精品解析：陕西省铜川市王益中学2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

铜川市王益中学2024~2025学年第二学期高二年级期末考试 数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用并集的运算即可求解. 【详解】. 故选：B. 2. 若复数，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】方法一：根据乘法运算再应用模长计算求解；方法二：应用复数乘法的模长公式计算求解. 【详解】方法一：因为，所以. 方法二：. 故选：D. 3. 已知数列满足，，则（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】利用递推公式进行迭代，即可求解. 详解】由，，可得，， 故选：B. 4. 已知函数，则（ ） A. 729 B. 81 C. 27 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由内向外，先计算，再算即可. 【详解】因为，所以. 故选：C. 5. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量共线的坐标表示可求出的值，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为向量，，若，则，解得， 因此，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出导函数，再点斜式写出切线方程即可. 【详解】因为，所以， 而， 因此曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：A. 7. 已知某圆锥的侧面积为，母线长为4，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积可得底面半径，进而求圆锥的高和体积. 【详解】设底面半径为，高为，母线长为， 由题意可得：，解得， 则， 所以该圆锥的体积为. 故选：A. 8. 已知点P是抛物线上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线方程可得焦点与准线，根据抛物线定义，结合图象，可得答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 过点F作，交直线m于点E， 由抛物线的定义可知，， 所以当P在线段上时，取得最小值，． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线，则（ ） A. 双曲线的实轴长为8 B. 双曲线的虚轴长为3 C. 双曲线的离心率为 D. 双曲线的渐近线的斜率为 【答案】AD 【解析】 【分析】由曲线方程得到，从而知道曲线的实轴、虚轴长和离心率及渐近线的斜率. 【详解】由得双曲线中， ∴， ∴实轴，虚轴，故A选项正确，B选项错误； 离心率，故C选项错误； 渐近线方程，则斜率为，故故D选项正确. 故选：AD. 10. 若函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的图象关于点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦函数的最小正周期公式判断A，利用换元法结合正弦函数性质判断B，利用整体代入法求解对称轴判断C，利用整体代入法求解对称中心判断D即可. 【详解】对于A，由最小正周期公式得函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，由，得， 因为在上单调递增， 所以由正弦函数性质得函数在区间上单调递增，故B正确； 对于C，因为， 所以函数的图象不关于对称，故C错误； 对于D，因为， 所以函数的图象关于点对称，故D正确. 故选：ABD. 11. 将个数排成行列的一个数阵，如： 该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，，记这个数的和为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】综合运用等差数列，等比数列的性质和求和公式计算可以判定各个选项. 【详解】由题意，根据等差数列的通项公式得, 根据等比数列的通项公式得. 因为，，所以， 解得（，舍去），故A正确； 所以. ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选:ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在化学实验课上，某实验小组的8名同学利用微型天平测量某胆矾化合结晶物的质量，8名同学在测量后得到的数据（单位：克）分别为：56，64，72，76，88，67，76，80，则这组数据的第70百分位数是__________. 【答案】76 【解析】 【分析】由百分位数的概念及运算公式求解即可. 【详解】将数据从小到大排列为，由于，所以这组数据的第70百分位数为76. 故答案为：76. 13. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正切函数的倍角公式计算，计算即可． 【详解】. 故答案为： 14. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（A，B，C，D，E）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有_____种. 【答案】4410 【解析】 【分析】根据分步乘法原理及分类加法原理计算求解. 【详解】分4步进行分析： ①对于区域，有7种颜色可选； ②对于区域，与区域相邻，有6种颜色可选； ③对于区域，与、区域相邻，有5种颜色可选； ④对于区域、， 若与颜色相同，区域有5种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有4种颜色可选，区域有4种颜色可选， 则区域、有种选择.综上所述， 不同的涂色方案有种. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，. （1）若，求； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知两边及其夹角，可根据余弦定理求出第三边； （2）已知两边及其中一边的对角，可根据正弦定理求出角. 【小问1详解】 已知在中，，，. 根据余弦定理可得： 所以. 【小问2详解】 已知，，. 根据正弦定理可得， 因为，根据大边对大角可知，又， 所以为锐角，则. 16. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点（不在轴上）在椭圆上，求直线的斜率之积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的性质结合关系求解可得； （2）设，由在椭圆上，得，再利用斜率的定义代入化简可得. 【小问1详解】 由，得，解得， 设椭圆的焦距为，由焦距为4，得，解得. 又，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意，得， 设，由在椭圆上，得，即， 所以， 即直线的斜率之积为. 17. 某市疾控中心为研究青少年每日使用电子产品的时长与近视的关系，随机抽取了400名学生进行调查，将数据整理后得到如下列联表： 近视学生 非近视学生 合计 每天使用时长不低于2小时 105 250 每天使用时长低于2小时 合计 175 400 （1）完善列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于2小时”有关联？ （2）按每天使用电子产品的时长是否低于2小时，利用分层随机抽样的方法从非近视的学生中抽取15人进一步调查其用眼卫生情况，再从这15人中随机抽取5人，记为所抽5人中每天使用电子产品不低于2小时的人数，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有关联； （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据已知完善列联表，应用卡方公式求卡方值，结合独立检验的基本思想得到结论； （2）根据已知的可能取值为0，1，2，3，4，5，应用超几何分布的概率公式求对应概率，即可得分布列，进而求期望. 【小问1详解】 列联表如下： 近视学生 非近视学生 合计 每天使用时长不低于2小时 145 105 250 每天使用时长低于2小时 30 120 150 合计 175 225 400 零假设：“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于2小时”无关联． 因为， 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立， 即认为“学生近视”与“每天使用电子产品时长是否低于2小时”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.001． 【小问2详解】 由分层随机抽样知：在每天使用电子产品不低于2小时的学生中抽取人， 在每天使用电子产品低于2小时的学生中抽取人． 所以的可能取值为0，1，2，3，4，5， 所以， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 5 所以 18. 如图，平面平面，四边形是正方形，． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明平面，证明，证明平面，证明； （2）证明平面，证明，证明，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量法即可求解. 【小问1详解】 证明：因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以．因为四边形是正方形， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以； 【小问2详解】 由（1）知平面， 又平面，所以， 又四边形是正方形，所以， 所以两两垂直． 以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则 令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则， 令，得，， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为． 19. 已知函数（为自然对数的底数，），函数的极值点为. （1）求的值； （2）证明：对； （3）已知数列的前项和，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）运用即可求解，再进行检验即可； （2）通过构造新函数，研究其单调性来证明不等式； （3）先根据和的关系求出，再结合前面的结论进行放缩得到，进而结合等比数列求和证明不等式即可. 【小问1详解】 由，得， 因为函数极值点为0，所以，解得， 此时，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以0是函数的极值点，满足题意，即. 【小问2详解】 令， 则， 因为，在上单调递增， 所以函数上单调递增， 又，， 所以存在唯一，使得， 即，， 当时，；当时，， 所以函数上单调递减，在上单调递增， 则 ， 当且仅当，即或时等号成立，但，所以等号不成立， 所以，即． 【小问3详解】 证明：当时，， 当时，，满足上式， 所以． 由（2）知对，即， 取，则， 所以，即， 所以 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铜川市王益中学2024~2025学年第二学期高二年级期末考试 数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C D. 2. 若复数，则（ ） A B. 3 C. D. 5 3. 已知数列满足，，则（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 4. 已知函数，则（ ） A. 729 B. 81 C. 27 D. 3 5. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知某圆锥的侧面积为，母线长为4，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点P是抛物线上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线，则（ ） A. 双曲线的实轴长为8 B. 双曲线的虚轴长为3 C. 双曲线的离心率为 D. 双曲线的渐近线的斜率为 10. 若函数，则下列结论正确是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的图象关于点对称 11. 将个数排成行列的一个数阵，如： 该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，，记这个数的和为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在化学实验课上，某实验小组的8名同学利用微型天平测量某胆矾化合结晶物的质量，8名同学在测量后得到的数据（单位：克）分别为：56，64，72，76，88，67，76，80，则这组数据的第70百分位数是__________. 13. 已知，则__________． 14. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（A，B，C，D，E）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有_____种. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，. （1）若，求； （2）若，求. 16. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点（不在轴上）在椭圆上，求直线的斜率之积. 17. 某市疾控中心为研究青少年每日使用电子产品的时长与近视的关系，随机抽取了400名学生进行调查，将数据整理后得到如下列联表： 近视学生 非近视学生 合计 每天使用时长不低于2小时 105 250 每天使用时长低于2小时 合计 175 400 （1）完善列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于2小时”有关联？ （2）按每天使用电子产品的时长是否低于2小时，利用分层随机抽样的方法从非近视的学生中抽取15人进一步调查其用眼卫生情况，再从这15人中随机抽取5人，记为所抽5人中每天使用电子产品不低于2小时的人数，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 如图，平面平面，四边形正方形，． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知函数（为自然对数的底数，），函数的极值点为. （1）求的值； （2）证明：对； （3）已知数列前项和，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $