湖北省部分省级示范高中2025-2026学年下学期期末高二数学试卷

高二数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求， 1.以下不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数分别是，2,5,4，最小的是 Y 6 6 6 6 4 808 4 4 3 3/ 2 2 1 0 12345678x 012345678x 012345678x 012345678x A. B.2 C.3 D.4 2.已知随机变量X-N(2,σ2)，且P(X24)=0.2,则P(0<X<4)=() A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6 3.已知等差数列{an}中，a2-a+a4=3,其前5项和S为 A.10 B.15 C.20 D.25 4.苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山人，北宋文学家、书法家、画家.现有苏轼的4本不同诗 集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，不同分配方案的种数为 A.6 B.12 C.36 D.54 5.某地天气预报：下雨时预报下雨的概率为0.8，不下雨时预报下雨的概率为01.该地某季节下 雨的概率为02.小明按“预报下雨则带伞”行事.若某天小明带伞，则实际下雨的概率为 B.2 1 c D 6.袋中装有2个红球和1个白球，除颜色外完全相同，从袋中有放回地依次取出7个球，定义数 列{a}为a,= 第次摸到白球，记，为数列{口，}的前n项和，则S,=-3的概率为 -l,第n次摸到红球 cx周) c) c. D.c*) 高二数学试卷第1页共4页 7.已知函数f(x)=ax2-1的图象在点A(1,f(1)处的切线1与直线8x-y+2=0平行，设数列 局的前n项和为5，则5的值为 2025 2026 B. C.2025 2026 A. D. 2026 2027 4053 4053 8.已知f(x)=x2+4x+1,g(x)=me,若方程f(x)=g(x)有三个不等的实根，则实数m的取值 范围为 A.0,马 B.(-2e,9 c.99 D.(2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.某研究小组调查学生每周课外阅读时间x(单位：小时)与语文作业中错别字个数y(单位：个) 的关系，随机抽取5位学生的数据如下表所示： y86 根据表中的数据计算得经验回归方程为y=bx+8，下列结论正确的是 A.y与x负相关 B.6=-1 C.当x=1与x=5时，残差相等 D.x每增加1小时，y平均减少1个 10.下列结论正确的是 A随机变量X-B(2,,则D2X-)=12; B.某同学参加100米达标训练，5次训练的成绩为：11.5秒，13.1秒，14.5秒，11.7秒，14.3 秒，从这5次训练的成绩中不放回任意抽取两次，则两次抽取的成绩都比12.8秒好的概率为 1 C.已知P(A)>0,P(B)>0,则P(B|A)=P(B)是P(AIB)=P(A)的充要条件； D.已知甲、乙两位选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率是0.6，乙获胜的概率是 0.4,那么对甲而言“三局两胜”比“五局三胜”更有利. 11.已知随机变量5的取值为不大于n的正整数，它的分布列为： 2 n … 高二数学试卷第2页共4页 其中P(5=i)=p,(i=1,2,…,n)满足：p,∈[0,1，且P,+P2+…+p,=1 定义5的生成函数f(x)=px+P2x2+…+Px”,g(x)=f'(x),h(x)=g(x) 若E(5)=a,D(5)=b,则下列结论正确的是 A.f()=1 B.g(1)=a C.h(1)=a2-a+b D.E(52)=a2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在(1+x)+(1+x)°+(1+x)的展开式中，含x项的系数为 13.现有8道四选一的单选题，小明对其中7道题有思路，1道题没有思路.有思路的题答对的概 3 率为)没有思路的题只好任意猎一个答案，猜对答案的概率为，小明从这8道题中随机选择 1题，他答对该题的概率为 14.在平面直角坐标系中，动点从A(0,2)出发，每秒向正东、正西、正南、正北任一方向移动1个 单位长度，移动6秒后到达原点O(0,0),则不同的移动路径共有 条。 