精品解析：湖北某地区2025-2026学年下学期期末质量监测高二数学

2026年春季学期期末质量监测 高二数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数在处的切线方程为，则的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 4. 某校举行“数学文化节”活动，有5个不同的节目参加汇演，其中包含一个舞蹈节目和一个合唱节目，要求舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，则不同的节目顺序有（ ） A. 36种 B. 72种 C. 24种 D. 240种 5. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 在6件工艺品中，有2件二等品，4件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 2 7. 如果今天是星期五，那么天后是星期几？（ ） A. 星期一 B. 星期二 C. 星期四 D. 星期日 8. 设，满足，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 某智能机器人公司从2019年起连续7年的利润情况如表所示，若关于的经验回归方程为，则（ ） 第年 1 2 3 4 5 6 7 利润亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 5.2 5.9 A. 变量与负相关 B. C. 当时，残差为 D. 预测当时，利润约为亿元 10. 已知，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，．则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 在处取得最大值 C. 方程有且仅有一个实根 D. 对任意，都有 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则__________． 13. 已知随机变量，，则__________． 14. 已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为______. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某校对学生的艺术特长进行调查，得到如下数据． 有艺术特长 无艺术特长 男 250 100 女 350 150 （1）用频率估计概率，从本校的男生中任选两名，求他们有且只有一名有艺术特长的概率； （2）在犯错误的概率不超过0.1的前提下，是否可以认为学生性别与有无艺术特长有关． 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 甲、乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干．每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有个．从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是． （1）求的值； （2）从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之差的绝对值，求的分布列和期望． 17. 已知函数． （1）求在上的最大值和最小值； （2）求过原点的切线方程． 18. 现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为．从袋中随机摸出一个球，并放入一个另一种颜色的球，经过次摸球，袋中的红球个数记为． （1）求和； （2）求； （3）当时，求随机变量的分布列和数学期望． 19. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）讨论的单调性； （3）若存在极小值，且极小值等于，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期期末质量监测 高二数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用初等函数导数运算法则，结合复合函数的求导法则、两个函数之积的求导法则逐一判断即可. 【详解】因为，所以选项A求导不正确； 因为，所以选项B求导不正确； 因为，所以选项C求导不正确； 因为，所以选项D求导正确. 2. 已知函数在处的切线方程为，则的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 又因为函数在处的切线方程为， 所以，所以，则，所以， 将点代入切线方程得，即，所以. 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【详解】已知随机变量服从正态分布，则正态曲线关于直线对称. 因为和关于对称轴对称， 根据正态分布的对称性可得， 因此 4. 某校举行“数学文化节”活动，有5个不同的节目参加汇演，其中包含一个舞蹈节目和一个合唱节目，要求舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，则不同的节目顺序有（ ） A. 36种 B. 72种 C. 24种 D. 240种 【答案】A 【解析】 【分析】先给除舞蹈节目和合唱节目外的三个节目排序，再用插空法排舞蹈节目和合唱节目. 【详解】参加汇演的节目除一个舞蹈节目和一个合唱节目外，其余3个有种排列方法； 此时，可产生4个空位，让一个舞蹈节目和一个合唱节目插空，且舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，即顺序确定， 所以有种排法. 因此，共有种不同的节目顺序. 5. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开通项求解计算即可求的系数. 【详解】的二项展开通项且， 含的项为， 所以的系数为. 6. 在6件工艺品中，有2件二等品，4件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】由题意的可能取值为，且，，， 故，. 7. 如果今天是星期五，那么天后是星期几？（ ） A. 星期一 B. 星期二 C. 星期四 D. 星期日 【答案】D 【解析】 【分析】先求出2的幂对7取模的周期，进而求出结果. 【详解】2的幂对7取模： ；；；；；. 周期为3，即. ，即. 因此，，即天相当于往后推2天，所以是星期日. 8. 设，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数应用导函数得出函数单调性，再结合函数图象数形结合判断求解. 【详解】令 当时，；当时，． 将问题转化为判断函数的图象在区间上的位置关系． 下面先判断函数图象在区间的位置关系： 令， 导数为， 令，则上式变为， 令，得． 当时，；当时，． 故在先递增，后递减．而， 故在恒成立，当时，的图象恒在上方（1）， 下面判断函数图象在区间的位置关系： 令 ， 求导数得， 令，则， 而， 故，有， 当时，；当时，， 而，故在恒成立， 当时，的图象恒在上方（2）， 由（1）（2）得，函数图象在区间的位置关系如图所示 由图易得，． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 某智能机器人公司从2019年起连续7年的利润情况如表所示，若关于的经验回归方程为，则（ ） 第年 1 2 3 4 5 6 7 利润亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 5.2 5.9 A. 变量与负相关 B. C. 当时，残差为 D. 预测当时，利润约为亿元 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线性回归方程的知识计算即可. 【详解】因为关于的经验回归方程为，斜率为，所以变量与正相关，A错误； 经验回归方程过样本中心点，，因此，可得，解得，B正确； 当时，，所以残差为，C正确； 当时，，即利润约为亿元，D错误. 10. 已知，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法验证A，B，C选项的正误，再结合通项求判断D的正误. 【详解】因为， 令，得，故选项A正确； 令，得， 即，故选项B正确； 令，得， 由及， 两式相加，得，所以， 所以，故选项C错误； 由，其展开式的通项为， 所以，故选项D正确. 11. 设函数，．则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 在处取得最大值 C. 方程有且仅有一个实根 D. 对任意，都有 【答案】ACD 【解析】 【分析】A. 计算得，定义域对称，故是偶函数，A正确；B. 求导得​，是极小值点，取最小值而非最大值，B错误；C. 整理方程得，换元后仅有一个正根，对应唯一实根，C正确；D. 利用偶函数性质化简，可得恒成立，D正确. 【详解】选项A：计算得 ， 定义域为，关于原点对称，故是偶函数，A正确； 选项B：对求导得，令得： 时，，在单调递减；时，，在单调递增. 因此是的最小值点，B错误； 选项C：方程整理得，令，即， 该方程只有一个正根，对应唯一实根，C正确； 选项D：化简得， 原不等式等价于，令​，即证​， 构造，可知， 令， ，因为 ，所以 ，即， 故单调递增，又，因此恒成立，不等式成立，D正确. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则__________． 【答案】2或3 【解析】 【详解】由题意可得或，解得或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意. 所以或. 13. 已知随机变量，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项分布期望和方差公式，结合期望和方差的性质可得答案 【详解】，则，， 因为，所以，所以， 故，. 14. 已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码.分两类，三种号码出现的次数分别为3, 1, 1或者2, 2, 1.每类中可以分步完成，先确定三种号码卡片出现顺序有种，再分别确定这三种号码卡片出现的位置(注意平均分组问题)，最后让第四种颜色出现有一种方法,相乘可得，最后根据古典概型求概率即可. 【详解】由分步乘法计数原理知，每次从中取出一张，记下号码后放回，进行6次一共有种不同的取法. 恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码，三种号码出现的次数分别为3, 1, 1或者2, 2, 1, 三种号码分别出现3，1，1且6次时停止的取法有 种， 三种号码分别出现2，2，1 且6次时停止的取法有 种， 由分类加法计数原理知恰好取6次卡片时停止，共有种取法， 所以恰好取6次卡片时停止的概率为: ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了概率的求法，计数原理等基础知识，考查了排列组合的应用，难点在于平均分组问题，属于难题. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某校对学生的艺术特长进行调查，得到如下数据． 有艺术特长 无艺术特长 男 250 100 女 350 150 （1）用频率估计概率，从本校的男生中任选两名，求他们有且只有一名有艺术特长的概率； （2）在犯错误的概率不超过0.1的前提下，是否可以认为学生性别与有无艺术特长有关． 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）在犯错误的概率不超过的前提下，不可以认为学生性别与有无艺术特长有关. 【解析】 【分析】（1）结合题意可得，根据二项分布概率计算公式计算求解； （2）根据卡方公式求出的值，与临界值进行比较即可判断. 【小问1详解】 因为该校男生有艺术特长的概率为， 记有艺术特长的男生人数为，显然， 于是． 【小问2详解】 因为， 故在犯错误的概率不超过的前提下，不可以认为学生性别与有无艺术特长有关. 16. 甲、乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干．每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有个．从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是． （1）求的值； （2）从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之差的绝对值，求的分布列和期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 【解析】 【分析】（1）通过“从袋中取两个标号为2的球的概率”列组合数方程，解方程即可得到； （2）先确定的所有可能取值，再分别计算每个取值对应的概率，最后整理分布列求期望即可. 【小问1详解】 从一个袋子中任取两个球的总组合数为， 取到两个标号为2的球的组合数为， 由取到的标号都是2的概率是，得， 整理得，解得或（舍去）， 所以； 【小问2详解】 的可能取值为0，1，2． ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 所以. 17. 已知函数． （1）求在上的最大值和最小值； （2）求过原点的切线方程． 【答案】（1）最大值为，最小值为0 （2）和 【解析】 【分析】（1）利用导数分析在上的单调性，比较端点处的函数值和极值，即可得在上的最大值和最小值； （2）设切点为，根据导数的几何意义表示出切线方程，由切线过原点，求得，从而得到过原点的切线方程． 【小问1详解】 函数的定义域为， . 令得或， ，，，， 当在上变化时，，的变化情况如下表： 0 2 3 - - 0 + 0 - - ↘ 0 ↗ ↘ 因为，， 所以在上的最大值为，最小值为． 【小问2详解】 因为， 所以在定义域上可导，即过原点的切线的斜率存在． 设过原点的切线与曲线的切点为，则切线斜率， 所以切线方程为， 由切线过原点得，即， 即，解得或． 当时，切点为，切线的斜率为，所以切线方程为； 当时，切点为，切线的斜率为，所以切线方程为，即． 综上，所求切线方程为和． 18. 现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为．从袋中随机摸出一个球，并放入一个另一种颜色的球，经过次摸球，袋中的红球个数记为． （1）求和； （2）求； （3）当时，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】（1）； （2）； （3） 0 2 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布的概率公式计算对应事件的概率； （2）结合条件概率，通过全概率公式求解； （3）先确定的所有可能取值，根据全概率公式计算相应的概率，进而可得分布列，再根据期望公式计算数学期望. 【小问1详解】 由题意得：， ； 【小问2详解】 由题意得：的可能取值为，由（1）有， 所以， 当时，袋中全为白球，摸出白球换为红球后，红球的个数为，则，所以； 当时，袋中有个红球个白球，摸到红球换白球后，红球的个数为，则， 摸到白球换红球后，红球的个数为，则，所以； 当时，袋中有2个红球1个白球，摸到红球换白球后，红球的个数为1，则， 摸到白球换红球后，红球的个数为3，则，所以； 当时，袋中有3个红球，摸到红球换白球后，红球的个数为2，则， 所以， 根据全概率公式得： ； 【小问3详解】 当时，袋中有个红球1个白球， 第一次摸换后的可能取值为1，3， ， 第二次摸换后的可能取值为0，2， ， ， 所以的分布列为： 0 2 所以； 19. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）讨论的单调性； （3）若存在极小值，且极小值等于，求证：． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在、上单调递增； 当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减，在、上单调递增. （3） 由题意可知，由（2）可知，当时， 函数的极小值为，此时， 因为，则，此时，等式不成立； 当时，函数的极小值为，此时， 因为，则，则， 由不等式的性质可得，等式不成立； 当时，函数在上单调递增，函数无极值； 当时，函数的极小值为， 可得，令，则，且，则， 先证明不等式，其中， 即证， 令，，其中，则， 所以，函数在上为增函数，当时，， 所以，当时，， 设，即，所以， 上述两个等式相除得， 所以，所以，则， 即，可得， 由基本不等式可得，故原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，可得出函数的最小值； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （3）分析可知，结合题意得出，可得出，令，则，且，则，证明对数平均不等式，其中，令，即，变形得出，再利用对数等式以及基本不等式可证得结论成立. 【小问1详解】 ， 当时，， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，的最小值为. 【小问2详解】 ， 当时，则对任意的恒成立， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，则或， ①当时，即时， 由可得或，由可得， 所以函数在上单调递减，在、上单调递增； ②当时，即时，对任意的，， 此时在上单调递增； ③当时，即时， 由可得或，由可得， 此时在上单调递减，在、上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在、上单调递增； 当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减，在、上单调递增. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $