精品解析：湖南省永州市零陵区2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2026年上期义务教育阶段期末考试 八年级数学 注意事项： 1．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．本试卷包括试题卷和答题卡．满分120分，考试时量120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个正确答案，请将正确选项填涂到答题卡上相应的位置．每小题3分，共30分） 1. 我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 正六边形的每个外角为（ ） A. B. C. D. 4. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列四个选项中，不符合直线的性质特征的选项是（ ） A. 经过第一、三、四象限 B. 随的增大而减小 C. 与轴交于 D. 与轴交于 6. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是矩形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 菱形的对角线相等 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 7. 一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为（小时），航行过的路程为（千米），则关于的函数图像大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 48 B. 24 C. 96 D. 56 9. 在中，连接，过点A作交于点E．若且，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线，交直线于点，以为边向右作正方形；过点作轴的垂线，交直线于点，以为边向右作正方形，；按这样的规律进行下去，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 已知一组数据是：6，7，8，9，10，则这组数据的方差是______． 12. 在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第三四分位数为_____________． 13. 如图，直线和直线，相交于点，根据图象可知，关于的不等式的解集是______． 14. 如图，在中，D，E分别是边，的中点，，则的长为_____． 15. 如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，则的值为______． 16. 如图，矩形纸片中，，．将纸片折叠，使点落在边的延长线上的点处，折痕为，点、分别在边和边上．连接，交于点，交于点．给出以下结论：①；②；③；④当点F与点重合时，，其中正确的结论有__________（填序号）． 三、解答题（本大题共8个小题，其中17-18题6分，19-20题各8分，21、22题各10分，23、24题各12分，共72分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 已知一次函数的解析式为，求这个函数与两条坐标轴的交点坐标． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）将向右平移3个单位长度得到，写出点、、的坐标． 19. “张雪机车”品牌创始人张雪，1987年出生于湖南麻阳县贫困山村，少年立志“让中国机车走向世界”．他从摩托车维修学徒开始，几十年如一日，深研技术，永不言弃．2024年4月创立重庆张雪机车工业有限公司，2026年3月，“张雪机车”车队车手驾驶该公司自主研制的赛车，在世界超级摩托车锦标赛（）葡萄牙站连夺组别第一回合与第二回合冠军，实现中国品牌在该赛事的历史性突破，从此打破欧美日等国外车企对顶级摩托赛事几十年的垄断．下表是“张雪机车”部分车型的转速的详情： 车型 转速（） （仿赛） 13000 （复古街车） 11000 标准版 12500 赛道版 13500 （越野） 12500 （1）求上表中张雪机车转速的众数和中位数； （2）2026年5月“张雪机车”共销售15000台，求该月ZX500F（复古街车）销售数量． 20. 如图，在▱ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE=BC，AE=AB，AE、DC相交于点O，连接DE． （1）求证：四边形ACED是矩形； （2）若∠AOD=120°，AC=4，求对角线CD的长． 21. 年，平均年龄仅岁的永州队成功夺得湖南省足球联赛（湘超）冠军，年上半年的“湘”（湖南省篮球联赛），永州队也取得不错的成绩．两大赛事让“永冲锋”精神在广大青少年中引起强烈共鸣，榜样的力量和自发的热爱，让更多的孩子喜欢足球、篮球运动．某中学为保障足球、篮球运动的开展，计划从某体育用品专卖店购进足球和篮球共个．已知足球的售价为每个元，购买篮球所需费用（元）与购买数量（个）之间存在如图所示的函数关系． （1）直接写出当和时，与之间的函数关系式； （2）若购买计划中，篮球的数量不超过个，但不少于个，学校如何分配篮球和足球的购买数量，可使得购买总费用最低？求出最低费用． 22. 阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形．