2026年七年级下册数学暑假作业（湘教版）第二章第三节实数基础巩固练习

**基本信息** 以实数概念为核心，整合大小比较、数轴表示、实际应用等模块，通过求差法等技巧提炼，构建“概念-运算-应用”逻辑链条，强化数学抽象与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选2/7题|定义判断法|无理数与实数的包含关系| |大小比较|解答18题|求差法|作差结果符号与大小关系推导| |实际应用|解答19题|方程建模法|面积公式与边长无理数计算|

2026年七年级下册数学暑假作业（湘教版）第二章第三节实数基础巩固练习 学校:___________姓名：___________班级：___________ 1、 单选题（每小题3分，共27分） 1．下列实数中，最大的是（     ） A． B．0 C． D．π 2．关于“”，下列说法不正确的是（     ）． A．它是一个无理数 B．它可以用数轴上的一个点表示 C．它可以表示面积为的正方形的边长 D．它不是实数 3．实数在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列四个点中，表示原点的可能是（     ） A． B． C． D． 4．将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的数“”和“”，则表示的数为（     ） A． B． C． D． 5．已知是的负平方根，，，则，，中最大的实数与最小的实数的差是（     ） A． B．2 C．6 D．8 6．若，，，那么、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 7．下列说法中：①实数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③无限小数都是无理数；④两个无理数的和仍是无理数．其中正确的是（     ） A．① B．②③ C．①②③ D．①③④ 8．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号叫天干；“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干+地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表” 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戊 亥 如果年为己丑年，依据上述规律推断，年应为（     ） A．癸亥年 B．丙午年 C．癸酉年 D．甲子年 9．若我们约定：表示不大于的最大整数，例如：，，，记，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 10．比较大小：______2（填“＜”，“＝”或“＞”）． 11．如图，半径为1的圆从表示的点开始沿着数轴向右滚动一周，圆上的点A与表示的点重合，滚动1周后到达点B，点B表示的数是________． 12．若与互为相反数，则的值为______． 13．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和10，则图中阴影部分面积为_____． 14．已知，为有理数，，分别为的整数部分和小数部分，且，则的值为_______． 三、解答题（6道题，共58分） 15．（6分）将下列各数填在相应的集合里． ，，3.1415926，，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），0，，，， 有理数集合：{         …}； 无理数集合：{         …}； 正实数集合：{         …}； 整数集合：{           …}． 16．（8分）计算： (1)； (2)． 17．（10分）有一个数值转换器，原理如图所示． (1)当输入的的值为36时，输出的______． (2)是否存在输入有效的的值后，始终输不出的值的情况？如果存在，请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由． (3)小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”．请你推算输入的数据可能是什么情况，并说明理由． (4)若输出的的值是，试判断输入的的值是否唯一．若不唯一，请写出满足题意的最小的2个不同的值． 18．（10分）若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与2的大小． ，． ．． 请根据上述方法解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)有两块正方形的玻璃，第一块面积为，第二块面积为，小智想知道第一块玻璃的边长比多出的长度，与第二块玻璃的边长比少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：，，，） 19．（12分）陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 20．（12分）定义：对于任意有理数、，规定新的一种运算规则：，． (1)当，时，，，求、的值； (2)若关于、的方程组（m为常数）的解也满足关于、的方程，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年七年级下册数学暑假作业（湘教版）第二章第三节实数基础巩固练习 学校:___________姓名：___________班级：___________ 1、 单选题（每小题3分，共27分） 1．下列实数中，最大的是（     ） A． B．0 C． D．π 【答案】D 【分析】利用实数大小比较的基本法则即可求解. 【详解】解：∵ 根据实数大小的性质，负数小于0，0小于正数， ∴ ， 又∵ ，， ∴ ，即， ∴最大的数是. 2．关于“”，下列说法不正确的是（     ）． A．它是一个无理数 B．它可以用数轴上的一个点表示 C．它可以表示面积为的正方形的边长 D．它不是实数 【答案】D 【分析】根据无理数定义，数轴的意义，正方形面积公式和实数的分类，逐一判断各选项，选出说法错误的选项即可． 