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在二项式(-子”的展开式中： (1)若展开式中各二项式系数的和是28，求展开式中x4的系数； (2)若展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，求展开式中奇数项的二项式系数的和； (3)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式的所有项的系数的和. 16.(15分) S0=-31, 记等比数列a,J前n项和为S,已知a1=-2, (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列，说明理由. 17.（15分) 汉绣是武汉国家级非物质文化遗产之一，源于战国时期的楚绣，色彩浓艳、针法粗犷，被誉 为“荆楚艺术瑰宝，针尖上的传奇”，其制作需依次完成画样、绣制、修饰三道工序.已知某工 巴师每道工序成功的概串分别为5，号，名且湘互独立，当且仅当三道工序都成功，该作品为 优秀作品.在某次汉绣比赛中，该工艺师制作了4件作品。 ()求该工艺师制作一件作品时，该作品为优秀的概率； (②)求该工艺师在本次比赛中制作的优秀作品数X的分布列及均值； (3)若每件优秀作品得6分，不优秀作品扣3分，求该工艺师在本次比赛中得分Y的均值和方差， 高二数学试卷第3页共4页 18.（17分) 已知f(x)=xlnx (I)求函数f(x)的极值； (2)设k∈Z,当x>1时，不等式k(x-1)<f(x)+x恒成立，求k的最大值； (3)若T(x)=2f(x)+x2-1,请判断集合A={xT(x)=0}与集合B={xT(x)-4x+4≤0}是 否相等，并证明。 19.(17分) 某中学为了解男女学生参加篮球社团的差异，按性别分层随机抽样，在全体学生中抽取100 人选行调业，设A=学生报名度球社因門B“学生为男生据镜计P心利=易，P心@因-号 P4= (1)根据已知条件，、完成下列2×2列联表，并依据小概率值：=0.005的独立性检验，能否推 断该校学生报名参加篮球社团与性别有关？ 性别 女生 报名 男生 合计 未报名篮球社团 报名篮球社团 人 合计 100 写 (2)蓝球社团的选拔设置了如下投蓝测试规则：测试活动不限时间，不限次数，测试多少轮由 学生自行确定.每轮均设置m(m≥3)次投篮，学生参与该轮测试，则至少投一次篮，一旦投中一 球，则其本轮测试结束，投不中则继续投篮，直到第m次投完，本轮测试结束.已知甲同学报名 参加篮球社团，假设甲每次投篮是否投中相互独立，且每次投篮令中的概率均为写，求甲在一轮 测试中投篮次数X的数学期望（用m表示）.同叶尘西嘘 参考公式与数据：X n(ad-be) =(a+bc+d(a+cb+d西 其中n=a+b+c+d. a 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 Xa 2.706 3.8413 6.635 7.879 10.828 高二数学试卷第4页共4页 高二数学试卷 一、单项选择题: 本题共8小题, 每小题5分, 共40分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求. 1．以下不同成对数据的散点图, 从左到右对应的样本相关系数分别是, 最小的是 A． B． C． D． 【答案】B 2．已知随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 3．已知等差数列中, , 其前项和为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】, 而, 则, . 4．苏轼, 字子瞻, 号东坡居士, 眉州眉山人, 北宋文学家､书法家､画家. 现有苏轼的4本不同诗集全部奖励给3名同学, 每人至少分得一本, 不同分配方案的种数为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先将4本不同诗集分成3组, 每个人至少一本共有种分配方案. 5．某地天气预报: 下雨时预报下雨的概率为, 不下雨时预报下雨的概率为. 该地某季节下雨的概率为. 小明按“预报下雨则带伞”行事. 若某天小明带伞, 则实际下雨的概率为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设事件为“实际下雨”, 事件为“预报下雨”, 则事件为“实际下雨且预报下雨”, , , 所以． 6．袋中装有2个红球和1个白球, 除颜色外完全相同, 从袋中有放回地依次取出个球, 定义数列为, 记为数列的前项和, 则的概率为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意说明只有两次摸到白球, 由于每次摸球的结果数之间没有影响, 摸到红球的概率是, 摸到白球的概率是.故共摸球七次只有两次摸到白球的概率是． 7．已知函数的图象在点处的切线与直线平行, 设数列的前项和为, 则的值为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵, ∴在点处的切线斜率为, 由条件知, ∴, ∴, ∴数列的前项和, ∴. 8．已知, , 若方程有三个不等的实根, 则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令, 则. 令, 则, 因此当或时, 单调递减, 当时, 单调递增. 当时, , 当时, , , 因此要使得与的图象有三个交点, 的取值范围为. 二、多项选择题: 本题共3小题, 每小题6分, 共18分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全对的得6分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0分. 9．某研究小组调查学生每周课外阅读时间（单位: 小时）与语文作业中错别字个数（单位: 个）的关系, 随机抽取5位学生的数据如下表所示: 根据表中的数据计算得经验回归方程为, 下列结论正确的是 A．y与x负相关 B． C．当与时, 残差相等 D．每增加小时,平均减少个 【答案】ABD 【详解】, , 知, 解得, 所以回归模型为, 故样本中心点为, A, B, D正确; 当时, 残差为, 当时, 残差为, C错. 10．下列结论正确的是 A. 随机变量, 则; B. 某同学参加米达标训练, 次训练的成绩为:秒, 秒, 秒, 秒, 秒, 从这次训练的成绩中不放回任意抽取两次, 则两次抽取的成绩都比秒好的概率为; C. 已知,,则是的充要条件; D. 已知甲、乙两位选手进行象棋比赛, 如果每局比赛甲获胜的概率是, 乙获胜的概率是, 那么对甲而言“三局两胜” 比“五局三胜” 更有利. 【答案】ABC 【详解】对于A, , 则. 对于B, 次训练的成绩中比秒用时更少的有次, 概率为. 对于C, , 则,即事件与事件独立. 对于D, 甲赢的概率大于, 赛制越长对甲越有利.三局两胜: 甲获胜的情况为甲前两局全胜或甲前两局一胜一负第三局胜, 概率为. 五局三胜: 甲获胜的情况为前三局甲全胜, 前三局甲两胜一负第四局甲赢, 前四局甲两胜两负且第五局甲胜, 概率为. 11．已知随机变量的取值为不大于的正整数, 它的分布列为: 1 2 其中满足: , 且. 定义的生成函数, , . 若, , 则下列结论正确的是 A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】, A正确. , , B正确., , 又由, 可得, 则, 故C正确, D错误. 三、填空题: 本题共3小题, 每小题5分, 共15分. 12．在的展开式中, 含项的系数为_______. 【答案】 【详解】. 13．现有道四选一的单选题, 小明对其中道题有思路, 道题没有思路. 有思路的题答对的概率为, 没有思路的题只好任意猜一个答案, 猜对答案的概率为. 小明从这道题中随机选择题, 他答对该题的概率为________. 【答案】 【详解】记事件小明选择的是有思路的题, 记事件答对该题, 则, , , , 由全概率公式可得. 14．在平面直角坐标系中, 动点从出发, 每秒向正东、正西、正南、正北任一方向移动个单位长度, 移动秒后到达原点, 则不同的移动路径共有________条. 【答案】 【详解】 设在6秒内,向正北方向移动步, 正南方向移动步, 因为最后要回到原点, 所以向正东和正西移动的距离相等, 设为步, 由题意可得, 所以, 所以当时, , 此时共有种移动方法; 当时, , 此时共有种移动方法; 当时, , 此时共有种移动方法; 当时, （舍）; 综上, 一共有种移动方法. 四、解答题: 本题共5小题, 共77分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 在二项式的展开式中: (1)若展开式中各二项式系数的和是, 求展开式中的系数; (2)若展开式中第项和第项的二项式系数相等, 求展开式中奇数项的二项式系数的和; (3)若展开式中只有第5项的二项式系数最大, 求展开式的所有项的系数的和. 