21章二次函数一般式的图象和性质作业练习2026-2027学年沪科版数学九年级上册

**基本信息** 沪科版数学九上21章二次函数同步练，以基础巩固为核心，通过三级梯度设计实现从单一知识到综合应用的进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|图象识别、顶点坐标、表达式求解|单选题1-3题考查开口方向与对称轴，解答题8题通过表格数据求表达式，夯实概念理解| |中档|增减性、最值、平移变换|填空题13题分情况讨论增减性与最值，解答题9题结合待定系数法与区间最值，强化运算能力| |提升|参数范围、综合结论判断|单选题6-7题分析含参抛物线性质，解答题10题探究对称轴与函数值关系，发展逻辑推理与模型意识|

2026-2027学年沪科版数学九上21章二次函数的图象和性质 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．若二次函数图象经过，，三点，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为，则下列结论错误的是（　　） A． B．当时，y随x的增大而减小 C．若的一个根为，则 D．抛物线可由抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到 4．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤有两个不相等的实数根．其中正确的是（   ） A．②④⑤ B．③④⑤ C．②③④⑤ D．①③④⑤ 5．如图，已知抛物线与直线y＝x交于和两点，有以下结论：①；②3b＋c＋6＝0；③当时，；④当时，，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知二次函数 的图像不经过第三、四象限，且当 时， 随的增大而增大，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、解答题 8．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： … … … … (1)求这个二次函数的表达式； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)若图象与轴交点坐标为、、与轴的交点坐标为．求三角形的面积． (4)当时，直接写出的取值范围． 9．在直角坐标系中，抛物线（，是常数，）与轴相交于点． (1)若抛物线经过点，，求，的值； (2)已知，若，有最大值，求的值． 10．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若该抛物线的对称轴为直线，求其顶点坐标； (2)已知该抛物线的对称轴位于轴右侧． ①当时，的最小值为，求的值； ②若都是该抛物线上的点，且，求的取值范围． 三、填空题 11．已知二次函数的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到二次函数，则函数的最小值为______． 12．已知点，都在抛物线上，则______（用含a的代数式表示）． 13．已知二次函数． （1）若，y随x的增大而________；当________时，y有最小值为________；当________时，y有最大值为________． （2）若，y随x的增大而________；当________时，y有最小值为________；当________时，y有最大值为________． （3）若，当________时，y有最小值为________；当________时，y有最大值为________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年沪科版数学九上21章二次函数的图象和性质》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B D A B B B D 1．B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据得出抛物线开口向上，与y轴交点为，对称轴为直线，顶点坐标，即可求解． 【详解】解：∵二次函数解析式为，     ∴抛物线开口向上，与y轴交点为，对称轴为直线，顶点坐标， ∴只有B选项符合题意． 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．先求出二次函数的对称轴，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大， ∵到2的距离为3，2到2的距离为0，4到2的距离为2， ∴a、b、c的大小关系， 故选：D． 3．A 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解的定义，用表示、的值是解题的关键． 根据顶点坐标判断、的正负性，由此判断A；根据开口方向和对称轴判断B；用表示、，再解方程判断C；根据平移法则判断D． 【详解】解：∵抛物线的顶点为， ， ， ， ， ， ， ∴的符号无法判断，故A错误，符合题意； ， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故B正确，不符合题意； ， ， ∵的一个根为， ， ∴，故C正确，不符合题意； ∵抛物线的顶点为， ， ∴将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到，故D正确，不符合题意； 故选：A． 4．B 【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，掌握抛物线与轴的交点个数确定△的符号，并利用对称性是解题的关键．根据图象判断二次函数与各项系数符号的关系． 【详解】解：图象与轴的负半轴相交， ，故①不正确； 当时，， 即， ， ， ， 解得，故②不正确； 对称轴为直线，， ，即，故③正确； 图象与轴有两个交点， ，即， ，故④正确； 二次函数与直线有两个交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，故⑤正确； 综上，正确的有：③④⑤， 故选：B． 5．B 【分析】由函数与x轴无交点，可得来判断①；当时，来判断②；当时，二次函数值小于一次函数值，可得来求解③；把和两点代入求出抛物线解析式进行得用抛物线与双曲线的交点坐标，分第一象限内和第三象限内来求解④． 【详解】解：∵函数与x轴无交点， ∴，故①不正确； 当x=3时，， 即，故②正确； ∵当时，二次函数值小于一次函数值， ∴， ∴，故③正确； 把和两点代入得抛物线的解析式为 ， 当时，，， 抛物线和双曲线的交点坐标为， 第一象限内，当时，； 或第三象限内，当时，，故④错误． 综上所述，正确的有②③共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用，注意掌握数形结合思想的应用． 6．B 【分析】由题意可知抛物线开口向上，结合对称轴及点 坐标可得 ，利用的范围求的范围，利用顶点纵坐标为最小值判断不等式及方程根的情况． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上， ， 对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， 故①错误； ∵抛物线过点 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时， 有最小值 ， ∴对于任意实数，都有 ， ∴ ，即 ， 故③正确； 抛物线顶点坐标为 ，且开口向上， ∴ 的最小值为， ∴直线 与抛物线 没有交点， ∴关于的方程 没有实数根， 故④错误． 综上所述，正确的结论有②，共2个． 7．D 【分析】二次函数开口向上，图像不经过第三、四象限，说明抛物线与x轴最多有一个交点，可得判别式 ，再根据当时 随增大而增大，可得对称轴位置满足不等式，联立两个不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解： 二次函数 中， ， ∴抛物线开口向上，且图像不经过第三、四象限， 抛物线与轴最多有一个交点，即判别式 ∴ 解得 ， 又 二次函数的对称轴为直线 ，且当时， 随的增大而增大， 对称轴满足 ， 综上，实数 的取值范围是． 8．(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）先通过表格找到顶点，设顶点式，再代入已知点求出系数，得到函数表达式； （2）根据顶点、与坐标轴的交点等关键点，画出抛物线图象； （3）先确定三角形三个顶点的坐标，再用三角形面积公式计算面积； （4）先找到区间内的顶点，再计算区间端点的函数值，比较后确定的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可知，二次函数的顶点为， 设二次函数的解析式为， 将代入，解得 ， 故二次函数的解析式为，即． （2）解：如图为二次函数的图象． （3）解：点，，如图所示． 据图可知点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 则，， 故． （4）解：二次函数的解析式为， 当，有最小值， 当，， 当，， 故的取值范围为． 9．(1)的值分别为 (2)或 【分析】（）利用待定系数法，将函数图像经过的两个点坐标代入二次函数解析式，构造出关于参数的二元一次方程组，通过解方程组直接求出a、b的数值； （）先根据用表示，代入解析式配成顶点式确定对称轴；再按照开口向上、开口向下分类讨论，结合自变量的取值范围判断最大值对应的，分别列式求解，最后汇总所有符合条件的的值． 【详解】（1）解：将点，代入， 得， 解得， ∴的值分别为； （2）解：∵， ∴， ∴抛物线为， ∵， ∴抛物线顶点坐标为， ①当时，抛物线开口向上，， ∴当时，为最大值， 即，解得； ②当时，抛物线开口向下， ∴当时，为最大值， 即， 解得； 综上所述，或． 10．(1) (2)①的值为，②的取值范围为：或． 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质的应用； （1）根据抛物线的对称轴求解，进一步可得顶点坐标； （2）①如图，该抛物线的对称轴位于轴右侧，可得，当时，顶点的纵坐标最小，当时，当时，最小，再进一步求解即可； ②由题意可得，，，抛物线的对称轴为直线，，由，可得：，，整理得：，设，如图，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线，该抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为：． （2）解：①如图，该抛物线的对称轴位于轴右侧， ∴， 当时，顶点的纵坐标最小， ∴， 解得：（舍去）； 当时， 当时，最小， ∴， 解得：，不符合题意，舍去， 综上：当时，的最小值为，的值为； ②∵都是抛物线上的点， ∴，，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵，即， 解得：， ∵， ∴， 解得：，即， 解得：， 综上：， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 设，如图， 当时， 解得：或， ∴当时，或， ∵， ∴的取值范围为：或． 11． 【分析】本题主要考查的是二次函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键；首先将新抛物线向下平移3个单位，再向右平移2个单位得到原抛物线的顶点式，然后根据原抛物线的解析式即可解答． 【详解】解：∵将新二次函数向下平移3个单位，再向右平移2个单位，得到的解析式为，即， ∴的顶点坐标为, ∵,开口向上， ∴的最小值为. 即函数的最小值为， 故答案为：． 12． 【分析】根据点的坐标得出两点关于对称轴对称，然后根据对称轴的公式列出关系式． 【详解】解：∵点P和点Q的纵坐标都是m，且两点都在抛物线上， ∴点P和点Q关于该抛物线的对称轴对称． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴． 13． 减小 0 2 -1 5 增大 2 2 3 5 1 1 3 5 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，先将二次函数配方，确定开口方向、对称轴和顶点，再根据的取值范围与对称轴的位置关系，判断增减性，进而求解各范围内的最值． 【详解】解：已知 ∵ ∴ 抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是 性质：当时，随的增大而减小；当时， 随的增大而增大． （1）∵范围在对称轴的左侧， ∴随的增大而减小 ∴ 当取最大值时， 有最小值为2； 当取最小值时， 有最大值为5； 故答案为：① 减小； ② ； ③ ； ④ ； ⑤． （2）∵范围在对称轴的右侧， ∴随的增大而增大 ∴当取最小值时，有最小值为； 当取最大值时，有最大值为； 故答案为：⑥增大；⑦ ；⑧；⑨；⑩ ． （3）∵对称轴在范围之内，且抛物线开口向上， ∴当 时， 有最小值为； ∵离对称轴越远函数值越大，比较端点距离： ，，因为，所以离对称轴更远， ∴当时，有最大值为． 故答案为：⑪ ；⑫ ；⑬；⑭． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $