教材拓展角 交点式的延伸利用抛物线上的对称点求表达式&专题一 确定二次函数表达式的技巧（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（沪科版·新教材）

【能力提升 ◆◆·整合运用 11.已知二次函数y=x2十4x十c的图象的顶 8.(芜湖期末)在同一平面直角坐标系中，一次 点P在一次函数y=3x十5的图象上. 函数y=ax与二次函数y=ax2一a的图象 (1)求顶点P的坐标. 可能是 (2)除点P外，这两个函数的图象是否还存 在其他公共点？若存在，请求出它的坐 兴衣兴病 标；若不存在，请说明理由， 9.已知二次函数y=x2一a与一次函数y 2x十2a(a是常数)的图象交于两个不同的点 A,B.若点A的横坐标是一1，则点B的横坐 标是 10.分类讨论新理念已知二次函数的图象过原 点及点（一方，-），且与x轴的另一个交 点到原点的距离为1，则该二次函数的表达 式为 教材拓展角 交点式的延伸一利用抛物线上的对称点求表达式 教材P24练习T3延伸 阅读材料：如果知道抛物线与x轴两交点的坐标(x1,0)(x2,0),我们一般设y=a(x一x1)(x一 x2)求函数表达式.类似地，如果知道抛物线上任意一对对称点(x1,c),(x2,c),可设交点式的拓 展式y=a(x一x1)(x-x2)十c(a≠0)来求函数表达式. 解答下列问题： 如图，已知抛物线y=x2+mx十n经过点A(一5,2)，B(3,2). (1)求抛物线的函数表达式； (2)利用函数图象，求当一5<x≤0时，y的取值范围. 第21章二次函数与反比例函数15 专题一 确定二次函数表达式的技巧 类型1利用待定系数法求函数表达式 A.y=(x+1)2-4B.y=(x+1)2+2 1.二次函数图象上部分点的横坐标x、纵坐标 C.y=(x+5)2-4D.y=(x+5)2+2 y的对应值如下表， 3.(六安期中)若抛物线y=ax2十bx十c(a≠0) x -3 -2 0 2 … 可由抛物线y=一3x2+1平移得到，则a的 15m 3 0 0 3 8 值为 A.-1 B.1 C.-3D.3 (1)这个二次函数图象的对称轴为直线 4.如图，抛物线y=ax2十2x十c与x轴交于点 ,顶点坐标为 A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C,过点C (2)m的值为 ,n的值为 作CD∥x轴，交抛物线的对称轴于点D. (3)选择合适的方法求该二次函数的表达式. (1)该抛物线的函数表达式为 (2)若将该抛物线向下平移m AOT B 个单位长度，使其顶点落在点D处，则平 移后抛物线的函数表达式为 (二)利用对称求函数表达式 方法点拨：将抛物线作对称变换求表达式时，先将其 转化成顶点式y=a(x十h)2十k,顶，点坐标为（一h,k): ①关于x轴对称的抛物线为y=一a(x十h)2-k; 类型2利用平移、对称求函数表达式 ②关于y轴对称的抛物线为y=a(x一h)2十； (一)利用平移求表达式 ③关于原，点对称或绕原，点旋转180°得到的抛物线为 方法点拨：方法一：①抛物线y=ax2十bx十c(a≠0) y二a(xh)2k,顶点坐标为(h,-k) 向左（右）平移m(m>0)个单位长度，得到抛物线 5.与抛物线y=x2一2x一4关于x轴对称的抛 y=a(x士m)2十b(x士m)十c(a≠0)，即针对横坐 物线的函数表达式为 ) 标左加右减； A.y=-x2+2x+4B.y=-x2+2x-4 ②抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)向上（下）平移 C.y=x2-2x+4 D.y=-x2-2x-4 n(n>0)个单位长度，得到抛物线y=ax2十bx十 6.(界首期末)将抛物线y=一3(x一5)2+6绕 c士n(a≠0)，即针对纵坐标上加下减. 着它的顶点旋转180°，所得的抛物线的表达 方法二：先将抛物线的函数表达式转化成顶，点式y= 式为 a(x十h)2十，再利用“左加右减，上加下减”来解题. 【变式题】绕顶点旋转→绕原点旋转 2.(合肥期末)将抛物线y=(x+3)2一1先向 在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2十2x一1 右平移2个单位长度，再向上平移3个单位 先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位长 长度，则平移后的抛物线的函数表达式为 度，所得新抛物线的函数表达式是 ( 16数学九年级上册(HK)(y=x2+4x十3， 一4，解得c=3..顶点P的坐标为(-2，一1).(2)由(1)可知二次函数的表达式为y=x2+4x+3,联立 解得 y=3x+5, x=-2,x=1, 或 .两个函数图象除公共点P(一2，一1)，还有一个公共点(1,8). y=-1,(y=8. 教材拓展角交点式的延伸一利用抛物线上的对称点求表达式 解：(1)：抛物线y=x2+mx十n经过点A(-5,2),B(3,2),.抛物线的函数表达式为y=(x十5)(x-3)+2=x2十2x-13.(2)由 (1)得y=x2+2x-13=(x十1)2-14，.当x=-1时，y有最小值，最小值为-14；当x=-5时，y=2;当x=0时，y=-13..当 -5<x≤0时，y的取值范围是-14≤y<2. 专题一确定二次函数表达式的技巧 1.解：(1)x=1(1,-1)(2)83(3)设该二次函数的表达式为y=a(x-1)2-1.把(0,0)代人，得0=a-1,解得a=1..该二 次函数的表达式为y=(x一1)2-1. 2.B3.C4.(1)y=-x2+2x+3(2)y=-(x-1)2+35.A6.y=3(x-5)2+6【变式题】y=-x2+2x-4 专题二二次函数的最值及函数值的取值范围【易错·课标变化】 一hk大一hk小 1.C2.A314坚5.C6.C【变式题1】-1或5变式题25或-号7.()-5(2)-日 21.3二次函数与一元二次方程 第1课时二次函数的图象与一元二次方程的根的关系 1.(2,0),(-3,0)2.B3.C 4.解：(1)·二次函数y=一x2十2x一m的图象与x轴有两个不同的交点，∴.一元二次方程-x2+2x一m=0有两个不相等的实数 根.∴.△=22-4×(-1)×(-m)>0,解得m<1.(2)由题意，得方程-x2+2x-m=0的一个解为x1=-1.设另一个解为x2,则x2 十（-1)=2，解得x2=3..方程-x2+2x-m=0的解为1=一1，x2=3. 5.x1=一3，x2=16.有两个相等的实数根 7.(1)证明：令y=x2-mx十m-2=0,.△=(-m)2-4(m-2)=m2-4m十8=(m-2)2十4.，(m-2)2≥0，.△=(m-2)2+4> 0..x2一mx十m一2=0有两个不相等的实数根，即不论m为何值，此抛物线与x轴总有两个不同的交点.(2)解：由题意可知，p,q 是一元二次方程x2-mx十m一2=0的两个根，·p十q=m,pq=m一2.：'p+q=2q,∴·m=2(m-2),解得m=4. 第2课时利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 1.D2.D 3.解：(1)-1232-1如图所示.(2)x1≈0.7，x2≈-2.7. 4.C5.C 6.解：(1)根据图象，估计方程x2一x一1=0的近似根为x≈一0.6，x2≈1.6.(2)如图所示，估计方程x2一x一1=0的近似根为x1 ≈-0.6，x2≈1.6. 5