1.2.1-1.2.2 有理数的概念与数轴《知识解读·题型专练》（知识解读）2026-2027学年七年级数学上册（人教版）

本讲义聚焦有理数的概念与数轴核心知识点，系统梳理有理数的定义、分类（整数与分数，正有理数、0、负有理数），衔接数轴三要素及点与有理数的对应关系，构建数与形结合的学习支架。 资料设计12类典型题型，例题与变式题结合，通过数轴规律探究、整点覆盖等培养抽象能力和几何直观，课中辅助教师系统教学，课后助力学生强化练习，有效查漏补缺。

1.2.1-1.2.2 有理数的概念与数轴（知识解读） 【人教版2024】 题型归纳 【题型 1··有理数的定义】 2 【题型 2··0 的意义】 3 【题型 3··有理数的分类】 5 【题型 4··带“非”字的有理数】 7 【题型·5·数轴三要素判断】 9 【题型·6·用数轴上的点表示有理数】 10 【题型·7·数轴上两点间的距离】 12 【题型·8·数轴上点的平移】 13 【题型·9·数轴上找原点】 14 【题型·10·数轴上整点覆盖问题】 17 【题型·11·数轴上的规律探究】 18 【题型·12.·利用数轴表示有理数的大小】 21 知识点1 有理数 1. 定义：整数和分数统称为有理数.有理数也可以分为正有理数、零和负有理数，正有理数和零属于非负数. 2. 说明：正整数、0、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；整数可以写成分数的形式；可以写成分数形式的数称为有理数．可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数. 3. 有理数的分类： 按有理数的定义分类 按有理数的性质符号分类 分数 整数 正整数 0 负整数 正分数 有理数 负分数 有理数 正有理数 0 负有理数 正整数 正分数 负整数 负分数 可以写成正分数形式的数 可以写成负分数形式的数 【题型 1··有理数的定义】 【例1】在下列五个数中：，0，，，…（两个1之间依次多一个2）有理数个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了有理数定义，熟记概念是解题的关键． 根据有理数的定义，判断每个数是否为有理数．有理数包括整数和分数． 【详解】解：在，0，，，…（两个1之间依次多一个2）中， 有理数有，0，，有理数的个数是3个． 故选B． 【变式1-1】下列各数中：，，，，有理数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查有理数的定义，根据有理数包括整数和分数，逐一判断各数即可． 【详解】解：是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是无限不循环小数，不是有理数； ∴有理数有3个． 故选：C． 【变式1-2】在，，，，，中，有理数有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的判断，掌握有理数的概念是解题的关键．整数和分数统称有理数，不是有理数，根据有理数的概念判断即可解答． 【详解】解：在，，，，，中，有理数有，，，，共5个， 故选：D． 【变式1-3】最大的负整数是_______，最小的正整数是_______． 【答案】 1 【分析】本题考查了有理数的概念，根据最大的负整数是，最小的正整数是1，进行作答即可． 【详解】解：依题意，最大的负整数是，最小的正整数是1， 故答案为：，1． 【题型 2··0 的意义】 【例2】关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 【答案】D 【分析】本题考查了关于0的认识，0是整数，自然数，是有理数，但不是正数，也不是负数，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 0是整数，也是有理数，故原选项正确，不合题意； B. 0既不是正数，也不是负数，故原选项正确，不合题意； C. 0是整数，也是自然数故原选项正确，不合题意； D. 0既是自然数，也是有理数，故原选项错误，符合题意﹒ 故选：D 【变式2-1】某种食品的广告词之一是“0添加”，这里的0可以（     ） A．表示“起点” B．用来“占位” C．表示“没有” D．表示“分界” 【答案】C 【详解】解：不同场景中0有不同含义： A选项，测量时刻度尺的0刻度表示起点，不符合题意； B选项，多位数中的0起到占位作用，不符合题意； C选项，“0添加”指没有添加额外成分，这里0表示“没有”，符合题意； D选项，0是正负数的分界，如温度中的表示分界，不符合题意． 【变式2-2】下面关于0的说法，正确的个数是（    ） ①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；④0是最小的非负数；⑤0既不是奇数也不是偶数． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了零的意义、有理数的分类，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关知识点逐项判断即可． 【详解】解：∵0既不是正数也不是负数，∴①正确； ∵自然数包括0和正整数，且0是最小的自然数，∴②正确； ∵正数大于0，0不是正数，∴③错误； ∵非负数包括0和正数，0是最小的非负数，∴④正确； ∵0能被2整除，属于偶数，∴⑤错误． 综上，正确说法为①、②、④，共3个． 故选：B． 【变式2-3】下面关于0的说法，说法正确的是（    ） A．0是最小的正数 B．0是最大的负数 C．0既不是正数也不是负数 D．海拔0m就是没有海拔 【答案】C 【分析】0既不是正数也不是负数，正确认识海拔0m的意义即可． 【详解】A、0是最小的正数，错误，0既不是正数也不是负数，故本选项不符合题意； B、0是最大的负数，错误，0既不是正数也不是负数，故本选项不符合题意； C、0既不是正数也不是负数，故本选项符合题意； D、海拔0m就是没有海拔，错误，海拔0m就是与海平面高度相同，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查0的意义及其应用，明确海拔0m是与海平面高度相同，0是正负数的分界是解题的关键． 【题型 3··有理数的分类】 【例3】把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨． (1)正有理数集合；｛____________________…｝ (2)负有理数集合：｛____________________…｝ (3)整数集合：｛____________________…｝ 【答案】(1)①，④，⑦，⑨ (2)②，③，⑥ (3)①，③，⑤ 【分析】根据正有理数、负有理数、整数的定义对各数逐一分类即可． 【详解】（1）解：π是无限不循环小数，不属于有理数，正有理数是大于0的有理数， 因此正有理数集合：｛①，④，⑦，⑨…｝. （2）解：负有理数是小于0的有理数，因此负有理数集合：｛②，③，⑥，…｝； （3）解：整数包括正整数，0和负整数，因此整数集合：｛①，③，⑤，…｝． 【变式3-1】请把下列各数填入相应集合内： ，0.618，，，，2，，0， (1)正整数集合：{                    …} (2)非负数集合：{                    …} (3)负分数集合：{                    …} (4)有理数集合：{                    …} 【答案】(1)，2 (2)0.618，，，2，0， (3)， (4)，0.618，，，，2，，0 【分析】本题考查了有理数的分类． 【详解】（1）解：正整数集合：{，2，} （2）解：非负数集合：{0.618，，，2，0，，} （3）解：负分数集合：{，，} （4）解：有理数集合：{，0.618，，，，2，，0，} 【变式3-2】把下列各数的序号分别填入相应的大括号内： ①，②，③，④101，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨ 正有理数集合：{____________________...} 整数集合：{____________________...} 非负数集合：{____________________...} 【答案】正有理数集合：{①④ ⑦ ⑨}；整数集合：{③ ④⑤ ⑥}；非负数集合：{① ④ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨} 【分析】本题主要考查了有理数的分类和的分类，正有理数是大于0的整数和分数，非负数是大于或等于0的数，据此结合整数的定义求解即可． 【详解】解：①是正有理数，是非负数 ②不是正有理数，不是整数，也不是非负数， ③是整数， ④101是正有理数，是整数，是非负数， ⑤是整数， ⑥0是整数，是非负数， ⑦是正有理数，是非负数， ⑧不是正有理数，不是整数，是非负数， ⑨是正有理数，是非负数， ∴正有理数集合：{① ④ ⑦ ⑨}； 整数集合：{③ ④ ⑤ ⑥}； 非负数集合：{①④ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨}． 【变式3-3】所有的正有理数组成正有理数集合，所有的负有理数组成负有理数集合，所有的整数组成整数集合，请把下列各数填入相应的集合中： 3，，，，0，，15，． 正有理数集合：{__________________…}． 负有理数集合：{__________________…}． 整数集合：{__________________…}． 【答案】正有理数集合：{3，，15，}；负有理数集合：{，，}；整数集合：{3，，0，15} 【分析】本题主要考查了有理数的分类，正有理数是大于0的整数和分数，负有理数是小于0的整数和分数，据此结合整数的定义求解即可． 【详解】解：正有理数集合：{3，，15，}； 负有理数集合：{，，}； 整数集合：{3，，0，15}． 【题型 4··带“非”字的有理数】 【例4】在中，非负整数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了非负整数的概念，解题的关键是掌握非负整数的概念．非负整数包括正整数和零． 根据非负整数的概念求解即可． 【详解】解：， ∴在中， 非负整数有：0，1，，共3个， 故选：C． 【变式4-1】在有理数，，0，，11 中，非负整数有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3  个 D．4  个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数相关的定义，解题的关键是掌握非负整数的定义． 非负整数是指大于或等于零的整数，从给定的有理数中筛选出整数且非负的数． 【详解】解：非负整数的有0和11，共2个， 故选：B． 【变式4-2】下列有理数中：，，，，10，，0，，非正数的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类，根据非正数的定义找到符合题意的数，即可得出结果． 【详解】解：题中有理数非正数有：，，，0，，共5个数， 故选：C． 【变式4-3】在，0，，，2025，，，中，非负整数的个数为_____． 【答案】3 【分析】本题主要考查了非负整数的定义，非负整数即为大于等于0的整数，据此可得答案． 【详解】解：在，0，，，2025，，，中，非负整数有，0，2025，共3个， 故答案为：3． 知识点3 数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴，它满足以下条件： （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，；从原点向左，用类似的方法依次表示1，2，3，． 知识点4 数轴上的点与有理数之间的关系 1. 每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说，每个有理数都对应数轴上的一点． 2. 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示数的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是a个单位长度． 【题型·5·数轴三要素判断】 【例5】下列四个数轴的画法中，规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】数轴要规定原点、正方向，单位长度要一致，由此求解． 【详解】解：A．所画数轴单位长度不一致，不合题意； B．所画数轴没有原点，不合题意； C．所画数轴规范，符合题意； D．所画数轴没有正方向，不合题意． 【变式5-1】下列数轴画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴，规定了原点，单位长度和正方向的一条直线叫做数轴，根据数轴的定义进行判断即可． 【详解】解：A、没有单位长度，不符合题意； B、没有规定正方向，不符合题意； C、画法正确，符合题意； D、负半轴部分从左到右没有从小到大排列，不符合题意； 故选C． 【变式5-2】以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的特点，根据数轴包括原点，正方向，单位长度，结合图形分析即可． 【详解】解：A、正方向不对，不符合题意； B、原点，正方向，单位长度均符合数轴特点，符合题意； C、没有正方向，单位长度也不对，不符合题意； D、单位长度不一致，不符合题意； 故选：B ． 【变式5-3】如图所示的四个数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了画数轴，熟练掌握数轴有三要素：原点，单位长度和正方向，根据三要素进行判断即可． 【详解】解：根据三要素进行判断如下： A、单位长度不一致，故A不符合题意； B、数轴上的数从左到右依次增大，故B不符合题意； C、没有原点，故C不符合题意； D、具备数轴的三要素及数据的排列顺序，故D符合题意； 故选：D． 【题型·6·用数轴上的点表示有理数】 【例6】在数轴上表示出下列各数，并用“”连起来，，，，． 【答案】， 【分析】先在数轴上表示出各数，再根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】解：数轴表示见答案， 由数轴可得． 【变式6-1】如图，数轴上点位于原点右侧一个单位距离，小蘑菇所在点表示的数可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】小蘑菇所在的点在和之间，并且偏左一点，根据它在数轴上的位置估计即可． 【详解】数轴上点位于原点右侧一个单位距离， 点表示的数是， 由图可知：小蘑菇所在的点在和之间，并且偏左一点， 小蘑菇所在点表示的数可能为． 【变式6-2】下图温度计上，如果点A表示的摄氏温度是，则点B表示的摄氏温度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察温度计，明确刻度线的位置，根据正负数在温度计上的表示意义进行判断． 【详解】解：由图可知，温度计的刻度线在中间位置，以上表示零上温度，以下表示零下温度. ∵点B位于刻度线下方10个单位处， ∴点B表示的摄氏温度是． 【变式6-3】完成下列问题 (1)补全数轴； (2)将下列5个数：，，0，2，，在这个数轴上表示出来，并用“”号把这些数连接起来． 【答案】(1)略 (2) 略 【分析】（1）根据数轴三要素画图即可； （2）将5个数在数轴上表示出来，然后根据数轴左边的数小于右边的数用“”号把这些数连接起来． 【详解】（1）解：如图所示，数轴即为所求； （2）解：如图所示， ∴． 【题型·7·数轴上两点间的距离】 【例7】已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，则点，之间的距离是________． 【答案】 【分析】直接利用数轴上两点间距离的计算方法求解即可． 【详解】解：数轴上点表示的数是，点表示的数是， 点，之间的距离为：． 【变式7-1】如图，在数轴上，点A表示2，点B表示，则点A、B之间的距离是______． 【答案】3 【分析】根据数轴上两点间的距离定义，即两点所表示的数之差的绝对值，据此列式计算即可． 【详解】解：由图可知，点 A 表示的数为 2，点 B表示的数为．则点A、B之间的距离是． 【变式7-2】在数轴上，到所对应的点的距离为个单位的点所对应的数是_________． 【答案】3或 【分析】此题主要考查了数轴上两点之间的距离．根据点在已知点的左侧和右侧两种情况计算即可． 【详解】解：到对应的点的距离为5个单位长度的点表示的数是， 或， 故答案为：3或． 【变式7-3】数轴上点A与点B相距2个单位且点A在点B的左侧，若点B表示的数为，则点A表示的数是_______ ． 【答案】 【分析】本题考查数轴的相关知识，掌握数轴上两点之间距离的意义是解题关键． 根据数轴上点的位置关系，点A在点B左侧，故点A表示的数为点B表示的数减去距离． 【详解】解：点B表示的数为，点A在点B左侧且相距2个单位， 点A表示的数为． 故答案为：． 【题型·8·数轴上点的平移】 【例8】点A在数轴上表示的数是，从A点出发先向右平移7个单位长度，再向左平移3个单位长度到达点B，则点B表示的数是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上点的平移规律，熟练掌握“向右平移对应数加，向左平移对应数减”是解题的关键． 根据数轴上点的平移规律“向右平移数加，向左平移数减”，先对起始点进行向右平移操作，再进行向左平移操作，计算最终点表示的数． 【详解】解：∵点表示的数是，向右平移个单位长度， ∴平移后表示的数为， 又∵再向左平移个单位长度， ∴最终点表示的数为， 故答案为：． 【变式8-1】在数轴上，如果点A表示数5，将点A向左移动4个单位长度，再向右移动7个单位长度到达点B，那么点B表示的数是_________． 【答案】8 【分析】本题考查了数轴上点的移动规律． 根据数轴上点的移动规律，向左移动相当于减去移动的单位长度，向右移动相当于加上移动的单位长度，因此通过有理数的加减运算求解． 【详解】解：点B表示的数为：． 故答案为：8． 【变式8-2】在数轴上，点M表示的数是4，从M点出发，沿着数轴向某个方向移动5个单位长度到达点N，则点N表示的数是__________． 【答案】9或 【分析】本题考查数轴上点的移动．根据题意分两种情况求解即可． 【详解】解：点M表示的数是4，向右移动5个单位长度，点N表示的数为； 向左移动5个单位长度，点N表示的数为． 故答案为：9或． 【变式8-3】为数轴上表示的点，将点沿数轴移动5个单位长度到点，点所表示的数为______________． 【答案】3或 【分析】考查数轴的点移动规律知识点．解题方法是明确数轴上点移动的“右加左减”原则；技巧是考虑移动方向的两种可能性（向左或向右）；易错点是忽略其中一种移动方向，导致漏解． 已知点A表示，沿数轴移动5个单位长度，需分两种情况：向右移动时，用加上5；向左移动时，用减去5，分别计算这两种情况的结果即可得到点B表示的数． 【详解】点A在数轴上表示，沿数轴移动5个单位长度有两种情况： 向右移动：； 向左移动：． 故答案为：3或． 【题型·9·数轴上找原点】 【例9】如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是5，数轴中相邻两刻度间距离为1个单位长度． (1)在数轴上标出原点； (2)先在数轴上表示下列各数，再把它们按从小到大的顺序排列，并用“”连接． ，0，，，6 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析， 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，用数轴比较有理数大小，准确分析判断是解题的关键． （1）根据点和点表示的数得出原点的位置； （2）在数轴上表示所给的数，比大小即可； 【详解】（1）解：点表示的数是，点表示的数是5， 点在原点左侧个单位处，点在原点右侧个单位处， 即可得到原点的位置，如图所示： （2）解：将已知数字表示在数轴上，如图所示： ． 【变式9-1】如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3． (1)在图中所示的数轴上标出原点O； (2)在图中所示的数轴上用圆点表示出下列4个数：，，1，4． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】此题主要考查了数轴上表示数，关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置． （1）根据点A表示的数是，点B表示的数是3，即可得原点位置； （2）在数轴上确定表示各数的点的位置即可． 