【详解】解：∵11不是完全平方数，开方开不尽， ∴是无理数，A选项说法正确，不符合题意； ∵所有实数都可以用数轴上的一个点表示，是实数， ∴它可以用数轴上的一个点表示，B选项说法正确，不符合题意； ∵若正方形面积为，设边长为，则且，可得， ∴可以表示面积为11的正方形的边长，C选项说法正确，不符合题意； ∵是无理数，无理数属于实数，∴“它不是实数”的说法错误，D选项符合题意． 3．实数在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列四个点中，表示原点的可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由可知：实数在原点的同侧， 由数轴可知：当时，不满足，故舍去； ∴，即表示原点的可能是． 4．将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的数“”和“”，则表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据数轴有：，则有：． 5．已知是的负平方根，，，则，，中最大的实数与最小的实数的差是（     ） A． B．2 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据平方根、绝对值、立方根的定义分别求出，和的值，比较大小得到最大数和最小数，计算两者的差即可． 【详解】解：是的负平方根， ． ，， ，即 最大的实数是，最小的实数是， ． 6．若，，，那么、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂的乘方的逆运算，将三个数的指数统一，再通过比较底数大小得到三个数的大小关系，用到初中幂的乘方性质：，正指数相同的情况下，底数越大幂越大. 【详解】解：∵ ，，， 又∵ 指数都是正整数，且， ∴ ， 即 . 7．下列说法中：①实数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③无限小数都是无理数；④两个无理数的和仍是无理数．其中正确的是（     ） A．① B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查实数相关概念，根据实数与数轴的对应关系，有理数、无理数的定义与性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解： ① 实数和数轴上的点一一对应，符合实数的性质，故①正确； ② 不带根号的数不一定是有理数，例如不带根号，但属于无理数，故②错误； ③ 无限小数不都是无理数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数是无理数，故③错误； ④ 两个无理数的和不一定是无理数，例如，和为有理数，故④错误； 综上只有①正确． 8．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号叫天干；“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干+地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表” 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戊 亥 如果年为己丑年，依据上述规律推断，年应为（     ） A．癸亥年 B．丙午年 C．癸酉年 D．甲子年 【答案】B 【分析】在干支纪年法中，天干周期为，地支周期为，已知年为己丑年，只需计算与的年数差，根据余数确定对应天干和地支即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 从年向后推年得到年， 年的天干己对应序号，地支丑对应序号， ∵ 天干周期为，余， ∴己向后推位可得天干为丙， ∵ 地支周期为，余，丑向后推位可得地支为午， ∴ 年为丙午年． 9．若我们约定：表示不大于的最大整数，例如：，，，记，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算分子的总和，再计算分母的值，进而求出，最后得到的值． 【详解】解：， ， ， 当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个， 则中，共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5， ， ， ∴， ， ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 10．比较大小：______2（填“＜”，“＝”或“＞”）． 【答案】＜ 【分析】将两个正数分别平方后，比较平方结果，即可得到原数的大小关系． 【详解】解：，， ，且，， ． 11．如图，半径为1的圆从表示的点开始沿着数轴向右滚动一周，圆上的点A与表示的点重合，滚动1周后到达点B，点B表示的数是________． 【答案】/ 【详解】解：∵圆的周长为， ∴点B表示的数为． 12．若与互为相反数，则的值为______． 【答案】 【分析】由相反数的定义可得，再结合非负数的性质得出，，求出，，代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 13．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和10，则图中阴影部分面积为_____． 【答案】 【分析】求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，两个正方形的边长分别为， 由图可知，阴影部分的面积为． 14．已知，为有理数，，分别为的整数部分和小数部分，且，则的值为_______． 【答案】 【分析】先估算的取值范围，得出，再代入，整理得，根据题意得到，解二元一次方程组得到，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，分别为的整数部分和小数部分， ∴， 把代入得： ， 整理得： ， ∵a，b为有理数， ∴， 解得：， ∴． 