【答案】(1) 112; (2); (3). 【详解】(1), 的通项为, 令, 得, 系数为. (2)=, 得, 即, 共有项, 二项式系数和为, 其奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等, 都为. (3), 令, 得, 即展开式的所有项的系数和为. 16．（15分） 记等比数列的前项和为, 已知, , (1)求的通项公式; (2)求, 并判断是否成等差数列, 说明理由． 【答案】(1). (2), 是. 【详解】(1)设等比数列的公比为, 当时, , 所以, , 解得.故的通项公式. (2), , , , 即, 所以, , 是等差数列. 17.（15分） 汉绣是武汉国家级非物质文化遗产之一, 源于战国时期的楚绣, 色彩浓艳、针法粗犷, 被誉为“荆楚艺术瑰宝, 针尖上的传奇”, 其制作需依次完成画样、绣制、修饰三道工序. 已知某工艺师每道工序成功的概率分别为, , , 且相互独立, 当且仅当三道工序都成功, 该作品为优秀作品. 在某次汉绣比赛中, 该工艺师制作了件作品. (1)求该工艺师制作一件作品时，该作品为优秀的概率; (2)求该工艺师在本次比赛中制作的优秀作品数的分布列及均值; (3)若每件优秀作品得分, 不优秀作品扣分, 求该工艺师在本次比赛中得分的均值和方差. 【答案】(1); (2)分布列见解析, ; (3), . 【详解】(1)一件作品优秀的概率为. (2)的所有可能取值为, , . , , , , , X的分布列为: 0 1 2 3 4 (2)设该工艺师在本次比赛中得分为Y, 则, 由(1)知, , 则, , 所以均值为, 方差为. 18.（17分） 已知 (1)求函数的极值; (2)设,当时, 不等式恒成立, 求的最大值; (3)若, 请判断集合与集合是否相等, 并证明. 【答案】(1)极小值为, 无极大值. (2)3. (3)相等. 【详解】(1)函数的定义域为,且 , 令, 解得. 当变化时, 的变化情况如下表所示: 单调递减 单调递增 因此当时, 有极小值, 并且极小值为, 无极大值. (2)不等式化为, 所以对任意恒成立． 令, 则, 令,, 则, 所以函数在上单调递增． 又,, 方程在上存在唯一实根, 且． 当时, , 即, 当时, , 即, 所以函数在上单调递减, 在上单调递增． 所以． 所以．故整数的最大值是． (3),下面进行证明: . 当时, ; 当时,; 当时, .所以. 设, 则. 当时, ,单调递减; 当时, ,单调递增. 所以, 所以.所以. 19.（17分） 某中学为了解男女学生参加篮球社团的差异, 按性别分层随机抽样, 在全体学生中抽取100人进行调查, 设“学生报名篮球社团”, “学生为男生”, 据统计,, ． (1)根据已知条件, 完成下列列联表, 并依据小概率值的独立性检验, 能否推断该校学生报名参加篮球社团与性别有关？ 性别 报名 男生 女生 合计 未报名篮球社团 报名篮球社团 合计 (2)篮球社团的选拔设置了如下投篮测试规则: 测试活动不限时间, 不限次数, 测试多少轮由学生自行确定. 每轮均设置次投篮, 学生参与该轮测试, 则至少投一次篮, 一旦投中一球, 则其本轮测试结束, 投不中则继续投篮, 直到第次投完, 本轮测试结束．已知甲同学报名参加篮球社团, 假设甲每次投篮是否投中相互独立, 且每次投篮命中的概率均为．求甲在一轮测试中投篮次数的数学期望(用表示). 参考公式与数据: , 其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)有关. (2). 【详解】(1)因为, 所以报名参加篮球社团的人数为, 又因为, 所以报名参加篮球社团的男生人数为, 女生人数为, 又, 所以样本中男生人数为, 女生人数为50, 得到列联表为: 性别 男生 女生 合计 未报名篮球社团 20 35 55 报名篮球社团 30 15 45 合计 50 50 100 : 学生报名参加篮球社团与性别无关, : 学生报名参加篮球社团和性别有关. 则, 依据小概率值的独立性检验, 我们推断不成立, 即认为学生报名篮球社团与性别有关联. (2)设甲完成一轮测试, 投篮数量为随机变量, 则的所有可能取值为, 其中, , 所以. , 以上两式错位相减得: , 所以 . 学科网（北京）股份有限公司 $