【详解】（1）解：原点O如图所示 （2）解：，，1，4表示为 【变式9-2】如图，在每个刻度为个单位长度的数轴上，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是_____； (2)在数轴上表示下列各数：，，，，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． 【答案】(1) (2)在数轴上表示见解析， 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离计算，有理数与数轴，化简多重符号和求一个数的绝对值： （1）根据题意可得点与原点的距离为，那么从点的位置向右数格即为原点位置，据此画出原点，再求出点表示的数即可； （2）先计算绝对值，再在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】（1）解：如图，在数轴上标出原点，点所表示的数是， 故答案为：； （2） ， 在数轴上表示各数如下： ． 【变式9-3】如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是4． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是 ； (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为 ． 【答案】(1)数轴图见解答，11； (2)13或9． 【分析】本题考查了有理数与数轴上点的关系，任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，在数轴上，原点左边的点表示的是负数，原点右边的点表示的是正数，右边的点表示的数比左边的点表示的数大． （1）根据点A表示的数是4即可标出原点，进而可知点B所表示的数． （2）根据两点的距离计算即可． 【详解】（1）如图： ， 点B所表示的数是11； 故答案为：11； （2），， ∴点C表示的数为13或9． 故答案为：13或9． 【题型·10·数轴上整点覆盖问题】 【例10】在数轴上，表示的点与表示3.5的点之间的整数的点有几（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．根据题意画出数轴，在数轴上标出与，再找出符合条件的整数点即可． 【详解】解：将与表示在数轴上如图所示： 符合条件的点有，， 0，1，2，共6个． 故选：D． 【变式10-1】如图，在数轴上被墨汁覆盖的所有整数点的和是（   ） A． B． C．3 D．0 【答案】B 【分析】此题考查的是整数的比较大小和求和，掌握实数比较大小的方法是解决此题的关键． 先根据和2的取值范围写出数轴上被墨汁覆盖的所有整数，再利用整数加法从而求出结论． 【详解】解：∵， ∴在数轴上被墨汁覆盖的所有整数点是， ∴， 故选：B． 【变式10-2】如图所示，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住的整数共有（   ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴与有理数，根据数轴和有理数的分类可知被墨迹盖住的整数有：，，，，0，1，2，进而可得出答案． 【详解】解：根据数轴可知，被墨迹盖住的整数有：，，，，0，1，2， 一共有7个， 故选C 【变式10-3】把长为2025个单位长度的线段放在单位长度为1的数轴上，则线段能盖住的整点有（    ） A．2024个 B．2025个 C．2024或2025个 D．2025或2026个 【答案】D 【分析】此题考查了数轴规律题，解题的关键是根据题意分情况找出规律．根据题意把长为1个单位长度的线段放在单位长度为1的数轴上，可能盖住2个或1个点，以此类推，找出规律即可解答． 【详解】解：个单位长度的线段放在数轴上，两端点放在整数点上，盖住个点，两端点不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端点放在整数点上，盖住个点，两端点不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端点放在整数点上，盖住个点，两端点不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端点放在整数点上，盖住个点，两端点不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端点放在整数点上，盖住个点，两端点不在整数点上，盖住个点． 故答案为：D． 【题型·11·数轴上的规律探究】 【例11】如图，等边三角形的周长为3个单位长度，三个顶点分别标上A、B、C，先将三角形如图位置摆放，将三角形沿着数轴向右翻滚，在翻滚过程中，下列数轴上的哪个数能与三角形上的重合（　　） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【答案】B 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、图形类规律探索，由题意可得，由等边三角形上重合的点以3个字母循环出现，第一个为B，第二个为C，第三个为A.，再根据各个选项逐项判断即可得解． 【详解】解：由等边三角形上重合的点以3个字母循环出现，第一个为B，第二个为C，第三个为A. A、，，故与三角形上的A重合，不符合题意； B、，，故2019与三角形上的B重合，符合题意； C、，，故2020与三角形上的C重合，不符合题意； D、，，故与三角形上的A重合，不符合题意； 故选：B． 【变式11-1】正方形在数轴上的位置如图所示，点A、D对应的数分别为0和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则连续翻转2025次后，数轴上数2025所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，图形类变化规律，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键． 根据题意可知每4次翻转为一个循环组依次循环，然后根据…1进行判断． 【详解】解：∵在翻转过程中，1对应的数是B，2对应的数是C，3对应的数是D，4对应的数是A，5对应的数是B，6对应的数是C，7对应的数是D，8对应的数是A，…， ∴每4次翻转为一个循环组依次循环， ∵…1， ∴连续翻转2025次后，数轴上数2025所对应的点是点B． 故选：B． 【变式11-2】如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆向左滚动（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字的点重合的是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上的数字在圆上的循环规律，由图可知，每个数为一个循环组，依次循环，由此即可得出答案，发现循环规律，并正确计算循环后处于第几组的第几个数是解此题的关键． 【详解】解：由图可知，每个数为一个循环组，依次循环， ， ∵圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆周上第个循环组的第一个点重合，该点表示的数字为0， 故数轴上表示的点与圆周上表示数字0的点重合， 故选：A． 【变式11-3】如图，圆的周长为4个单位长度，圆上的四等分点分别为A、B、C、D，点A落在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，则落在数轴上的点是（   ） A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，正确理解数轴的相关知识是解题关键． 根据圆的周长为4个单位长度，且A、B、C、D为圆的四等分点，可得A、B、C、D四点依次循环出现，求得到2的距离，然后计算即可． 【详解】解：根据题意可得：A、B、C、D四点依次循环， 数轴上表示的点到2的距离为， ， 所以落在数轴上的点是D． 故选：D． 知识点5 有理数的大小比较 1. 利用数轴比较大小：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数． 说明： 对于有理数a，b，下列三种关系有且只有一种成立：a>b，a=b，a<b. 2. 利用有理数的分类比较大小：一般地，正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小． 说明： 对于有理数a，b，c， 如果a>b，且b>c，那么a>c; 如果a<b，且b<c，那么a<c. 3. 作差法:若两数分别为a，b，，则；若，则；若，则． 【题型·12.·利用数轴表示有理数的大小】 【例12】如图，在数轴上，点表示的数分别为，则_________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置判断的取值范围，进而确定的取值范围，再与比较大小． 【详解】解：由数轴可知，， 根据相反数的性质，负数的相反数为正数，且绝对值相等，可得： ， 又由数轴得：， 因此． 【变式12-1】如图，数轴上，两点表示的有理数分别为，，则与的大小关系为_____（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，掌握在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．根据“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”直接作答即可． 【详解】解：观察数轴可知，， ． 故答案为：． 【变式12-2】a，b是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示．把a，，b，按照从小到大的顺序排列应是______（用“”号连接）． 【答案】 【分析】本题考查利用数轴比较有理数的大小，由数轴可得，，，即可求解． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴， 故答案为：． 【变式12-3】、在数轴上的位置如图所示，则将数、、、、0从小到大排序为________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与有理数的大小比较，掌握数轴的特点是解题的关键．根据数轴的特点，分别表示出的位置，结合数轴比较数大小的方法即可求解． 【详解】解：如图所示，    ∴， 故答案为： ． 随堂检测 【随堂检测】 1．下列四个数中，是负整数的是（    ） A． B．0 C． D．5 【答案】C 【详解】是分数，是整数，其中5是正整数，0既不属于正数也不属于负数，是负整数． 2．如图，点到原点的距离是（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】观察数轴得：点A表示的数为，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：点A表示的数为， ∴点到原点的距离是3． 3．如图，数轴上吉祥物“骥骥”盖住的点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴可知，覆盖的点在到之间，只有选项B的符合． 4．若在数轴上点表示的数为，点在点的正方向上，距离点3个单位，则点表示的数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点在点正方向个单位处， ∴点表示的数为． 5．如图，数轴上两点的距离为点表示的数为，点在点的右侧，则点表示的数为（   ） A． B．5 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离． 根据数轴上两点间的距离公式作答即可． 【详解】解：∵数轴上两点的距离为点表示的数为，点在点的右侧， ∴点表示的数为． 故选：B． 6．有理数可以分为正有理数、负有理数和（　　） A．正数 B．整数 C．非正数 D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数包括正有理数、负有理数和零即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由有理数可分为正有理数、负有理数和， 故选：． 7．如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上和分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离． 根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可． 【详解】解：刻度尺上和分别对应数轴上的3和0， 即刻度尺和数轴的单位长度相同， ∵刻度尺上对应数轴上的0， ∴刻度尺上对应数轴上的数为． 故选：B． 8．下列有理数中：12，，，，0，，，是非负数的有______个． 【答案】6 【分析】根据非负数的定义，找出题目中符合要求的数，统计其个数即可得到结果． 【详解】解：非负数为：，，，，，，共有个． 9．把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，，，，，，，． 整数集合：{                        }； 分数集合：{                        }； 非负数集合：{                        }； 负有理数集合：{                        }． 【答案】；；； 【分析】本题考查有理数的分类，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相关定义进行分类即可； 【详解】解：整数集合：； 分数集合：； 非负数集合：； 负有理数集合：． 故答案为：；；；． 10．在数轴上与表示的点相距4个单位长度的点表示的数是______． 【答案】3或 【分析】本题考查数轴，数轴上两点间的距离根据数轴上两点间的距离公式即可求解． 【详解】解：设数轴上与表示的点相距4个单位长度的点所表示的数是， 则，即． 因此或， 解得或． 故答案为：3或． 11．数轴上A，B表示的数为，1，若数轴上的点C到点A，B的距离和为7，则点C表示的数为________ 【答案】2或 【分析】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．设点表示的数是，再根据数轴上两点间的距离公式求出的值即可． 【详解】解：设点表示的数是， 则， ①当时， 解得， ②当时，无解； ③当时， 解得： 故答案为2或. 12．有一个半径为1的圆可以在数轴上无滑动地滚动，圆上的一点从数轴上表示3的点开始，沿数轴正方向滚动一周后，这个点表示的数为______． 【答案】 【分析】本题考查数轴上的两点之间的距离问题及圆的周长计算，根据无滑动滚动的性质，圆滚动一周移动的水平距离等于其周长，点A初始位置为3，滚动一周后点A的水平位移为圆的周长，因此点A表示的数为． 【详解】解：圆的半径，周长， 点A从数轴上表示3的点开始，沿数轴正方向无滑动滚动一周，移动距离为， 故点A表示的数为， 故答案为：． 13．如图，点A，B在数轴上，点C表示的数是，点D表示的数是2． (1)点A表示的数为______，点B表示的数为______； (2)在数轴上表示出点C，点D； (3)将点A，C，D表示的数由小到大排列出来． 【答案】(1)，3 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，熟知有理数与数轴的关系是解题的关键． （1）根据点在数轴上的位置即可得到答案； （2）根据点C和点D表示的数在数轴上描点即可； （3）根据数轴上左边的数小于右边的数即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴可得，点A表示的数为，点B表示的数为3； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由数轴可得． 14．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立对应关系，是“数形结合”的基础． 如图，在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向左爬了3个单位长度到达点A．数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)则B所表示的数是 ． (2)数轴上有点P，且P到A、B两点的距离相等，则P点表示的数为 ． (3)数轴上有点C，且与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为 ． (4)若点D表示数3，将点D先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度到达E，则点E表示的数是 ，D、E两点间的距离是 ． 【答案】(1)4 (2) (3)2或6 (4)4，1 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，掌握数轴上点与有理数的对应关系是解题的关键 ． （1）根据点A表示的数，确定原点，由此即可求解； （2）根据数轴上中点的计算即可求解； （3）根据题意，运用数轴上两点之间距离的计算方法，分类讨论即可； （4）首先根据移动方式求出点E表示的数，然后根据数轴上两点之间距离的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：点A表示的数是，则原点如图所示， ∴点B表示的数为4， 故答案为：4； （2）解：点A表示的数是，点B表示的数为4， ∴到A、B两点的距离相等的点表示的数为， ∴则P点表示的数为， 故答案为：； （3）解：点B表示的数为4， ∴当点C在点B左边时，点C表示的数为； 当点C在点B的右边时，点C表示的数为， 故答案为：2或6． （4）解：∵点D表示数3，将点D先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度到达E， ∴点E表示的数是； ∴D、E两点间的距离是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.1-1.2.2 有理数的概念与数轴（知识解读） 【人教版2024】 题型归纳 【题型 1··有理数的定义】 2 【题型 2··0 的意义】 2 【题型 3··有理数的分类】 3 【题型 4··带“非”字的有理数】 4 【题型·5·数轴三要素判断】 4 【题型·6·用数轴上的点表示有理数】 5 【题型·7·数轴上两点间的距离】 6 【题型·8·数轴上点的平移】 6 【题型·9·数轴上找原点】 7 【题型·10·数轴上整点覆盖问题】 8 【题型·11·数轴上的规律探究】 8 【题型·12.·利用数轴表示有理数的大小】 10 知识点1 有理数 1. 定义：整数和分数统称为有理数.有理数也可以分为正有理数、零和负有理数，正有理数和零属于非负数. 2. 说明：正整数、0、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；整数可以写成分数的形式；可以写成分数形式的数称为有理数．可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数. 3. 有理数的分类： 按有理数的定义分类 按有理数的性质符号分类 分数 整数 正整数 0 负整数 正分数 有理数 负分数 有理数 正有理数 0 负有理数 正整数 正分数 负整数 负分数 可以写成正分数形式的数 可以写成负分数形式的数 【题型 1··有理数的定义】 【例1】在下列五个数中：，0，，，…（两个1之间依次多一个2）有理数个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-1】下列各数中：，，，，有理数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】在，，，，，中，有理数有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-3】最大的负整数是_______，最小的正整数是_______． 【题型 2··0 的意义】 【例2】关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 【变式2-1】某种食品的广告词之一是“0添加”，这里的0可以（     ） A．表示“起点” B．用来“占位” C．表示“没有” D．表示“分界” 【变式2-2】下面关于0的说法，正确的个数是（    ） ①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；④0是最小的非负数；⑤0既不是奇数也不是偶数． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2-3】下面关于0的说法，说法正确的是（    ） A．0是最小的正数 B．0是最大的负数 C．0既不是正数也不是负数 D．海拔0m就是没有海拔 【题型 3··有理数的分类】 【例3】把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨． (1)正有理数集合；｛____________________…｝ (2)负有理数集合：｛____________________…｝ (3)整数集合：｛____________________…｝ 【变式3-1】请把下列各数填入相应集合内： ，0.618，，，，2，，0， (1)正整数集合：{                    …} (2)非负数集合：{                    …} (3)负分数集合：{                    …} (4)有理数集合：{                    …} 【变式3-2】把下列各数的序号分别填入相应的大括号内： ①，②，③，④101，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨ 正有理数集合：{____________________...} 整数集合：{____________________...} 非负数集合：{____________________...} 【变式3-3】所有的正有理数组成正有理数集合，所有的负有理数组成负有理数集合，所有的整数组成整数集合，请把下列各数填入相应的集合中： 3，，，，0，，15，． 正有理数集合：{__________________…}． 负有理数集合：{__________________…}． 整数集合：{__________________…}． 【题型 4··带“非”字的有理数】 【例4】在中，非负整数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-1】在有理数，，0，，11 中，非负整数有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3  个 D．4  个 【变式4-2】下列有理数中：，，，，10，，0，，非正数的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-3】在，0，，，2025，，，中，非负整数的个数为_____． 知识点3 数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴，它满足以下条件： （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，；从原点向左，用类似的方法依次表示1，2，3，． 知识点4 数轴上的点与有理数之间的关系 1. 每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说，每个有理数都对应数轴上的一点． 2. 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示数的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是a个单位长度． 【题型·5·数轴三要素判断】 【例5】下列四个数轴的画法中，规范的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列数轴画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图所示的四个数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型·6·用数轴上的点表示有理数】 【例6】在数轴上表示出下列各数，并用“”连起来，，，，． 【变式6-1】如图，数轴上点位于原点右侧一个单位距离，小蘑菇所在点表示的数可能为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】下图温度计上，如果点A表示的摄氏温度是，则点B表示的摄氏温度是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】完成下列问题 (1)补全数轴； (2)将下列5个数：，，0，2，，在这个数轴上表示出来，并用“”号把这些数连接起来． 【题型·7·数轴上两点间的距离】 【例7】已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，则点，之间的距离是________． 【变式7-1】如图，在数轴上，点A表示2，点B表示，则点A、B之间的距离是______． 【变式7-2】在数轴上，到所对应的点的距离为个单位的点所对应的数是_________． 【变式7-3】数轴上点A与点B相距2个单位且点A在点B的左侧，若点B表示的数为，则点A表示的数是_______ ． 【题型·8·数轴上点的平移】 【例8】点A在数轴上表示的数是，从A点出发先向右平移7个单位长度，再向左平移3个单位长度到达点B，则点B表示的数是_____． 【变式8-1】在数轴上，如果点A表示数5，将点A向左移动4个单位长度，再向右移动7个单位长度到达点B，那么点B表示的数是_________． 【变式8-2】在数轴上，点M表示的数是4，从M点出发，沿着数轴向某个方向移动5个单位长度到达点N，则点N表示的数是__________． 【变式8-3】为数轴上表示的点，将点沿数轴移动5个单位长度到点，点所表示的数为______________． 【题型·9·数轴上找原点】 【例9】如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是5，数轴中相邻两刻度间距离为1个单位长度． (1)在数轴上标出原点； (2)先在数轴上表示下列各数，再把它们按从小到大的顺序排列，并用“”连接． ，0，，，6 【变式9-1】如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3． (1)在图中所示的数轴上标出原点O； (2)在图中所示的数轴上用圆点表示出下列4个数：，，1，4． 【变式9-2】如图，在每个刻度为个单位长度的数轴上，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是_____； (2)在数轴上表示下列各数：，，，，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． 【变式9-3】如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是4． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是 ； (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为 ． 【题型·10·数轴上整点覆盖问题】 【例10】在数轴上，表示的点与表示3.5的点之间的整数的点有几（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式10-1】如图，在数轴上被墨汁覆盖的所有整数点的和是（   ） A． B． C．3 D．0 【变式10-2】如图所示，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住的整数共有（   ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【变式10-3】把长为2025个单位长度的线段放在单位长度为1的数轴上，则线段能盖住的整点有（    ） A．2024个 B．2025个 C．2024或2025个 D．2025或2026个 【题型·11·数轴上的规律探究】 【例11】如图，等边三角形的周长为3个单位长度，三个顶点分别标上A、B、C，先将三角形如图位置摆放，将三角形沿着数轴向右翻滚，在翻滚过程中，下列数轴上的哪个数能与三角形上的重合（　　） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【变式11-1】正方形在数轴上的位置如图所示，点A、D对应的数分别为0和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则连续翻转2025次后，数轴上数2025所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式11-2】如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆向左滚动（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字的点重合的是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式11-3】如图，圆的周长为4个单位长度，圆上的四等分点分别为A、B、C、D，点A落在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，则落在数轴上的点是（   ） A．A B．B C．C D．D 知识点5 有理数的大小比较 1. 利用数轴比较大小：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数． 说明： 对于有理数a，b，下列三种关系有且只有一种成立：a>b，a=b，a<b. 2. 利用有理数的分类比较大小：一般地，正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小． 说明： 对于有理数a，b，c， 如果a>b，且b>c，那么a>c; 如果a<b，且b<c，那么a<c. 3. 作差法:若两数分别为a，b，，则；若，则；若，则． 【题型·12.·利用数轴表示有理数的大小】 【例12】如图，在数轴上，点表示的数分别为，则_________．（填“”“”或“”） 【变式12-1】如图，数轴上，两点表示的有理数分别为，，则与的大小关系为_____（填“”，“”或“”）． 【变式12-2】a，b是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示．把a，，b，按照从小到大的顺序排列应是______（用“”号连接）． 【变式12-3】、在数轴上的位置如图所示，则将数、、、、0从小到大排序为________． 随堂检测 【随堂检测】 1．下列四个数中，是负整数的是（    ） A． B．0 C． D．5 2．如图，点到原点的距离是（     ） A．3 B． C． D． 3．如图，数轴上吉祥物“骥骥”盖住的点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 4．若在数轴上点表示的数为，点在点的正方向上，距离点3个单位，则点表示的数为（   ）． A． B． C． D． 5．如图，数轴上两点的距离为点表示的数为，点在点的右侧，则点表示的数为（   ） A． B．5 C．0 D．无法确定 6．有理数可以分为正有理数、负有理数和（　　） A．正数 B．整数 C．非正数 D． 7．如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上和分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（   ） A． B． C． D． 8．下列有理数中：12，，，，0，，，是非负数的有______个． 9．把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，，，，，，，． 整数集合：{                        }； 分数集合：{                        }； 非负数集合：{                        }； 负有理数集合：{                        }． 10．在数轴上与表示的点相距4个单位长度的点表示的数是______． 11．数轴上A，B表示的数为，1，若数轴上的点C到点A，B的距离和为7，则点C表示的数为________ 12．有一个半径为1的圆可以在数轴上无滑动地滚动，圆上的一点从数轴上表示3的点开始，沿数轴正方向滚动一周后，这个点表示的数为______． 13．如图，点A，B在数轴上，点C表示的数是，点D表示的数是2． (1)点A表示的数为______，点B表示的数为______； (2)在数轴上表示出点C，点D； (3)将点A，C，D表示的数由小到大排列出来． 14．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立对应关系，是“数形结合”的基础． 如图，在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向左爬了3个单位长度到达点A．数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)则B所表示的数是 ． (2)数轴上有点P，且P到A、B两点的距离相等，则P点表示的数为 ． (3)数轴上有点C，且与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为 ． (4)若点D表示数3，将点D先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度到达E，则点E表示的数是 ，D、E两点间的距离是 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $