(−3)2−4×2×(−5)=49>0， 方程有两个不相等的实数根.综上所述，m 的值为 3. 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 $