如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． （1）判断图中的中点四边形的形状，并说明理由； （2）进一步思考：四边形的对角线、满足什么条件时，下列结论分别成立？请添加相应的条件． ①若__________，则这个中点四边形是矩形； ②若__________，则这个中点四边形是菱形． 23. 如图（1），点，分别在正方形的边，上，连接．已知，猜想的度数． （1）【思路梳理】数学课上小明同学对这个问题进行了探究，并向同学们阐述了自己的证明思路：如图（1），把绕点逆时针旋转至．可使与重合，由，得，即点，，共线，从而证明出，故得出的度数．请你根据小明同学的解题思路，求的度数； （2）【类比引申】如图（2），在四边形中，，，，点，分别在边，上，且，试猜想的度数，并给出证明； （3）【联想拓展】如图（3），在中，，，点、均在边上，且，试猜想、、满足的等量关系，并写出推理过程． 24. 在平面直角坐标系中，直线：经过点，． （1）求直线的函数解析式； （2）点坐标为，过点的线段，垂足为点，求的面积； （提示：若直线：与直线：互相垂直，则） （3）点为轴上一动点，是否存在以、、为顶点的等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上期义务教育阶段期末考试 八年级数学 注意事项： 1．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．本试卷包括试题卷和答题卡．满分120分，考试时量120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个正确答案，请将正确选项填涂到答题卡上相应的位置．每小题3分，共30分） 1. 我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可． 【详解】解：A中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B中图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； C中图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； D中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是∶第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：点的横坐标为负，纵坐标为正，所以点在第二象限． 故选：B． 3. 正六边形的每个外角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】任意多边形外角和恒为，正多边形的所有外角都相等，用外角和除以边数即可得到单个外角的度数. 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，正六边形的个外角都相等， ∴正六边形每个外角的度数为 . 4. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数自变量取值范围的求解，根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列不等式即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解得， 因此自变量x的取值范围是． 5. 下列四个选项中，不符合直线的性质特征的选项是（ ） A. 经过第一、三、四象限 B. 随的增大而减小 C. 与轴交于 D. 与轴交于 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，判断一次函数的象限和增减性，再计算函数与坐标轴的交点，即可判断各选项. 【详解】解：直线中，，.，， 选项A：函数图象经过第一、三、四象限，结论正确，不符合题意； 选项B：，随的增大而增大，选项说随的增大而减小，结论错误，符合题意； 选项C：令，得，解得，直线与轴交于，结论正确，不符合题意； 选项D：令，得，直线与轴交于，结论正确，不符合题意. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是矩形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 菱形的对角线相等 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形、正方形、菱形的性质与判定，以及平行四边形的判定定理，逐个判断选项即可得到正确结论. 【详解】解：对各选项逐一分析： A选项：∵对角线互相垂直的四边形不能判定为矩形，只有对角线相等的平行四边形才是矩形，∴A错误，不符合题意； B选项：∵菱形本身对角线互相垂直平分，增加对角线相等的条件后，满足正方形的判定要求，∴对角线相等的菱形是正方形，B正确，符合题意； C选项：∵菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，∴C错误，不符合题意； D选项：∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，只有一组对边平行且相等的四边形才是平行四边形，∴D错误，不符合题意. 7. 一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为（小时），航行过的路程为（千米），则关于的函数图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用函数的图象解决实际问题．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 【详解】解：第一段，轮船先从甲地顺水航行到乙地， 是顺水航行， 速度大于静水速度，图象陡一些， 到达乙地后停留一段时间，路程没有变化，图象平行于横轴， 又从乙地逆水航行返回到甲地，路程逐步增加， 是逆水航行， 速度小于静水速度，图象平缓一些， 关于的函数图像大致是D． 故选：D． 8. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 48 B. 24 C. 96 D. 56 【答案】A 【解析】 【分析】先利用勾股定理的逆定理求出是直角三角形，再利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得阴影部分的面积等于， 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴， 又∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 则图中阴影部分的面积是． 9. 在中，连接，过点A作交于点E．若且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据于点，可求出，再求出，进而根据平行四边形的性质求出的度数． 【详解】解：∵于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 10. 如图，在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线，交直线于点，以为边向右作正方形；过点作轴的垂线，交直线于点，以为边向右作正方形，；按这样的规律进行下去，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由四边形是正方形，所以，，又过点作轴的垂线，交直线于点，则，得，从而可得，所以，同理，，，，，当时，代入即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵过点作轴的垂线，交直线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵过点作轴的垂线，交直线于点， ∴， 同理可得， ∴， 同理，，，， 当时，． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 已知一组数据是：6，7，8，9，10，则这组数据的方差是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差的计算公式是解题的关键． 根据方差的计算公式进行求解即可得． 【详解】解：∵一组数据是：6，7，8，9，10， ， 则这组数据的方差， 故答案为：2． 12. 在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第三四分位数为_____________． 【答案】39 【解析】 【分析】方法一：根据百分位数的计算规则，先将数据从小到大排序，再计算第三四分位数的位置，即可得到结果． 方法二：将这个数据从小到大排序，下半部分：上半部分：，根据第三四分位数为上半部分的中位数求解即可. 【详解】解：方法一：将这个数据从小到大排序得：． 第三四分位数即分位数，计算位置得， 因为是整数，因此第三四分位数为排序后第个数据与第个数据的平均数， 即． 方法二：将这个数据从小到大排序得：． 将数据分为2组，下半部分：上半部分：， 则第三四分位数为上半部分的中位数：. 13. 如图，直线和直线，相交于点，根据图象可知，关于的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图像解不等式，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，则 ∵直线与直线交于点P(20，25)， ∴关于x的不等式的解集是：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 14. 如图，在中，D，E分别是边，的中点，，则的长为_____． 【答案】 6 【解析】 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点，， ∴. 15. 如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接OP，利用勾股定理列式求出BD，再根据矩形的对角线相等且互相平分求出OA、OD，然后根据S△AOD=S△AOP+S△DOP列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接OP， ∵AB=6，AD=8， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OD=×10=5， ∵S△AOD=S△AOP+S△DOP， ∴××6×8=×5•PE+×5•PF， 解得PE+PF=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键． 16. 如图，矩形纸片中，，．将纸片折叠，使点落在边的延长线上的点处，折痕为，点、分别在边和边上．连接，交于点，交于点．给出以下结论：①；②；③；④当点F与点重合时，，其中正确的结论有__________（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】连接BE，设EF与BG交于点O，由折叠的性质可得EF垂直平分BG，可判断①；由“ASA”可证△BOF≌△GOE，可得BF=EG=GF，可判断②；通过证明四边形BEGF是菱形，可得∠BEF=∠GEF，求出∠AEB=30°，可得∠DEF=75°，可判断④，根据角平分线的性质得到DK≠KH，即可求解． 【详解】解：如图，连接BE，设EF与BG交于点O， ∵将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处， ∴EF垂直平分BG， ∴EF⊥BG，BO=GO，BE=EG，BF=FG，故①正确， ∵AD∥BC， ∴∠EGO=∠FBO， 又∵∠EOG=∠BOF， ∴△BOF≌△GOE（ASA）， ∴BF=EG， ∴BF=EG=GF，故②正确， ∵BE=EG=BF=FG， ∴四边形BEGF是菱形， ∴∠BEF=∠GEF， 当点F与点C重合时，则BF=BC=BE=12， 此时BE=2AB， ∴∠AEB=30°， ∴∠DEF=75°，故④正确， ∵BG平分∠EGF， ∴DK≠KH，故③错误； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，其中17-18题6分，19-20题各8分，21、22题各10分，23、24题各12分，共72分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 已知一次函数的解析式为，求这个函数与两条坐标轴的交点坐标． 【答案】与轴交点，与轴交点 【解析】 【分析】分别求出当时，，当时，，进而可得答案． 【详解】解：对于，当时，， 当时，由得， ∴函数与轴交点，与轴交点． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）将向右平移3个单位长度得到，写出点、、的坐标． 【答案】（1）如图所示∶ （2）如图所示∶ 、、． 【解析】 【分析】（1）分别作出A、B、C三点关于x轴的对称点、，，再顺次连接、，，即可得到，再写出点的坐标即可； （2）将A、B、C三点分别向右平移3个单位，得到、，再顺次连接、，即可得到，再写出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：图略； 、、． 19. “张雪机车”品牌创始人张雪，1987年出生于湖南麻阳县贫困山村，少年立志“让中国机车走向世界”．他从摩托车维修学徒开始，几十年如一日，深研技术，永不言弃．2024年4月创立重庆张雪机车工业有限公司，2026年3月，“张雪机车”车队车手驾驶该公司自主研制的赛车，在世界超级摩托车锦标赛（）葡萄牙站连夺组别第一回合与第二回合冠军，实现中国品牌在该赛事的历史性突破，从此打破欧美日等国外车企对顶级摩托赛事几十年的垄断．下表是“张雪机车”部分车型的转速的详情： 车型 转速（） （仿赛） 13000 （复古街车） 11000 标准版 12500 赛道版 13500 （越野） 12500 （1）求上表中张雪机车转速的众数和中位数； （2）2026年5月“张雪机车”共销售15000台，求该月ZX500F（复古街车）销售数量． 【答案】（1）众数是12500，中位数是12500 （2）台 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：将转速从小到大排列为：11000，12500，12500，13000，13500， 则中位数为：12500， 众数是12500． 【小问2详解】 解：该月（复古街车）销售数量为台． 20. 如图，在▱ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE=BC，AE=AB，AE、DC相交于点O，连接DE． （1）求证：四边形ACED是矩形； （2）若∠AOD=120°，AC=4，求对角线CD的长． 【答案】（1）见解析；（2）CD=8 【解析】 【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，AD=BC，AB=DC，根据CE=BC，得出AD=CE，AD∥CE，可证明四边形ACED是平行四边形，又根据AB=DC，AE=AB，可得AE=DC，即可证明四边形ACED是矩形； （2）先证明△AOC是等边三角形，可得OC=AC=4，即可得出CD=8． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC，AB=DC， ∵CE=BC， ∴AD=CE，AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∵AB=DC，AE=AB， ∴AE=DC， ∴四边形ACED是矩形； （2）∵四边形ACED是矩形， ∴OA=AE，OC=CD，AE=CD， ∴OA=OC， ∵∠AOC=180°﹣∠AOD=180°﹣120°=60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴OC=AC=4， ∴CD=8． 【点睛】本题考查了矩形的判断定理，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握矩形的判定定理和等边三角形的判定定理是解题关键． 21. 年，平均年龄仅岁的永州队成功夺得湖南省足球联赛（湘超）冠军，年上半年的“湘”（湖南省篮球联赛），永州队也取得不错的成绩．两大赛事让“永冲锋”精神在广大青少年中引起强烈共鸣，榜样的力量和自发的热爱，让更多的孩子喜欢足球、篮球运动．某中学为保障足球、篮球运动的开展，计划从某体育用品专卖店购进足球和篮球共个．已知足球的售价为每个元，购买篮球所需费用（元）与购买数量（个）之间存在如图所示的函数关系． （1）直接写出当和时，与之间的函数关系式； （2）若购买计划中，篮球的数量不超过个，但不少于个，学校如何分配篮球和足球的购买数量，可使得购买总费用最低？求出最低费用． 【答案】（1）当时，与之间的函数关系式为；当时，与之间的函数关系式为； （2）购买篮球个、足球个时总费用最低，最低费用为元． 【解析】 【分析】利用待定系数法即可求解； 设购买篮球个，则足球为个，总费用为元，然后分当时，当时，两种情况求解，再比较即可． 【小问1详解】 解：当时，设与之间的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴与之间的函数关系式为； 当时，设与之间的函数关系式为， ∴，解得， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设购买篮球个，则足球为个，总费用为元， 当时， ， ∵， ∴随增大而增大，当时，最小（元）； 当时， ， ∵， ∴随增大而减小，当时，最小（元）， ∵， ∴当时总费用最低，此时足球数量为（个）， ∴购买篮球个、足球个时总费用最低，最低费用为元． 22. 阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形．如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． （1）判断图中的中点四边形的形状，并说明理由； （2）进一步思考：四边形的对角线、满足什么条件时，下列结论分别成立？请添加相应的条件． ①若__________，则这个中点四边形是矩形； ②若__________，则这个中点四边形是菱形． 【答案】（1）中点四边形是平行四边形．理由如下： 如图1，连接，， ，分别是，的中点， ，， 同理，，． ∴，， ∴中点四边形是平行四边形． （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线的判定和性质可得出，，，．进而可得出，，即可证明中点四边形是平行四边形． （2）①根据矩形的判定定理求解即可；②根据菱形的判定定理求解即可． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：①若，这个中点四边形是矩形． ∵点E，点F，点H分别为，和的中点， ∴，，，， 当时， 则， ∴， ∵中点四边形是平行四边形． ∴这个中点四边形是矩形． ②若，这个中点四边形是菱形． ∵，，， ∴， ∵中点四边形是平行四边形． ∴这个中点四边形是菱形． 23. 如图（1），点，分别在正方形的边，上，连接．已知，猜想的度数． （1）【思路梳理】数学课上小明同学对这个问题进行了探究，并向同学们阐述了自己的证明思路：如图（1），把绕点逆时针旋转至．可使与重合，由，得，即点，，共线，从而证明出，故得出的度数．请你根据小明同学的解题思路，求的度数； （2）【类比引申】如图（2），在四边形中，，，，点，分别在边，上，且，试猜想的度数，并给出证明； （3）【联想拓展】如图（3），在中，，，点、均在边上，且，试猜想、、满足的等量关系，并写出推理过程． 【答案】（1） （2）．证明如下： 将绕点逆时针旋转至，使与重合． 由旋转的性质可知：． ∴，，， ∴，即点、、共线， ∴， 在和中， ∴． ． （3），理由如下： 如图（3）， 将绕点逆时针旋转至， 由旋转的性质可知：，，，． ，， ， ， ． ，， ． ， ， ． 在和中， ， ． 在中，由勾股定理得：， 又，， ． 【解析】 【分析】（1）将绕点逆时针旋转至，由旋转的性质可知：．进而可得出，证明，由全等三角形的性质结合正方形的性质即可得出． （2）将绕点逆时针旋转至，使与重合．由旋转的性质可知：，进而可得出，证明，由全等三角形的性质进而可得出． （3）将绕点逆时针旋转至，得出，，，，然后证明，所以，再通过勾股定理得，则． 【小问1详解】 解：如图（1）， 将绕点逆时针旋转至， 由旋转的性质可知：． ，，，， ，即点、、三点共线， ． 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：略； 24. 在平面直角坐标系中，直线：经过点，． （1）求直线的函数解析式； （2）点坐标为，过点的线段，垂足为点，求的面积； （提示：若直线：与直线：互相垂直，则） （3）点为轴上一动点，是否存在以、、为顶点的等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线解析式为 （2） （3）存在．符合条件的点M坐标是，，， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求直线解析式即可． （2）利用待定系数法求出线段的解析式，联立直线和线段的解析式求出点P的坐标，再根据三角形面积公式求解即可． （3）根据等腰三角形的定义分三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入中， 则， 解得， 故直线解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）知直线解析式为，， 根据提示可知：线段的， 设线段的解析式为：， 把点坐标为代入中， 则， 解得：， 故线段的解析式为：， 联立直线和线段的解析式：， 解得：， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：设点M的坐标为， ∵，， ∴， 当时，， 解得：或， 此时：或； 当时，，即， 解得：或， 当时，与点C重合，舍去 此时：； 当时，，即， 解得， 此时； 故存在，综上符合条件的点M坐标是，，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $