2026年七年级数学暑假作业（湘教版）1.2乘法公式基础巩固练习

**基本信息** 以乘法公式为核心，通过基础巩固、几何验证、方法拓展三级训练，构建“概念-图形-应用”逻辑链，渗透配方法与数形结合思想，培养抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|单选1-6、填空11-13|公式直接应用与辨析|从完全平方公式系数特征到平方差公式简单运算| |几何应用|单选2/7/9、填空15/18、解答22/24|数形结合验证公式|通过图形面积关系推导乘法公式| |方法拓展|单选8/10、填空14/16/17、解答19-21/23/25|配方法求最值、公式变形与规律探究|将公式变形迁移至代数求值与实际问题|

2026年七年级数学暑假作业（湘教版） 1.2乘法公式基础巩固练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若是一个完全平方式，则的值是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用完全平方公式的形式即可求出的值． 【详解】解：∵是完全平方式， 对应公式可得，， 即， ∴中间项， 对比系数可得． 2．有4张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a和b（）的长方形纸片，6张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题思路是将各选项边长展开为完全平方，根据纸片数量限制判断是否符合条件，再比较符合条件的边长大小得到结果． 【详解】解：∵ 4张边长为的正方形最多可提供面积，即的系数最大为； 4张长宽的矩形最多可提供面积，即的系数最大为； 6张边长为的正方形最多可提供面积，即的系数最大为； 且要求每种纸片至少取一张，因此完全平方式中三个项的系数都至少为． 将各选项边长展开得： 选项A：，符合要求但边长较小； 选项B：，符合要求，边长为； 选项C：，各系数满足，，，符合要求，边长为； ∵ ，∴，可得； 选项D：，系数，超出现有数量，排除； ∴ 拼成的正方形边长最长为，故选C． 3．将正方形的一边增加，另一边缩短，则改造后的长方形面积与原来相比（     ） A．减少 B．增加 C．保持不变 D．无法确定 【答案】A 【分析】设出原正方形边长，分别表示出改造前后的面积再比较大小． 【详解】解：设原正方形的边长为，则原正方形的面积为， 改造后长方形的宽为，长为， ∴改造后长方形的面积为， ∵， ∴改造后的长方形面积比原来减少． 4．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：，A运算错误； 选项B：，符合平方差公式，B运算正确； 选项C：，C运算错误； 选项D：，D运算错误． 5．已知，，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】利用完全平方公式的变形求解，将所求代数式转化为用和表示的形式，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：由完全平方公式可得， 变形得， 将，代入得． 6．把一块边长为米的正方形土地的一边增加20米，相邻的另一边减少20米，变成一块长方形土地，你觉得土地的面积（     ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 【答案】C 【分析】先根据题意得到变化后长方形的长和宽，再分别计算正方形和长方形的面积，比较大小即可得到结论，考查平方差公式的应用. 【详解】解：由题意可知，原正方形土地的面积为平方米， 变化后长方形的长为米，宽为米， 长方形的面积为平方米， ， 土地的面积变小了. 7．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（     ） A．3 B．19 C．21 D．28 【答案】B 【分析】设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，根据图1阴影部分面积公式推导出与及的关系，结合图2阴影部分面积及选项特征求解． 【详解】解：甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，根据题意得：， ∴①， 又，点H为的中点， ∴， 图2中阴影的面积为②， 得：， 整理得， ∵， ∴，即， ∴图1的阴影部分面积 ． 8．设a，b是任意有理数，定义一种新运算： ． 下面有四个推断：①；②；③；④，其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据题中给出的新运算定义，结合完全平方公式，逐个判断四个推断的正误，统计正确个数即可． 【详解】解：① ，，又， ，故①正确； ② ，故②错误； ③ ，，，故③正确； ④ ， ，，故④错误； 综上，正确的推断共2个． 9．小吴同学在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，，，在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为40，则阴影部分的面积是（     ） A．24 B．20 C．15 D．12 【答案】D 【分析】设，根据题意得到，利用完全平方公式求出的值，结合图形割补法可知阴影部分面积等于． 【详解】解：设， ，且两个正方形面积之和为40， ， ， ， ，即， 如图，将图形补成边长为的大正方形， 则阴影部分的面积为： ． 10．在某国际学生数学竞赛（）的实时计分系统中，选手A前两轮比赛的得分经过标准化处理后分别为分和分，已知这两轮得分的平方和为，即，则该选手前两轮得分的乘积为（     ） A．4 B．6 C．2 D．8 【答案】C 【分析】本题可通过换元结合完全平方公式的变形求解，不需要展开原方程，简化计算，用到初中完全平方公式 ． 【详解】解：设 ，， 由题意得 ，且 ， 根据完全平方公式可得 ， 将已知条件代入公式得 ，即， 解得 ，即 ． 二、填空题 11．若，则的值为______． 【答案】 【分析】将等式右边利用完全平方公式展开，根据多项式相等时对应项系数相等，推出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．若是一个完全平方式，则k的值可以是________（k为常数，请你写出一个符合要求的k值） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】完全平方式为，注意两种情况即可． 【详解】解：， ∴， 解得或． 13．若，则的值为________． 【答案】2027 【分析】先根据得出，然后将变形求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ． 14．当x=_______时，代数式取得最小值，最小值是_______． 【答案】 【分析】利用配方法将代数式变形为完全平方式加常数的形式，根据平方的非负性，当完全平方式为时，代数式取得最小值，即可求出对应的值和最小值． 【详解】对代数式配方得 ． 任意实数的平方为非负数，即． 当，即时，代数式取得最小值，最小值为． 15．一个糖果包装盒，是一个底面是正方形的长方体，高为，底面正方形的边长为．根据市场需求，现将它的底面正方形的边长增加，高保持不变，那么它的体积增加了________． 【答案】 【分析】用现在长方体的体积减去原来长方体的体积，得出它的体积增加量即可． 【详解】解：它的体积增加了： ． 16．我们可以利用和解决代数式求最值的问题． 例如． ，． ∴当时，有最小值，最小值为1． 利用以上的方法，可求出代数式的最小值为________；用长为的篱笆围成一个长方形的花圃，能围成的花圃的最大面积是__________． 【答案】 【分析】第一空利用完全平方公式对二次代数式配方，结合平方的非负性求最小值；第二空先根据周长表示出长方形的两边长，得到面积的二次代数式，再配方，结合平方的非负性求面积的最大值． 【详解】解：①， 即的最小值为； ②设长方形花圃的一边长为，则另一边长为，设花圃面积为，可得： 即能围成的花圃的最大面积为． 17．设，，…，，，是从，，这三个数取值的一组数，若， ，则，，…，，，中为的个数为_____． 【答案】 【分析】设这组数中的个数为，的个数为，的个数为，根据完全平方公式展开已知平方和，结合总个数和总和的条件列出三元一次方程组，解方程组即可得到结果，解题关键是根据题意建立正确的方程组． 【详解】解： ， ． 设这组数中的个数为，的个数为，的个数为， 根据题意得：   解得 18．解答以下问题： （1）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是_______， （2）如图3，大正方形与小正方形的面积之差是36，则阴影部分的面积为_______． 【答案】 18 【分析】（1）用代数式分别表示图1中阴影部分以及图2的面积即可． （2）由题意得，根据阴影面积为：代入计算即可 【详解】（1）解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：． （2）由题意得， 阴影面积为： 三、解答题 19．已知，，求代数式的值． 【答案】 【详解】解： ， 把，代入得： 原式． 20．已知，，，先化简，再计算当时，求该式子的值． 【答案】，当时，原式 【详解】解：∵，，， ∴ ， 当时，原式． 21．利用平方差公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式即可求解； （2）利用平方差公式即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 22．现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形．将其中正方形拼为图2、图3的位置请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1所验证的关于、的关系式；（用含、的代数式表示出来） (2)若图1中两个小正方形的面积之和（阴影部分面积）为36，则图2中的阴影部分面积是多少？ (3)若图3中大正方形和小正方形的面积之差是30，则阴影部分的面积是多少？ 【答案】(1) (2)18 (3)15 【分析】（1）用两种方法表示大正方形的面积即可； （2）由题意得，阴影部分的面积等于大直角三角形的面积加梯形的面积减去白色钝角三角形的面积，用含、的式子表示出来，再整体代入求解即可； （3）由题意得，用含、的式子表示出来，再整体代入求解即可． 【详解】（1）解：图1中大正方形面积既可直接表示：， 也可以将两个正方形和两个长方形的面积相加得：， 故所验证的关于、的关系式为：． （2）解：由题意得：， ，   将整体代入，原式． （3）解：由题意得：， ， 将整体代入，原式． 23．综合与实践 【阅读材料1】在基本代数中，通过添加和减去适当的项，将给定的二次多项式转化为一个完全平方式加上一个常数项的形式，这种方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用， 【阅读材料2】利用配方法，求的最小值． 解：． 因为取任何值，总是非负数，即， 所以当时，有最小值0，所以有最小值1， 所以当时，有最小值1． 【类比探究】 (1)将变形为的形式__________，则的最小值为__________； 【解决问题】 (2)已知，． ①若是正整数，试判断是奇数还是偶数？并说明理由； ②求的最小值． 【答案】(1) (2)①解：是奇数； 理由：，且是正整数． 中必有一个奇数、一个偶数． 为偶数，为奇数． 为奇数． ②当时，有最小值． 【分析】（1）利用题干的配方法求解即可． （2）①根据奇数和偶数的性质求解即可，②把代入中，再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， 取任何值，总是非负数，即， 当时，有最小值0，所以有最小值． （2）解：①略 ②解：． ． 取任何值，总是非负数，即； ∴当时，取最小值0， ∴当时，有最小值． 24．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式． 图1：__________________，图2：__________________，图3：__________________； (2)根据上述图中你探索发现的结论，简便计算： ①；②； (3)若图1中a与b的值分别为和，且满足，请求出的值． 【答案】(1)，，； (2)①；②； (3)17 【分析】（1）根据阴影部分面积的不同表示形式列式即可； （2）①根据，结合完全平方公式求解；②原式化为，再由完全平方公式求解； （3）由已知可得，，根据，得到，即可求解． 【详解】（1）解：图1整体上是边长为的正方形，因此面积为，拼成图1的四个部分的面积和为， ∴有 图2阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，阴影部分也可以看作大正方形面积与空白部分的面积差，即 ∴有， 图3中左图是长为，宽为的长方形，因此面积为，拼成的右图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， ∴有， （2）解：①； ②； （3）解：∵，， ∴，； ∵， 即， 解得， 即． 25．综合与实践：探究图式之间的内在联系 观察下列图形，思考图形中点的排列规律，抽象出数学等式，探究点的总个数． 任务一：下列是两位同学采用了不同方法进行探究，请你完善他们的探究过程． (1)明明将这些点分为两类，一类是实心点构造的正方形点阵，一类是空心点构造的正方形点阵，这样图1点的总数可表示为，图2点的总数可表示为，图3点的总数可表示为，图4点的总数可表示为，…，图点的总数可表示为_________； (2)欣欣用虚线将这些点进行连接，图1的点可以表示为，图2的点可以表示为，图3的点可以表示为，图4的点可以表示为，欣欣思考这种连接方式下，图5中最长虚线上共有________个点，她结合明明的探究，猜想两种方法利用图建立的等式：__________________； 任务二： (3)由两位同学的探究结果，我们可以获得从1开始，连续个奇数的和，即______________________； 任务三： (4)应用任务二探究得到的结论，计算：． 【答案】(1) (2)；； (3) (4) 【分析】（1）根据图形得出规律即可； （2）根据图形得出规律即可； （3）由（2）可得，再由，计算即可得出结果； （4），再结合（3）中的规律计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵图1点的总数可表示为，图2点的总数可表示为，图3点的总数可表示为，图4点的总数可表示为，…， ∴图点的总数可表示为； （2）解：∵图1中最长虚线上共有个点，图2中最长虚线上共有个点，图3中最长虚线上共有个点，图4中最长虚线上共有个点，…， ∴图5中最长虚线上共有个点， ∵图1的点可以表示为，图2的点可以表示为，图3的点可以表示为，图4的点可以表示为，…， ∴利用图建立的等式为 （3）解：由（2）可得， ∴ ； （4）解：， ∵，， ∴原式=． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年七年级数学暑假作业（湘教版） 1.2乘法公式基础巩固练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若是一个完全平方式，则的值是（） A． B． C． D． 2．有4张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a和b（）的长方形纸片，6张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（     ） A． B． C． D． 3．将正方形的一边增加，另一边缩短，则改造后的长方形面积与原来相比（     ） A．减少 B．增加 C．保持不变 D．无法确定 4．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．已知，，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．把一块边长为米的正方形土地的一边增加20米，相邻的另一边减少20米，变成一块长方形土地，你觉得土地的面积（     ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 7．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（     ） A．3 B．19 C．21 D．28 8．设a，b是任意有理数，定义一种新运算： ． 下面有四个推断：①；②；③；④，其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．小吴同学在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，，，在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为40，则阴影部分的面积是（     ） A．24 B．20 C．15 D．12 10．在某国际学生数学竞赛（）的实时计分系统中，选手A前两轮比赛的得分经过标准化处理后分别为分和分，已知这两轮得分的平方和为，即，则该选手前两轮得分的乘积为（     ） A．4 B．6 C．2 D．8 二、填空题 11．若，则的值为______． 12．若是一个完全平方式，则k的值可以是________（k为常数，请你写出一个符合要求的k值） 13．若，则的值为________． 14．当x=_______时，代数式取得最小值，最小值是_______． 15．一个糖果包装盒，是一个底面是正方形的长方体，高为，底面正方形的边长为．根据市场需求，现将它的底面正方形的边长增加，高保持不变，那么它的体积增加了________． 16．我们可以利用和解决代数式求最值的问题． 例如． ，． ∴当时，有最小值，最小值为1． 利用以上的方法，可求出代数式的最小值为________；用长为的篱笆围成一个长方形的花圃，能围成的花圃的最大面积是__________． 17．设，，…，，，是从，，这三个数取值的一组数，若， ，则，，…，，，中为的个数为_____． 18．解答以下问题： （1）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是_______， （2）如图3，大正方形与小正方形的面积之差是36，则阴影部分的面积为_______． 三、解答题 19．已知，，求代数式的值． 20．已知，，，先化简，再计算当时，求该式子的值． 21．利用平方差公式计算： (1)； (2)． 22．现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形．将其中正方形拼为图2、图3的位置请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1所验证的关于、的关系式；（用含、的代数式表示出来） (2)若图1中两个小正方形的面积之和（阴影部分面积）为36，则图2中的阴影部分面积是多少？ (3)若图3中大正方形和小正方形的面积之差是30，则阴影部分的面积是多少？ 23．综合与实践 【阅读材料1】在基本代数中，通过添加和减去适当的项，将给定的二次多项式转化为一个完全平方式加上一个常数项的形式，这种方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用， 【阅读材料2】利用配方法，求的最小值． 解：． 因为取任何值，总是非负数，即， 所以当时，有最小值0，所以有最小值1， 所以当时，有最小值1． 【类比探究】 (1)将变形为的形式__________，则的最小值为__________； 【解决问题】 (2)已知，． ①若是正整数，试判断是奇数还是偶数？并说明理由； ②求的最小值． 24．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式． 图1：__________________，图2：__________________，图3：__________________； (2)根据上述图中你探索发现的结论，简便计算： ①；②； (3)若图1中a与b的值分别为和，且满足，请求出的值． 25．综合与实践：探究图式之间的内在联系 观察下列图形，思考图形中点的排列规律，抽象出数学等式，探究点的总个数． 任务一：下列是两位同学采用了不同方法进行探究，请你完善他们的探究过程． (1)明明将这些点分为两类，一类是实心点构造的正方形点阵，一类是空心点构造的正方形点阵，这样图1点的总数可表示为，图2点的总数可表示为，图3点的总数可表示为，图4点的总数可表示为，…，图点的总数可表示为_________； (2)欣欣用虚线将这些点进行连接，图1的点可以表示为，图2的点可以表示为，图3的点可以表示为，图4的点可以表示为，欣欣思考这种连接方式下，图5中最长虚线上共有________个点，她结合明明的探究，猜想两种方法利用图建立的等式：__________________； 任务二： (3)由两位同学的探究结果，我们可以获得从1开始，连续个奇数的和，即______________________； 任务三： (4)应用任务二探究得到的结论，计算：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $