陕西西安市临潼区华清中学2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

**基本信息** 涵盖函数、几何、概率等模块，解答题融合实际情境与逻辑推理，如概率题设计卡片抽取模型，导数题论证不等式，考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、向量、统计、概率基础|注重概念辨析，如函数奇偶性与对称性| |多选|3/18|函数性质、数列综合、双曲线几何性质|考查多角度思维，如双曲线内切圆与外接圆| |填空|3/15|复数运算、四棱锥体积、数列与切线综合|强调知识交汇，如导数几何意义与数列乘积| |解答|5/77|解三角形、立体几何夹角、概率分布列、导数应用、抛物线综合|突出数学建模与逻辑推理，如概率模型构建、导数不等式证明|

华清中学2027届高二下学期数学期末试题 注意事项： 1. 答题前,务必将自己的个人信息填写在答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 , , 则 A. B. C. D. 2. 已知向量 与 垂直,则实数 的值为 A. B. C. D. 3. 已知一组样本数据 的平均数为 2, 设 (), 则 A. B. C. D. 4. 从甲、乙、丙、丁 4 人中任选 2 人分别担任班长和副班长,则不同的选法数为 A. B. C. D. 5. 已知 是偶函数,则函数 的图象 A. 关于点 对称 B. 关于点 对称 C. 关于直线 对称 D. 关于直线 对称 6. 设 是两个平面, 是两条直线,已知 ,且 , , ,则 与 的位置关系是 A. 平行 B. 相交且垂直 C. 异面但不垂直 D. 异面且垂直 7. 已知椭圆 () 的离心率为 ，且经过点 ，过原点 的直线 与 交于 两点，若 ，则 的斜率为 A. B. C. D. 8. 已知函数 (, )，当 时， 取得最大值 3，且 满足 ，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9. 已知函数 ，则对任意的 ，且 ，有 A. B. C. D. 10. 已知等差数列 与公比为 2 的等比数列 满足 , ，且 ，则 A. B. C. D. 11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线上且位于第一象限，则下列说法正确的是 A. 点 在 的渐近线上 B. C. 若 的内切圆圆心为 ，则 的斜率为 D. 若 的外接圆圆心为 ，则点 的纵坐标为 9 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 计算：____. 13. 已知四棱锥 的底面 是面积为 4 的正方形，且 与 都是等腰直角三角形，则四棱锥 的体积为____. 14. 已知数列 满足 ，点 是曲线 在点 处的切线与 轴的交点，记 的前 项之积为 ，则使得 的正整数 ____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13分) 在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 . (1). 求角 的大小； (2). 若 ， 的面积为 ，求 的周长. 16. (15分) 如图，在四棱锥 中， 底面 ， 是等边三角形， 是棱 的中点。 (1). 证明：； (2). 若 ，，且 ，求平面 与平面 夹角的余弦值. 17. 在一个不透明的袋子中装有6张卡片,卡片上分别标有数字1,2,3,4,5,6.现从袋中每次随机抽取一张卡片,抽取的卡片不放回. (1). 求前两次抽取的卡片上的数字奇偶性相同的概率； (2). 当抽出的卡片上的数字之和为偶数时,立即停止抽取,设停止时总共抽取的卡片数量为,求的分布列与数学期望. 18. 已知函数. (1). 当时,求的单调区间； (2). 若,都有,求实数的值； (3). 证明:. 19. 已知抛物线经过点,是上的动点,且直线的倾斜角为锐角. (1). 求的焦点坐标； (2). 为坐标原点,当的面积为12时,求点的坐标； (3). 过点作的垂线,与的另一个交点为,求点的横坐标的最大值. 高二数学·答案 SHAX202606 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 1. A 2. D 3. C 4. B 5. C 6. D 7. A 8. D 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。每小题全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9. ACD 10. ABD 11. BCD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 1 - 2i 13. 14. 9 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (1). 由 ， 得 ，整理得 ，—— (1 分) 即 ， 所以 ，—— (3 分) 由余弦定理得 ，—— (5 分) 又因为 ，所以 。—— (6 分) (2). 由题意得 ，所以 。—— (9 分) 由 (1) 得 ， 则 ， 即 ，则 的周长为 。—— (13 分) 16. (1). 设 是 的中点，连接 ，如图。—— (1 分) 因为 分别是 的中点，所以 ， 因为 底面 ，所以 ， 所以 。—— (3 分) 因为 是等边三角形，所以 ，—— (4 分) 又 ，所以 平面 ，—— (5 分) 又 平面 ，所以 。—— (6 分) (2). 因为 ，且 ，所以 ， 又 是等边三角形，所以 ，所以 ，即 。—— (7 分) 如图，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系。—— (8 分) 设 ，则 ，，，—— (9 分) 所以 ，， 设平面 的法向量为 ，则可取 。—— (11 分) 易知平面 的一个法向量为 。—— (12 分) 设平面 与平面 的夹角为 ， 则 ， 所以平面 与平面 夹角的余弦值为 。—— (15 分) 17. 解析 (1). 6 张卡片上的数字有 3 个奇数和 3 个偶数， 故前两次抽取的卡片上的数字奇偶性相同的概率为 。—— (4 分) (2). : 第一次抽到偶数，；—— (5 分) : 第一次抽到奇数，第二次抽到奇数，；—— (6 分) :第一次抽到奇数,第二次抽到偶数,第三次抽到奇数,;——(7分) :第一次抽到奇数,第二次抽到偶数,第三次抽到偶数,第四次抽到奇数,;—— (9分) :第一次抽到奇数,第二次抽到偶数,第三次抽到偶数,第四次抽到偶数,第五次抽到奇数,.—— (11分) 的分布列为 X 1 2 3 4 5 P —— (12分) .—— (15分) 18. 解析 (1). 当 时,,定义域为.—— (1分) 令,解得,—— (3分) 当时,,单调递减； 当时,,单调递增. 所以的单调递减区间为,单调递增区间为.—— (5分) 令,得,—— (6分) 当时,,单调递减； 当时,,单调递增.—— (7分) 所以. 要使恒成立,只需,即.—— (8分) 设,则, 令,得,—— (9分) 当时,,单调递增； 当时,,单调递减.—— (10分) 所以, 即对于任意的 , 都有 , 若要满足 , 则必须 , 此时 . 所以实数 的值为 1. —— (12分) (3). 要证 , 即证 . 由(2)可知, 当 时 在 上恒成立, 所以 . —— (13分) 所以 . —— (14分) 设 , 则 , 当 时, , 单调递增, 所以 , 即 , 所以 . —— (17分) 19. 解析 (1) 将点 的坐标代入 的方程, 得 , 解得 . —— (1分) 所以 , 焦点坐标为 . —— (3分) (2). 设 , , 则 , 由题意知 , 所以 . —— (5分) 所以 , 令 , 得 , 即直线 与 轴的交点为 . —— (7分) 所以 . —— (8分) 由 , 解得 ( 舍去), 此时点 . —— (10分) (3). 因为 , 所以 , , 的方程为 . —— (12分) 联立 , 消去 , 可得 , 设 , 则 , 所以 . —— (14分) 易知 , 要求 的最大值, 先求 的最小值, 当且仅当 , 即 时, 等号成立, 所以点 的横坐标的最大值为 . —— (17分) 学科网（北京）股份有限公司 $