三、解答题（6道题，共58分） 15．（6分）将下列各数填在相应的集合里． ，，3.1415926，，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），0，，，， 有理数集合：{         …}； 无理数集合：{         …}； 正实数集合：{         …}； 整数集合：{           …}． 【答案】，3.1415926，，0，，； ，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，； ，，3.1415926，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，，； ，0， 【分析】实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于0的所有实数，由此即可求解． 【详解】解：，， 根据定义知：有理数有：，3.1415926，，0，，； 无理数有：，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，； 正实数有：，，3.1415926，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，，； 整数有：，0，． 16．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式根据算术平方根的意义、立方根的意义化简各项后再进行加减运算即可； （2）原式化简各项后，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（10分）有一个数值转换器，原理如图所示． (1)当输入的的值为36时，输出的______． (2)是否存在输入有效的的值后，始终输不出的值的情况？如果存在，请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由． (3)小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”．请你推算输入的数据可能是什么情况，并说明理由． (4)若输出的的值是，试判断输入的的值是否唯一．若不唯一，请写出满足题意的最小的2个不同的值． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)输入的数据可能是负数，理由见解析 (4)输入的值不唯一，最小的2个满足题意的值为2，4 【分析】（1）根据运算规则即可求解； （2）根据0和1的算术平方根即可判断； （3）根据负数没有算术平方根即可解答； （4）找到使得输出值为的最小的两个数即可． 【详解】（1）解：当时，，是无理数， ∴输出的； （2）解：存在，当或时，始终输不出值， ∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数， ∴始终输不出值； （3）解：输入的数据可能是负数，理由如下： ∵负数没有算术平方根， ∴屏幕显示“该操作无法运行”， ∴输入的数据可能是负数； （4）解：4的算术平方根是2，2的算术平方根是， 故输入的值不唯一，最小的2个满足题意的值为2，4． 18．（10分）若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与2的大小． ，． ．． 请根据上述方法解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)有两块正方形的玻璃，第一块面积为，第二块面积为，小智想知道第一块玻璃的边长比多出的长度，与第二块玻璃的边长比少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：，，，） 【答案】(1)； (2)第一块玻璃的边长比多出的长度小于第二块玻璃的边长比少的长度． 【分析】（1）利用结合作差法比较与的大小即可； （2）求解第一块的边长为，第二块的边长为，设第一块玻璃的边长比多出的长度为a，第二块玻璃的边长比少的长度为b，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵第一块面积为，第二块面积为， ∴第一块的边长为，第二块的边长为， 设第一块玻璃的边长比多出的长度为a，第二块玻璃的边长比少的长度为b， ∴，， ∴， ∵，， ∴，． ∴，即． ∴第一块玻璃的边长比多出的长度小于第二块玻璃的边长比少的长度． 19．（12分）陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1) (2)能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为， 由题意得：， 解得：， ∵圆形纸胚的直径为，宣纸的宽为，且， ∴， ∴能够裁出来 【分析】（1）设这张宣纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设圆形纸胚的半径为，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设这张宣纸的长为，宽为，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， ∴这张宣纸的长为，宽为， ∴这张宣纸的周长为； 答：宣纸的周长为 （2）略 20．（12分）定义：对于任意有理数、，规定新的一种运算规则：，． (1)当，时，，，求、的值； (2)若关于、的方程组（m为常数）的解也满足关于、的方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义可得方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据新定义可得，，将①、②代入③得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， 当，时，得， 得：， 解得：， 把，代入①得，， 解得，， ； （2）解：由题意可得， ， 将①、②代入③得，， 解得，， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $